thanhthanhtoan

Cho hàm số $y=\frac{2x-4}{x+1} (C)$. Tìm m để đồ thị hàm số cắt $d: y=-x+m$ tại 2 điểm phân biệt $B, C$ thỏa $OABC$ là hình bình hành, với $O$ là gốc tọa độ và $A(-5, 5)$

Bài 1:

  a. $\sqrt{x^{4}+4x+m}+\sqrt[4]{x^{4}+4x+m}=6 (1)$

 

 

$(1)\Leftrightarrow {(\sqrt[4]{x^{4}+4x+m})^2}+\sqrt[4]{x^{4}+4x+m}-6=0 (\sqrt{a}={(\sqrt[4]{a})^2})\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt[4]{x^{4}+4x+m}=-3(VN)\\\sqrt[4]{x^{4}+4x+m}=2 \end{array} \right.\\\Leftrightarrow x^{4}+4x+m=16\\\Leftrightarrow x^{4}+4x=16-m (2)$

 

Ta có số nghiệm của $(1)$ là số nghiệm của $(2)$, số nghiệm của $(2)$ là số giao điểm của 2 đồ thị $y=x^{4}+4x (C)$ và $y=16-m (d)$

Xét hàm số $y=x^{4}+4x; y'=4x^{3}+4; y'=0 \Leftrightarrow x=-1$

BBT:

 

Dựa BBT ta có:

- Nếu $16-m <-3 \Leftrightarrow m >19 \Leftrightarrow (C)\cap d = \o => (1)$ vô nghiệm

- Nếu $16-m = -3 \Leftrightarrow m =19 \Leftrightarrow (C)$ cắt $d$ tại 1 điểm $=> (1)$ có 1 nghiệm

- Nếu $16-m > -3 \Leftrightarrow m <19 \Leftrightarrow (C)$ cắt $d$ tại 2 điểm $=> (1)$ có 2 nghiệm

Lập phương trình đường thẳng $d$ qua $M(-3;1)$ thỏa mản:

a, $d$ song song với phân giác góc phần tư thứ nhất

b, $d$ qua $N(-2;3)$

 

a)

(Tìm pt đường phân giác góc phần tư thứ nhất: Vì là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất nên mọi điểm nằm trên đường phân giác này đều có hoành độ bằng tung độ. Gọi đường phân giác này là đường thẳng $(d'): y=ax + b$ Lấy 2 điểm bất kì như $A(1,1),B(2, 2) \in (d')$. Thế vào $(d')$ ta có $a=1, b=0 => (d'): y=x $)

 

Ta có phương trình đường phân giác góc phần tư thứ nhất là: $(d'): y=x <=> x-y=0 => VTCP \overrightarrow{u_{d'}}=(1, -1)$

Do $(d) || (d')=> VTCP \overrightarrow{u_{d}} = VTCP \overrightarrow{u_{d'}} = (1, -1) => VTPT \overrightarrow{u_{d}}=(1, 1)$

 

Vậy $(d)$ qua $M(-3, 1)$ có $VTPT \overrightarrow{u_{d}}=(1,1)$ có pt là: $1(x+3) + 1(y-1)=0 <=> x+y+2=0$

 

b)

$\overrightarrow{MN}=(1,2)$

$(d)$ qua $M(-3, 1)$ và $N(-2, 3)$  nên $(d)$ có $VTCP \overrightarrow{u_{d}} = \overrightarrow{MN}=(1,2) => VTPT \overrightarrow{n_{d}}=(-2,1)$

Vậy $(d)$ qua $M(-3, 1)$ có $VTPT \overrightarrow{n_{d}}=(-2,1)$ có pt là: $-2(x+3)+1(y-1)=0 <=> -2x+y-7=0 $

Cho hàm số: $y=x^{3} -3x +2 (C)$, tìm $(d)$ cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt $A(2, 4), B, C$ sao cho gốc tọa độ $O$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$

 Bài 1: Biện luận theo m số nghiệm của pt \frac{x^{2}-2x+2}{x-1}=m và so sánh các nghiệm của pt với các số 0,1,2

 Bài 2: Tìm m để mỗi pt sau có nghiệm:

a) $\sqrt{2x-x^{2}}=m$

b) $\sqrt{x-x^{2}}=m-x$

c) $\sqrt {x^{2}-6x+6}=m-x$

d) $x+\sqrt {4-x^{2}}+x\sqrt{4-x^{2}}=m$

        Có ai giải đc 2 bài này giúp mik` ko? Nó liên quan đến GTLN,GTNN 

 

