$3VT = \sum \left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b} \right ) \geqslant \sum \dfrac{9}{a+2b} = 3VT \Leftrightarrow VT \geqslant VP$
- anhuyen2000 likes this
Posted by dogsteven on 18-10-2014 - 19:17
$3VT = \sum \left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b} \right ) \geqslant \sum \dfrac{9}{a+2b} = 3VT \Leftrightarrow VT \geqslant VP$
Posted by dogsteven on 18-10-2014 - 16:43
Có một cách không cần suy nghĩ
Dễ thấy tồn tại $t \geqslant 0$ thỏa $a^2+2t^2+2at^2=1 \Leftrightarrow t^2=\dfrac{1-a}{2}$
Đặt $f(a;b;c)=a^2+b^2+c^2-4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
Theo giả thiết thì $bc \leqslant t^2$ và $2t^2 \leqslant b^2+c^2$
$f(a;b;c)-f(a;t;t)=(b^2+c^2-2t^2)(1-4a^2)-4(b^2c^2-t^4)$
Giả sử $a \leqslant \text{min{b;c}}$ thì $3a^2+2a^3-1 \leqslant 0 \Leftrightarrow 0\leqslant a \leqslant \dfrac{1}{2}$
Vì vậy mà $f(a;b;c) \geqslant f(a;t;t) = 4a^3-4a^2+a=a(2a-1)^2 \geqslant 0$
Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$ hoặc $a\to 0, b=c \to \sqrt{\dfrac{1}{2}}$
Posted by dogsteven on 18-10-2014 - 12:28
Cách 1: Áp dụng BDT Schur: $q-2r \leqslant q- \dfrac{2}{9}(4q-1)=\dfrac{q}{9}+\dfrac{2}{9}\leqslant \dfrac{7}{27}$
Cách 2: $f(x;y;z)=xy+yz+zx-2xyz$
Đặt $x+2t=1$ và giả sử $x\leqslant y,z$
$f(x;y;z)-f(x;t;t)=\dfrac{2x-1}{4}.(y-z)^2 \leqslant 0$
$\Leftrightarrow f(x;y;z) \leqslant f(x;t;t)=2tx+t^2-2xt^2\leqslant \dfrac{7}{27} \Leftrightarrow \left (t-\dfrac{7}{12} \right)\left(t-\dfrac{1}{3} \right)^2 \leqslant 0$ (đúng vì $x=1-2t \geqslant 0 \Leftrightarrow t \leqslant \dfrac{1}{2} < \dfrac{7}{12}$)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$
Posted by dogsteven on 16-10-2014 - 19:56
$3 \geqslant \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geqslant \dfrac{9}{a+b+c} \Leftrightarrow a+b+c \geqslant 3$
$a^3+1+1 \geqslant 3a$
Tương tự ta được $a^3+b^3+c^3 \geqslant a+b+c+2(a+b+c)-6 \geqslant a+b+c$
Posted by dogsteven on 15-10-2014 - 17:42
Áp dụng $2$ bổ đề:
1) Đường thẳng $Euler$: $I,O,G$ thẳng hàng với $G$ là trọng tâm
2) Định lý con nhím
Giải: Dựng vecto $e$ vuông góc $EF$ và có độ dài bằng $IM$
Áp dụng bổ đề $2$ và nhân thêm lượng độ dài $IM$ ta có: $\overrightarrow{IP}.BE+\overrightarrow{IM}.BC+\overrightarrow{IN}.FC+\overrightarrow{e}.EF=0=>\overrightarrow{IG}=\frac{-EF}{3BC}.\overrightarrow{e}=>\overrightarrow{IG}//\overrightarrow{e}$
Áp dụng bổ đề $1$ ta có Q.E.D
A-L:)
Lời giải sai, $\vec{IG}$ không luôn cùng hướng với $\vec{OI}$.
Posted by dogsteven on 15-10-2014 - 15:52
(a) $y^2+1 \geqslant 2y$
$z^3+1+1 \geqslant 3z$
$\Rightarrow P \geqslant x+2y+3z-3$
(b) $6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}+\dfrac{9}{3z} \geqslant \dfrac{36}{x+2y+3z} \Rightarrow x+2y+3z \geqslant 6$
$P \geqslant x+2y+3z-3 \geqslant 3$
Posted by dogsteven on 15-10-2014 - 12:57
Giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$
$a^2b+b^2c+c^2a \leqslant a^2b+b^2c+c^2a +abc \leqslant \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}=32$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=2$ hoặc $a\to 4; b\to 2; c\to 0$ và các hoán vị tương ứng.
Posted by dogsteven on 14-10-2014 - 12:53
Dùng BDT Cauchy: $\sqrt{3-x}+x =2.\dfrac{1}{2}.\sqrt{3-x}+x \leqslant \dfrac{1}{4}+3-x+x=\dfrac{14}{3}$
Posted by dogsteven on 13-10-2014 - 16:35
Đề phải là $x^ny+y^nz+z^nx$ chứ anh
Với $n=0$ thì $P =1$
Với $n=1$ thì $P \leqslant \dfrac{1}{3}$
Với $n \geqslant 2$:
Gọi $(a;b;c)$ là hoán vị tùy ý của $(x;y;z)$ sao cho $a \geqslant b \geqslant c \Rightarrow ab \geqslant ac \geqslant bc$
Khi đó $x^ny+y^nz+z^nx \leqslant a^{n-1}ab+b^{n-1}ac+c^{n-1}bc \leqslant b(a^n+a^{n-1}c+c^n) \leqslant b(a+c)^n \leqslant \dfrac{[n(a+b+c)]^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}=\dfrac{n^n}{(n+1)^{n+1}}$
Posted by dogsteven on 12-10-2014 - 19:53
$x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2zx=(x+y-z)^2 \geqslant 0 \Leftrightarrow M\geqslant -2012$
Posted by dogsteven on 12-10-2014 - 16:20
$VT=\sum \dfrac{x^2}{x^2(x+y+z)+2x(xy+yz+xz)} \geqslant \dfrac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)+2(x+y+z)(xy+yz+zx)}=\dfrac{1}{x+y+z}$
Posted by dogsteven on 12-10-2014 - 07:44
Bài này không cần phức tạp vậy đâu
Lời giải có vấn đề...
Vấn đề chỗ nào vậy chị, em nhìn mãi mà cũng chưa thấy chỗ sai.
Posted by dogsteven on 11-10-2014 - 20:28
Bài 1: I là điểm Brocard.
Gợi ý: dựng một đường thẳng song song với một cạnh tam giác qua đỉnh đối diện cạnh đó. Áp dụng các định lý tứ giác nội tiếp.
Posted by dogsteven on 11-10-2014 - 14:46
Đặt $b=t+s; c=t-s; a=3-2t$, và giả sử $a \leqslant c \leqslant b$
$P(s)=6(t^3+s^2-3t^2-s^2t+3t)$
$0\leqslant a \leqslant 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \geqslant t \geqslant 1$
$3t-3 \geqslant s=\dfrac{b-c}{2} \geqslant 0$
$P(s)-P(0)=6s^2(1-t) \leqslant 0$
$ \Leftrightarrow P(s) \leqslant P(0)=6t^3-18t^2+18t \leqslant \dfrac{27}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $a\to 0, b=c \to \dfrac{3}{2}$ và các hoán vị.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học