cat love math

a) $\overrightarrow{GA}-2\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}=(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GB})+2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{GC}=0$ 

Suy ra G là điểm đối xứng với tâm O qua cạnh CD.

Suy ra: $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IG}=\frac{3\overrightarrow{AD}}{2}+\frac{\overrightarrow{AB}}{2}$

Giả thiết suy ra: $\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{NC}.\overrightarrow{PA}=\alpha \beta \gamma \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{NA}.\overrightarrow{PB}$

Suy ra: $\alpha \beta \gamma =1\Leftrightarrow \frac{\overrightarrow{MB}}{\overrightarrow{MC}}.\frac{\overrightarrow{NC}}{\overrightarrow{NA}}.\frac{\overrightarrow{PA}}{\overrightarrow{PB}}=1\Leftrightarrow \frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}.\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=1\Leftrightarrow M,N,P thẳng hàng$ (Định lí Menalaus dạng đại số)

Còn về tính độ dài EF thì kéo dài FL cắt KH tại M, bạn tính được ME, MF rồi dùng Pitago là ra EF thôi

a) Qua E kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB, CD tại K, H; qua F kẻ FL vuông góc với BC tại L.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AK}=\frac{\overrightarrow{c}}{2}; \overrightarrow{BL}=\frac{-\overrightarrow{a}}{2}$

                    $HE=\frac{CD\sqrt{3}}{2}=\frac{DA\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\overrightarrow{HE}=\frac{\sqrt{3}\overrightarrow{DA}}{2}=\frac{\sqrt{3}\overrightarrow{a}}{2}$

                    $\overrightarrow{EK}=\frac{(2-\sqrt{3})\overrightarrow{a}}{2}$

Tương tự:    $\overrightarrow{LF}=\frac{\sqrt{3}\overrightarrow{c}}{2}$

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HE}=\frac{\overrightarrow{c}+\sqrt{3}\overrightarrow{a}}{2}$

$\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CL}+\overrightarrow{LF}=\frac{(2+\sqrt{3})\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}}{2}$

...

b) Tính được $\overrightarrow{AE}=\frac{\overrightarrow{c}+(\sqrt{3}-2)\overrightarrow{a}}{2};\overrightarrow{AF}=\frac{(2+\sqrt{3})\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}}{2}$

Suy ra : $\overrightarrow{AE}=(2+\sqrt{3})\overrightarrow{AF}$. Do đó A, E, F thẳng hàng.

 Untitled2.png   8.43K   65 Số lần tải

a) Hai tam giác OAM và OCP có: OA = OC 

                                                    $\widehat{OAM}=\widehat{OCP}$ ( AB song song CD )

                                                    AM = CP

Suy ra 2 tam giác này bằng nhau => $\widehat{MOA}=\widehat{COP}$ => M, O, P thẳng hàng.

Tương tự suy ra N, O, Q thẳng hàng

b) Do BM = BN, BA = BC nên theo định lí Thales đảo suy ra MN song song AC + PQ song song AC => MN song song PQ. 

Tương tự MQ song song NP. Mà ta lại có AC vuông góc với BD => MNPQ là hình chữ nhật.