Bài 1: $\frac{x^{2}-2x+2}{x-1}=m (1)$

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của 2 đồ thị $y=\frac{x^{2}-2x+2}{x-1} (c)$ và $y=m(d)$

Xét hàm số $y=\frac{x^{2}-2x+2}{x-1}$

$TXD: D=R|{1}\\y'=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}\\y'=0\Leftrightarrow x=0\vee x=2$

($\vee$: là hoặc)

BBT:

 

Dựa vào BBT ta thấy:

Nếu $m<-2$ hoặc $m>2: (C)$ cắt $(d)$ tại 2 điểm $=>(1)$ có 2 nghiệm

Nếu $m=-2$ hoặc $m=2: (C)$ cắt $(d)$ tại 1 điểm $=>(1)$ có 1 nghiệm

 

(Nhìn vào BBT: Bạn tưởng tượng các mũi tên lên xuống ghép lại thành hình vẽ của đồ thị $(C)$, đường thẳng $d:y=m$ là 1 đường thẳng nằm ngang song song trục $ox$, tưởng tượng (d) là 1 cái thước mằm ngang cắt các mũi tên, bạn sẽ nhìn được số giao điểm, từ đó suy ra số nghiệm. $*$ Nhìn vào BBT cũng giống như việc bạn nhìn vào đồ thị)

$*$: Ý 2 mình chưa gặp bao giờ, nếu khi nào bạn giải được, post lên cho mình xem với nha.

 

Bài 2:

a)  $\sqrt{2x-x^{2}}=m (2)$

Số nghiệm của (2) là số giao điểm của 2 đồ thị $y=\sqrt{2x-x^{2}}$  và $y=m$ 

Xét hàm số: $y=\sqrt{2x-x^{2}}$

$TXD: D= [0;2]\\y'=\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^{2}}}\\y'=0\Leftrightarrow x=1$

BBT:

 

Dựa BBT, để $(2)$ có ngiệm $<=> 0\leq m\leq 1$

 

b) c): tương tự

d) Do câu này hơi đặc biệt nên ngoài cách làm giống trên, mình có thể làm theo cách đặt ẩn phụ như sau, làm sẽ dễ dàng hơn.

$x+\sqrt {4-x^{2}}+x\sqrt{4-x^{2}}=m(3)$

$TXD: D= [-2;2]$

$*$ Đặt $t=x+\sqrt {4-x^{2}}$

Tìm ĐK của t: Xét hàm số t=$x+\sqrt {4-x^{2}}$ với $x\in[-2;2]$

$t'=1-\frac{2}{^{\sqrt{4-x^{2}}}}=\frac{\sqrt{4-x^{2}}-x}{\sqrt{4-x^{2}}}\\t'=0\Leftrightarrow \sqrt{4-x^{2}}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\geq 0 \\ 4-x^{2}=x^{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\geq 0 \\ x=\pm \sqrt{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\sqrt{2}$

BBT:

Từ BBT $=> -2\leq t \leq 2\sqrt{2}$

Vậy ĐK của $t: t\in [-2;2\sqrt{2}]$

 

$*$Ta có: $t^{2}=x^{2}+4-x^{2}+2x\sqrt{4-x^{2}}\\\Leftrightarrow x\sqrt{4-x^{2}}=\frac{t^{2}-4}{2}\\ (3)\Leftrightarrow t+\frac{t^{2}-4}{2}=m (4); t\in[-2,2\sqrt{2}]$

Số nghiệm của pt $(3)$ là số nghiệm của $(4)$, số nghiệm của $(4)$ là số giao điểm của 2 đồ thị $y=t+\frac{t^{2}-4}{2}$ và $y=m$

Xét hàm số $y=t+\frac{t^{2}-4}{2}$ trên $[-2,2\sqrt{2}]$

$y'=1+t; y'=0 \Leftrightarrow t=-1$

BBT:

 

Dựa BBT, để $(3)$ có nghiệm $\Leftrightarrow -\frac{5}{2}\leq m\leq 2+2\sqrt{2}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M, N lần lượt thuộc đoạn SB và AD. BN cắt CD tại I.

1. CMR M, I và trọng tâm G của tam giác SAD thẳng hàng

2. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CGM). CMR trung điểm của đoạn SA thuộc thiết diện này.

3. tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ( AGM)

 

 

Đề này có vấn đề rồi bạn. Cậu 1. CMR M, I, G thẳng hàng, mà như theo đề bạn viết thì M là 1 điểm bất kì thuộc SB mà, nếu ta lấy M ở đâu trên SB thì M, I, G cũng thẳng hàng à?

