Nguyen Tang Sy

Bài 43:Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $AB < AC$ . Tiếp tuyến tại $A$ cắt $CB$ tại $T$. kẻ đường kính $AD, DB$ cắt $OT$ tại $E$. $CMR: AE // CD$ 

Giải hệ phương trình:

 

1/

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2(y^{4}-x^{4}) & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=(x^{2}+3y^{2})(3x^{2}+y^{2}) & \end{matrix}\right.$

 

 

2/

$\left\{\begin{matrix} x^{4}-y^{4}=240 & \\ x^{3}-2y^{3}=3(x^{2}-4y^{2})-4(x-8y) & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow (x-2)^4 = (y-4)^4$
Tới đây là ok rồi!! 

xét $y = 0$ thì $x = -1$

nếu $y \neq 0 $ thì hệ tương đương với:

từ giả thiết suy ra: $y = \frac{2x}{2x-1}$ và $\frac{1}{x} < 2$ hay $x > \frac{1}{2}$

ta có: $5x^{2}+y-4xy+y^{2}= (2x -y)^2 + x^2 + y \geq x^2 +y =  x^2 + \frac{2x}{2x-1}$

cần chứng minh: $  x^2 + \frac{2x}{2x-1} \geq 3$

                       $\Leftrightarrow \frac{(3x+2)(x-1)^2}{2x-1} \geq 0 $       (đúng vì $x > \frac{1}{2}$)