bengoyeutoanhoc

Tìm các số nguyên dương $a,b,c$ sao cho biểu thức:

 

$P=\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}$ là một số nguyên.

Mình chỉ xét trường hợp $3$ số $a,b,c$ đôi một khác nhau thôi nhé!

$P=abc-a-b-c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}\rightarrow P\in \mathbb{Z}\Rightarrow A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}\in \mathbb{Z}$

Dễ có $A> 0\Rightarrow A< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

      Giả sử $1\leq a< b< c\rightarrow A< 2\Rightarrow A=1 $

$\rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}>1$

- Với $a\geq 3\rightarrow b,c>3\rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<1\rightarrow$ loại

- với $a=1 \rightarrow A>1\rightarrow$ loại

- Với $a=2 \Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2bc}=1\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2bc}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}>\frac{1}{2}$

+ Nếu $b\geq 4\rightarrow$ loại

$\Rightarrow b=3 (b> a\geq 2)\rightarrow c=5$

CM phương trình :

$x^{2009} = y^{2} + y + 2 + x^{2007}$.

không có nghiệm nguyên

Ta có $x^{2009} = y^{2} + y + 2 + x^{2007}\Rightarrow x^{2007}(x^{2}-1)=y^{2}+y+2\Rightarrow (x-1)x^{2007}(x+1)=y^{2}+y+1(1)$

          $VT_{1}\vdots 3$

 - Nếu $y\vdots 3\Rightarrow VP_{1}\equiv 2 (mod .3)$

 - Nếu $y\equiv 1(mod.3)\Rightarrow VP_{1}\equiv 1 (mod.3)$

 - Nếu $y\equiv 2 (mod.3)\Rightarrow VP_{1}\equiv 2 (mod.3)$

Từ đó suy ra phương trình $(1)$ không có nghiệm nguyên $\Rightarrow$ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên $\rightarrow Q.E.D$

$A=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}}{\frac{99}{1}+\frac{98}{2}+\frac{97}{3}+...+\frac{1}{99}}$

Ta biến đổi mẫu tử như sau : 

$\frac{99}{1}+\frac{98}{2}+\frac{97}{3}+...+\frac{1}{99}=100(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99})-99=100(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99})+1=100(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100})\Rightarrow A=\frac{1}{100}$

Cho a, b, c và x, y, z thoả mãn:

$a+b+c=0$

$x+y+z=0$

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0$

Tính $a^2x+b^2y+c^2z$

Ta có $A=\sum a^2x=\sum (b+c)^{2}x=\sum (b^{2}x+c^{2}x+2bcx)=\sum \left ( b^{2}(-y-z)+c^{2}(-y-z)\right )=-A\Rightarrow A=0$

Từ $abc\geqslant 1$ mà suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant 3$ là sai rồi bạn ơi 

Ừ nhỉ! Thanks bạn! Sẽ sửa!

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}(1)$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

 

Đại còn mỗi bài $3.a$, gặm nốt

ĐKXĐ: $x\neq 0;x\geq \frac{-1}{3}$

Từ  $(1)\Rightarrow 12x^{2}-4x+x-1=4x\sqrt{3x+1} \Leftrightarrow \left ( 4x^{2}-4x\sqrt{3x+1} +3x+1\right )+2 ( 4x^{2} -3x-1)=0\Leftrightarrow(2x-\sqrt{3x+1})^{2}+2 ( 4x^{2} -3x-1)=0 \Leftrightarrow (2x-\sqrt{3x+1})(2x-\sqrt{3x+1}+4x+2\sqrt{3x+1})=0 \Leftrightarrow (2x-\sqrt{3x+1})(6x+\sqrt{3x+1})=0 \Leftrightarrow \left ( 2x-\sqrt{3x+1} \right )^{2}+2(2x-\sqrt{3x+1})(2x+\sqrt{3x+1})=0$ 

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 2x=\sqrt{3x+1} & \\ -6x=\sqrt{3x+1}& \end{bmatrix}\Leftrightarrow ...$

Đến đây thì dễ rồi! 

 

Đề thi hsg tỉnh Hưng Yên 2009-2010

 

bài 3: Cho pt : 

 

${x}^{3}-5{x}^{2}+3x+1=0$      (1)

 

a,Giải pt (1)

 

b,Gọi ${x}_{1};{x}_{2};{x}_{3}$ là 3 nghiệm của (1),đặt 

${A}_{n}={{x}_{1}}^{n}+{{x}_{2}}^{n}+{{x}_{3}}^{n}$

 

CMR ${A}_{n}$ là số nguyên với n thuộc N*

 

c, CMR $A_{2010}$ ko chia hết cho 4 với mọi N thuộc N*

Ta sẽ có $S_{n}=(2+\sqrt{5})^{n}+(2-\sqrt{5})^{n}\rightarrow A_{n}=S_{n}+1 $

$S_{n+2}=(2+\sqrt{5})^{n+2}+(2-\sqrt{5})^{n+2}= (2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5})\left ( (2+\sqrt{5})^{n+1} +(2-\sqrt{5})^{n+1} \right )-(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})^{n+1}+(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})^{n+1}=4S_{n+1}+S_{n}$

Lại có  $S_{0}, S_{1} \in \mathbb{Z}\rightarrow S_{n}\in \mathbb{Z}\rightarrow A_{n}\in \mathbb{Z}\rightarrow Q.E.D$

Đề bài dài quá nên mình không tóm tắt vào tên chủ đề dược không biết có phạm quy hay không , mong các bạn tha cho mình lần đầu nhá .