(Hình vẽ gửi lên sau nha)

Gọi $E$ là trung điểm $CD$. Ta có: $AE\cap MG=K;$$PK\cap AD=J;PK\cap AB=N;$$$JM\cap SD=I;IG\cap SC=Q$$

Dễ dàng chứng minh đc t/d là ngũ giác $MNPQI.$

 

Mình lỡ vẽ hình ra rồi thì lên đây thấy bạn đã giải. Nhưng mình vẫn giải lại để khỏi uổng cái hình vẽ và để làm tư liệu cho mình nữa nha ^^

 

Gọi I là trung điểm CD

$*$ Tìm $(MPG)\cap (ABCD)$:

Trong $(SAI): MG\cap AI = K, KP\cap CD=L$

$\left\{ \begin{array}{l} P\in (MPG)\cap (ABCD) \\ L=(MPG) \cap (ABCD)\end{array} \right.\Rightarrow (MPG)\cap (ABCD)=PL$

$* (MPG)\cap (SCD)$

Trong $(SCD): LG\cap SD=H (H\in SD) \Rightarrow (MPG)\cap (SCD) = LH$

$* (MPG)\cap (SAD) = HM$

$* (MPG)\cap (SAB)$:

Trong $(ABCD): AB\cap LP=E, EM\cap SB = F$

$\left\{ \begin{array}{l} M\in (MPG)\cap (SAB) \\ F\in (MPG)\cap (SAB) \end{array} \right.\Rightarrow (MPG)\cap (SAB)=MF\\ * (MPG)\cap (SBC) = FP$

 

Vậy thiết diện là $MHLPF$

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là một điểm  trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh SB.

1. Tìm giao điểm E, F của IK và DK vs ( SAC)

2. Gọi O là giao của AD và BC. M là giao của SC và OK. CMR A, E, F, M thẳng hàng

 

 

1.

$* IK\cap (SAC)$

Chọn $(SIB)\subset IK\\\left\{ \begin{array}{l} S\in(SIB)\cap (SAC) \\ P\in IB\subset (SIB) , P\in AC\subset (SAC)\rightarrow P\in (SIB)\cap(SAC) \end{array} \right.\\\Rightarrow SP=(SIB)\cap (SAC)\\\Rightarrow IK\cap (SAC)=IK\cap SP =E$

 

$* DK\cap (SAC)$

Chọn $(SDB)\supset DK\\ \left\{ \begin{array}{l} S\in(SDB)\cap(SAC) \\ H\in DB \subset (SBD), H\in AC \subset (SAC)\rightarrow H\in(SBD)\cap (SAC)\end{array} \right.\\\Rightarrow SH=(SBD)\cap(SAC)\\\Rightarrow DK\cap(SAC)=DK\cap SH=F$

 

2. Nhìn trên hình thì đúng 4 điểm thẳng hàng, nhưng rạm thời mình chưa nhìn ra cách CM, khi nào nhìn ra mình giải tiếp.

Cho tứ diện ABCD. M thuộc AC, N thuộc AD. G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao điểm của

1. MN và ( ABG)

2. AG và (BMN)

 

Đây là 1 bài dễ và đơn giản, dễ hơn nhiều so với 1 số bài trước mình đã giải, nên bạn xem bài này trước cho hiểu rồi xem mấy bài kia nha, xem bài từ dễ đến khó.

 

1. $MN\cap (ABG)$:

Chọn $(ACD)\supset MN\\\left\{ \begin{array}{l} A\in(ACD)\cap (ABG) \\ K\in BG\subset (ABG), K\in CD\cap (ACD)\rightarrow K\in(ACD)\cap (ABG) \end{array} \right.\\\Rightarrow AK=(ACD)\cap (ABG)\\\Rightarrow MN\cap (ABG)=MN\cap AK=I$

2. $AG\cap (BMN)$:

Chọn $(ABK)\supset AG\\\left\{ \begin{array}{l} B\in(ABK)\cap (BMN) \\ I\in(ABK) \cap(BMN) \end{array} \right.\Rightarrow BI=(ABK)\cap (BMN)\\\Rightarrow AG\cap(BMN)=AG\cap BI=J$

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc đoạn BC và SD.

1. tìm giao điểm I của BN với (SAC)và giao điểm K của MN với (SAC)

2. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD vs ( BCN)

 

1.

$* BN\cap (SAC)$ :

$O=AC\cap BD$

$Trong (SBD): BN\cap SO=I$

Mà $SO\subset (SAC)\Rightarrow BN\cap (SAC)=I$

$*MN\cap (SAC)$: (Đề là  tìm giao điểm K nhưng mình lỡ đặt tên là J nha.)

