hoctrocuaZel

$2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2;(b^2+c^2)(a^2+c^2)=(c^2+ab)^2+c^2(a-b)^2$

Xong dùng BĐT $B-C-S$ là xong :v

..

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:$(x-y)\mathit{f}(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^2+y^2)$

$u=x-y;v=x+y\rightarrow uf(v)-vf(u)=uv(v^2-u^2)\Leftrightarrow f(v)/v-v^2=f(u)/u-u^2\Rightarrow f(v)/v-v^2=a\Rightarrow f(v)=v^3+av\Rightarrow f(x)=x^3+ax$

Thay vào thấy tm

$(1)$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}:f(x+y^2+z^3)=f(x)+f^2(y)+f^3(z);\forall x,y,z\in N$

$(2)$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}:f(1)=1;f(2)=4;f(f(m)+f(n))=f(f(m))+f(f(n));\forall m,n\in N$

Bạn tham khảo ở đây nha: 

Đây:

 

Cho $a,b,c$  là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$.CMR:

          $\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}} +\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq \frac{15}{4}$

 

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+\sum (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})=3+\sum \frac{a^2+b^2}{ab}$

Đến đây chỉ cần dùng điều kiện đẳng thức rơi là xong

Cho $ab+bc+ca=abc(a+b+c)$, a,b,c là các số dương: Chứng minh: 
$\frac{1}{(2a+b+c)^2} + \frac{1}{(2b+c+a)^2} + \frac{1}{(2c+a+b)^2} \leqslant \frac{3}{16}$

$LHS=\sum \frac{1}{[(a+b)+(a+c)]^2}\leqslant \frac{1}{4(a+b)(a+c)}=\frac{a+b+c}{2(a+b)(a+c)(b+c)}$

$gt\Rightarrow (ab+ac+bc)\geqslant 3\rightarrow LHS\leqslant \frac{a+b+c}{2.\frac{8}{9}.(ab+ac+bc)(a+b+c)}\leqslant \frac{3}{16}$

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $\left ( x,y \right )$ sao cho $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ là số nguyên và là ước của $1995$.

Thật sự là bài anh có liên quan mật thiết đến bài em, nhưng em vẫn chưa ra

http://diendantoanho...-sao-cho-ambnd/.

Bài bạn thì dễ rồi :v

Còn mật thiết bài này ntn?

a là số nguyên >1, m, n  nguyên dương,

CMR: $(a^n-1;a^m-1)=a^{(m,n)}-1$

Tìm $n$ thuộc $Z^+$ để : $n.2^n +3^n$ chia hết cho 5

$n.(5-3)^n+3^n$

Với n chẵn thì:  $VT=(n+1)3^n+BS(5)\Rightarrow n=5k-1$

Tương tự n lẽ

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp M sao cho:

a) $\left | 2\vec{MA}+\vec{MB} \right |=\left | \vec{MA}-\vec{MB} \right |$

b) $\left | \vec{MA}+2\vec{MB}+\vec{MC} \right |=\left | \vec{MB}-\vec{MC} \right |$

c) $\left | 3\vec{MA}+2\vec{MB}-2\vec{MC} \right |=\left | \vec{MB}-\vec{MC} \right |$

Các bài này đều dùng : $\overrightarrow{MB-MC}=\overrightarrow{CB}$

Gọi I là tâm tỉ cự của A,B,C theo hệ điểm $1,2,1$, có: $VT=|4.\overrightarrow{MI}|=\overrightarrow{CB}\Rightarrow 4MI=CB$

Vậy $M$ di chuyển trên $(I,CB/4)$

Mấy bài còn lại là 1 dạng.

Giải hệ pt 

$\left\{\begin{matrix} \frac{2x^5}{x+y}+(xy+1)^2=5\\ x^2+y^2=2 \end{matrix}\right.$

1. Chứng minh rằng mọi số nguyên lớn hơn 11 là tổng của hai hợp số.

2. Chứng minh rằng nếu  $f(x)=a_{n}x^N+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ 

    là đa thức với hệ số nguyên thì tồn tại $y$ sao cho $f(y)$ là hợp số.

P/s:   Help me!! 

Câu 1.

với $n$ là hợp số. Do đó: $n=a.b$, chọn đại 2 số có $a$ hoặc $b$ là ước là xong :v

Với $n$ ng tố.

=> $n$ lẽ.

Lấy $n=9+k$

dĩ nhiên 9 là hợp số, và $k=n-9$ chẵn là hợp số .

tìm x,y,z nguyên dương:

$x!+y!=z!$

Desargues có song song nhé bạn https://julielltv.wo...iem-thang-hang/
Nếu dùng pappus thì xét góc BAC ý!

Vì sao mấy đường đó song song vậy bạn :v

tam giác ABC,1 điểm D_^​​ thuộc BC,M trung điểm AD. 

trên tia đối tia MB lấy E : ME = MB.

trên tia đối tia MC lấy F : MC = MF. chứng minh rằng:

A nằm giữa D và E

Xét tam giác $AME$ và tam giác $BMD$ có:

AM=MD, góc AME=BMD đổi đỉnh, $BM=ME$

nên tam giác này bằng nhau.

=> góc BDM= $MAE$ mà 2 góc này so le trong nên $AE//BD$.

Tương tự: $FA//BC$

theo tiên đề O-clit, có được $F,A,E$ thẳng hàng, A nằm giữa F,E