 

1 Cho $\Delta ABC$ vuông tại A , đường cao AH

 

a) CMR : $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta CHA$

b) Gọi M,N làn lượt là trung điểm BC , AB . Đường vuông góc với BC kẻ từ B cắt MN tại I . CMR: $IB^2=IM.IN$

c) IC cắt AH tại O . CMR : O là trung diểm AH

d)Gọi K là giao điểm CA,BI . Tính BK biết AB =15 cm ; AC = 20 cm

 

Các bạn chỉ cần chứng minh cho mình câu c,d thôi nhé , a , b mình làm được rồi

Bạn tự vẽ hình nhá! 

$c.$ Ta có $AH// BI\Rightarrow \frac{OH}{BI}=\frac{CO}{CI}=\frac{AO}{KI}$ mà dễ dàng chứng mình được $BI=IK$ $\rightarrow Q.E.D$

$d.$ $AB,AC\rightarrow \left\{\begin{matrix} AH \rightarrow OH & \\ BC \\ CH \end{matrix}\right.\rightarrow BI\rightarrow BK=2BI$

Ta có $k=\frac{2(a+b+c)}{ab+ac}=\frac{3(a+b+c)}{ba+bc}=\frac{4(a+b+c)}{cb+ac}=\frac{9(a+b+c)}{2(ab+ac+bc)}\Rightarrow \frac{1}{k}=...$

$\frac{1}{a+b+c}=\frac{ab+ac}{2}=\frac{ba+bc}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{2ab}{2+3-4}=\frac{2ac}{2+4-3}=\frac{2bc}{3+4-2}\Rightarrow ab=\frac{ac}{3}=\frac{bc}{5}$

Từ đó dễ dàng biến đổi để tìm $a,b,c$ ......

Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c+\sqrt{abc}=4$. Tính giá trị biểu thức :

$$A=\sqrt{a(4-b)(4-c)}+\sqrt{b(4-c)(4-a)}+\sqrt{c(4-a)(4-b)}$$

$\sum \sqrt{a(4-b)(4-c)}=2(a+b+c+\sqrt{abc})=8$

Ta chứng minh $a(4-b)(4-c)=x(16-4z-4y+yz)=16x-4x(y+z)+xyz=16x-4x(4-x-\sqrt{xyz})+xyz=...=(2x+\sqrt{xyz}^{2})$

Cho $A=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+...+\frac{1}{1+2+3+...+99}+\frac{1}{50}$. Tính giá trị biểu thức A

Mọi người hướng dẫn dùm minh. Cám ơn nhiều !!!!!!

Ta có $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Thay vào biểu thức, A sẽ có dạng $A=\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+...+\frac{2}{n(n+1)}+\frac{1}{50}\Rightarrow \frac{1}{2}A=\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{100}$

Mà ta lại có $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} ...$ từ đó thay vào ta sẽ tính được A

Kết quả: $A=1$ 

Cho $\bigtriangleup ABC$ cân tại $A$ có $M\in BC$ $\left ( MB< MC \right )$ $,ME //AC , MF //AB$. $N$ đối xứng với $M$ qua $EF$.

$a. AEMF$ là hình gì? Vì sao?

$b.$ Chứng minh $AFEN$ là hình thang cân

$c.$ Tính $\widehat{ANB}+\widehat{ACB}$

Giải phương trình:

b, $x^{4n}+\sqrt{x^{2n}+2014}=2014$ với n không âm

$x^{4n}+\sqrt{x^{2n}+2014}=2014\Leftrightarrow x^{4n}+\sqrt{x^{2n}+2014}+x^{2n}=2014+x^{2n}$

Đặt $\sqrt{x^{2n}+2014}=a$ phương trình đã cho trở thành $x^{4n}+x^{2n}+a=a^{2}\Leftrightarrow (x^{2n})^{2}-a^{2}+(x^{2n}+a)=0\Leftrightarrow (x^{2n}+a)(x^{2n}-a+1)=0$ 

Đến đây thì dễ rồi. Xét từng trường hợp rồi tìm $x$ theo $n$

Giải phương trình:

a, $Sinx=\frac{1+x-x^{5}-\sqrt[3]{3x+1}}{x^{2}+1}$

b, $x^{4n}+\sqrt{x^{2n}+2017}=2012$ với n không âm

c, $x^{2}-2x+7+\sqrt{x+3}=2\sqrt{1+8x}+\sqrt{1+\sqrt{1+8x}}$

phương trình b, phải là $x^{4n}+\sqrt{x^{2n}+2017}=2017$ chứ?

Rút gọn biểu thức : $B=x^{n+1}(1+\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})(x^{3}+\frac{1}{x})...(x^{2^{n}-1}+\frac{1}{x})+1$

$ B=x^{n+1}(1+\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x})(x^{3}+\frac{1}{x})...(x^{2^{n}-1}+\frac{1}{x})+1=x^{n+1}.\frac{x+1}{x}.\frac{x^{2}+1}{x}.\frac{x^{4}+1}{x}...+\frac{x^{2^{n}}}{x}+1=\left ( x+1 \right )\left ( x^{2}+1 \right )...\left ( x^{2^{n}}+1 \right )+1$

Với $x=1\Rightarrow B=2^{n+1}+1$

Với $ x\neq 1$ ta có $B=\frac{\left ( x+1 \right )\left ( x-1\right )\left ( x^{2}+1\right )...\left ( x^{2^{n}} +1\right )}{x-1}+1= \cdots =\frac{\left ( x^{2^{n}}-1 \right )\left (x^{2^{n}}+1\right )}{x-1}+1= \frac{x^{2^{n+1}}-1}{x-1}+1$