(Câu cuối đề thi thử vào 10 trường THCS Dương Xá)
$180/$
Cho $x+xy+y=8
Tìm GTNN P=x^{3}+y^{3} +x^{2} +y^{2}+5x+5y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$
- Dam Uoc Mo yêu thích
Gửi bởi littlemiumiu21 trong 14-06-2014 - 13:18
(Câu cuối đề thi thử vào 10 trường THCS Dương Xá)
$180/$
Cho $x+xy+y=8
Tìm GTNN P=x^{3}+y^{3} +x^{2} +y^{2}+5x+5y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$
Gửi bởi littlemiumiu21 trong 22-04-2014 - 13:23
Quyển này khá hay, các chuyên đề cũng được biên soạn đầy đủ, bài tập cũng khá nhiều; nhưng cái giá tiền hơi bị mắc tí: 80.000đ.
Mình khuyên bạn nên dùng quyển sách này mặc dù mình không dùng.
đang đọc muốn sặc luôn =)))))))))))
Gửi bởi littlemiumiu21 trong 17-04-2014 - 19:36
Ta có :$(1-a)^3(1-b)^5(1-c)^8=(3a+5b+8c-a)^3(3a+5b+8c-b)^5(3a+5b+8c-c)^8=(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8$
Theo Cosi thì $(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8\geq (15\sqrt[15]{a^2b^5c^8})^3(15\sqrt[15]{a^3b^4c^8})^5(15\sqrt[15]{a^3b^5c^7})^8=(15^{16})(a^3b^5c^8)$
Dấu = khi $a=b=c=\frac{1}{16}$
$150$ C2: Bdt can CM
$<=> (\frac{1-a}{a})^{3}(\frac{1-b}{b})^{5}(\frac{1-c}{c})^{8} \geq 15^{16}$
Đặt $\left\{\begin{matrix} x=\frac{a}{1-a} & & \\ y=\frac{b}{1-b}& & \\ z=\frac{c}{1-c}& & \end{matrix}\right. => a=\frac{x}{1+x};b=\frac{y}{1+y};c=\frac{z}{1+z}$ và $x,y,z>0$ tm $\frac{3x}{1+x}+\frac{5y}{1+y}+\frac{8z}{1+z}=1$
CM:$x^{3}y^{5}z^{8}\leqslant \frac{1}{15^{16}}$
Mà $1=\frac{3x}{1+x}+\frac{5y}{1+y}+\frac{8z}{1+z}=\frac{x}{1+x}+\frac{x}{1+x}+\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}$
và $\frac{1}{1+x}=1-\frac{x}{1+x}\geq 15\frac{\sqrt[15]{x^{2}y^{5}z^{8}}}{\sqrt[15]{(1+x)^{2}(1+y)^{5}(1+z)^{8}}}$
CMTT Nhân theo từng vế =>dpcm
Chú ý: Gõ công thức toán kẹp $ vào đầu và cuối, không kẹp vào phần tiếng Việt,
Thêm nữa là gõ tiếng Việt có dấu. (Mà bạn gõ cứ như kiểu nhớ công thức toán ấy, toàn bị thiếu ngoặc " } " ở cuối)
Gửi bởi littlemiumiu21 trong 13-04-2014 - 09:59
$144$:$\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy+3y^2=13\\ x^2+4xy-2y^2=-6 \end{matrix}\right.$
Có cách 2:
Thấy hệ đã cho là hệ đồng bậc
Đặt $x=ky$; $Pt 1=> 2k^{2} y^{2}-ky^{2}+3y^{2} =13 =>y^{2}=\frac{13}{2k^{2}-k+3}$
$Pt2 => k^{2}y^{2} +4ky^{2}-2y^{2} =-6=> y^{2}=\frac{-6}{k^{2}+4k-2} =>\frac{13}{2k^{2}-k+3}=\frac{-6}{k^{2}+4k-2}$
Nhân chéo rồi giải pt => nghiệm
Nếu không gõ được LATEX thì tốt nhất không tham gia TOPIC
Gửi bởi littlemiumiu21 trong 12-04-2014 - 21:33
$A= \frac{1}{a^{2}} + (a+\frac{1}{b})^{2} +(b+\frac{1}{a})^{2} +\frac{1}{b^{2}} =a^{2}+b^{2}+ 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) +2 (\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}) \geqslant (a+b)^{2}:2 + 2.2\sqrt{\frac{a}{b}}.\frac{b}{a} + 2 . (quy dong)$
Khó viết quáaaaaa
Tính được a bình + b bình lớn hơn hoặc bằng [(a+b) ^2 ]:2 và (a.b)^2 nhỏ hơn hoặc bằng [(a^2 +b^2) :2] ^2
=> thay a+b =1 ....
A min =25/2 khi a=b=1/2
Gửi bởi littlemiumiu21 trong 12-04-2014 - 20:54
Đặt biểu thức trên là A nhé!
Ta có $A=a^{2}+b^{2}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+2\frac{a}{b}+2\frac{b}{a}=\left ( a^{2}+\frac{1}{16a^{2}} \right )+\left ( b^{2} +\frac{1}{16b^{2}}\right )+\frac{31}{16}\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \right )+2\left ( \frac{a}{b} +\frac{b}{a}\right )$
Theo AM-GM ta có $a^{2}+\frac{1}{16a^{2}}\geq 2\sqrt{a^{2}.\frac{1}{16a^{2}}}=\frac{1}{2};\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{2}{ab}\geq \frac{2}{\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}}=8;\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$
Từ đó tìm được GTNN rồi...
không tách ra 1/16 được k nhỉ ?
Cách khác vẫn ra đc dấu bằng thì có đúng k ?
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học