Chọn $(BNC)\supset MN\\ \left\{ \begin{array}{l} C\in (BNC)\cap (SAC)\\ I\in(BNC)\cap (SAC) \end{array} \right.\Rightarrow CI=(BNC)\cap (SAC)\\\Rightarrow MN\cap (SAC)=MN\cap CI=J$

 

2.

$*(BNC)\cap (SAD): \left\{ \begin{array}{l} N\in(BNC)\cap (SAD) \\ BC\subset (BNC)\\AD\subset (SAD)\\BC||AD \end{array} \right.\\\Rightarrow (BNC)\cap(SAD)=NP||BC||AD (P\in SA)\\ * (BNC)\cap (SCD)=NC\\ * (BNC)\cap (SAB)=PB\\ * (BNC)\cap(SBC)=BC\\ * (BNC)\cap (ABCD)=BC$

 

Vậy thiết diện: $BCNP$

Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SBC lấy một điểm M và trong tam giác SCD lấy một điểm N.

1. Tìm giao điểm của MN vs ( SAC)

2. Tìm giao điểm của SC vs ( AMN)

3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN)

 

Trong $(SBC)$: Qua $M$ kẻ $SE$ cắt $BC$ tại $E$

Trong $(SCD)$: qua $N$ kẻ $SF$ cắt $CD$ tại $F$

1. $MN\cap (SAC)$:

Chọn $(SEF)\supset MN\\Trong (ABCD): AC\cap EF=K\\\left\{ \begin{array}{l} S\in(SEF)\cap (SAC) \\ K\in(SEF)\cap (SAC) \end{array} \right.\Rightarrow (SEF)\cap (SAC)=SK\\\Rightarrow MN\cap (SAC)=MN\cap SK=I$

 

2. $SC\cap (AMN)$:

Chọn $(SAC)\supset SC\\\left\{ \begin{array}{l} A\in(SAC)\cap (AMN) \\ I\in MN\subset (AMN),I\in SK\subset (SAC) \Rightarrow I\in (SAC)\cap (AMN) \end{array} \right.\\\Rightarrow AI=(SAC)\cap (AMN)\\\Rightarrow SC\cap (AMN)=SC\cap AI=J$

 

3. Thiết diện:

 

$Trong (SBC): JM\cap SB=P\\Trong (SCD): JN\cap SD=Q$

Ta có $(AMN)\cap (SBC)=JP\\(AMN)\cap (SCD)=JQ\\(AMN)\cap (SAB)=AP\\(AMN)\cap (SAD)=AQ$

 

Vậy thiết diện của chóp cắt bởi $(AMN)$ là $PJQA$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E là ba điểm lần lượt lấy trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp bởi ( MNP)

 

Đang gọi $M, N, E$ mà sao lại $(MNP)$ nhỉ? $P$ đâu ra thế, mình làm theo $(MNE)$ nha.

 

Để ý thì thấy 1 số đề tìm thiết diện, người ta thường cho câu phụ tìm giao điểm giữa 1 đường thẳng và 1 mặt phẳng ở trước, để hỗ trợ cho câu tìm thiết diện. Ở bài này tuy không có câu phụ nào đằng trước là tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng nhưng mình nên nghĩ ra câu phụ này để giải quyết bài toán dễ dàng hơn.

 

 

$*$ Tìm $SC\cap (EMN)$ và $SA\cap (EMN)$

Chọn $(SAC)\supset SC, SA\\E\in(SAC)\cap (EMN)(1)\\Trong (ABCD):AC\cap MN=Q\\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}Q\in AC \subset (SAC) \\ Q\in MN\subset (EMN) \end{array} \right.\Rightarrow Q\in(SAC)\cap (EMN)(2)\\(1),(2)\Rightarrow EQ=(SAC)\cap (EMN)\\\Rightarrow SC\cap (EMN)=SC\cap EQ=P$ 

và $SA\cap (EMN)=SA\cap EQ=K$

 

Vậy ta có $(EMN)\cap (SAD)=MK$;

$(EMN)\cap (SCD)=NP$

 

$*$ Tương tự tìm $SB\cap (EMN)$

Chọn $(SBC)\supset SB\\\left\{ \begin{array}{l} P\in(SBC)\cap (EMN) \\ H\in(SBC)\cap (EMN) \end{array} \right.\Rightarrow HP=(SBC)\cap (EMN)\\\Rightarrow SB\cap (EMN)=SB\cap HP=T$

 

Vậy ta có $(EMN)\cap (SBC)=PT$

 

$* (EMN)\cap (ABCD)=MN$

$* (EMN)\cap (SAB)=TK$

 

Vậy thiết diện của chóp cắt bởi $(EMN)$ là $MNPTK$

Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Gọi M là một điểm tùy ý nằm trên cạnh SC ( M không trùng vs C và S) , mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N.

