anhquannbk

MÔN GIẢI TÍCH

Bảng A và Bảng B

MÔN ĐẠI SỐ

Bảng A và Bảng B

Cho hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[0,1]$ và thỏa mãn điều kiện:

$ \int\limits_x^1 {f(t)} dt \ge\dfrac{1-x^2}{2}, \forall x \in [0,1] $

Chứng minh rằng:

$ \int\limits_0^1 {[f(x)]^2} dx \ge\int\limits_0^1 {xf(x)} dx , \forall x \in [0,1] $

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$. Chứng minh rằng nếu $trace(A^TA)+n=2.trace(A)$ thì $A$ khả nghịch.

Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A^k=0$ với $k$ nguyên dương cho trước. Ký hiệu

$X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$

Chứng minh rằng hai phương trình $AX=0$ và $(A+A^2+...+A^n)X=0$ đương đương.