1. Gọi I là giao điểm của BM và AN. CMR khi M di động trên SC thì I di động trên một đoạn thẳng cố định. hãy xác định đoạn thẳng đó

2. Gọi J là giao điểm của AM và BN. CMR M di động trên cạnh SC thì J di động trên một đoạn thẳng cố định.

 

$*$ Xác định $N$: (Xác định giao điểm của đường thằng $d$ và mặt phẳng $(P)$, nếu đường thẳng $d$ không cắt đường thẳng nào trong mặt phẳng $(P)$, thì ta chọn mặt phẳng phụ $(Q)$ chứa đường thẳng $d$, tìm giao tuyến $a$ của $(P) \cap (Q)$, $\Rightarrow d\cap (P)=d\cap a$

 

$Trong (ABCD): AD\cap BC=E$

Chọn  $(SAD)\supset SD\\Trong (SBE): BM\cap SE=F$

Có $\left\{ \begin{array}{l} A\in (ABM)\cap (SAD) \\F\in(ABN)\cap (SAD) \end{array} \right.\Rightarrow (ABM)\cap (SAD)=AF\\\Rightarrow (ABM)\cap SD=AF\cap SD=N$

 

Tao có: $J=AM\cap BN\Rightarrow J\in(SAC)\cap (SBD)$

Mà $SO=(SAC)\cap (SBD)$

Nên $J\in SO$

Vậy $J$ di động trên một đoạn thẳng cố định là SO

 

Đó là câu b), còn câu a) mình không nhìn được BM giao AN, không biết đề có bị nhầm không.

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x+\frac{8}{3}$

Lập phương trình đường thẳng d//0x cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho $\Delta OAB$ cân.

Mong mọi người giúp đỡ, mình xin cám ơn.

$y=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x+\frac{8}{3} (C)$

Gọi phương trình đường thẳng $(d) // Ox$ có dạng: $y=m(m\neq 0)$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ với đường thẳng $(d)$: $\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x+\frac{8}{3}=m\\\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}-9x+8-3m(1)$

 

Do $\Delta OAB$ cân tại $O$ và $AB\perp Oy$ nên $A$ và $B$ đối xứng nhau qua $Oy$. Khi đó $(d)$ cắt $(C)$ tại 3 điểm có hoành độ $x_{1}; -x_{1}; x_{2} (x_{1}\neq 0)$ (Đề nói $(d)$ cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt, chứng tỏ có 1 nghiệm kép, ta cứ giải bình thường theo 3 nghiệm)

Có $x_{1}; -x_{1}; x_{2}$ là nghiệm của phương trình: $(x-x_{1})(x+x_{1})(x-x_{2})=0\Leftrightarrow x^{3}-x_{2}x^{2}-x_{1}^{2}x+x_{1}^{2}x_{2}=0(2)$

Đồng nhất hệ số $(1) và (2)$:

$\left\{ \begin{array}{l} -x_{2} =-3\\ - x_{1}^{2}-9\\ x_{1}^{2}x_{2}=8-3m \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_{2}=3 \\ x_{1}=\pm 3\\m=\frac{-19}{3} \end{array} \right.$

 

Vậy đường thẳng $(d): y=\frac{-19}{3}$

 

Thử thế lại $m=\frac{-19}{3}$ vào $(1)$, ta thấy phương trình chỉ có 2 nghiệm (nghĩa là có 1 nghiệm kép). Nghĩa là $(d)$ cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt. Nên $m=\frac{-19}{3}$ thỏa yêu cầu đề bài.

chứ còn cách nào dùng Viet không ạ, em chưa học cái này )

 

Cái này học lớp 10 mà, thấy em ghi đến từ THPT chắc học lớp 10 rồi chứ?

Nếu xài Viet thì làm thế này, đầu tiên là điều kiện cho $\Delta >0$ như trên nha.

$x_{1}< 3< x_{2}\Leftrightarrow (x_{1}-3)(x_{2}-3)< 0\\\Leftrightarrow x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9< 0\\\Leftrightarrow 3m+4-3(-m-2)+9< 0\Leftrightarrow m< \frac{-19}{6}$

Với $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{3m+4}{1}; x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=\frac{-(m+2)}{1}$ (thỏa Đk m ở trên)