congtuholi

hắc hắc, ê Lê Long, tau đã tìm thấy =))

Từ điều kiện đã cho bạn biến đổi về:

$(x-y)(2x+2y+1)=2y^2$

Bạn chứng minh được $(x-y);(2x+2y+1)$ nguyên tố cùng nhau rồi áp dụng nếu tích 2 số là số chính phương mà 2 số nguyên tố cùng nhau thì 2 số đó đều là những số chính phương 

 

 

p/s:mình có hỏi thầy giáo chứng minh bài toán bổ đề trên nhưng thầy bảo không cần chứng minh    

Hắc thật là hắc a~ Mình không biết chứng minh bổ đề ấy, bạn chứng minh được không giúp mình với! Cảm ơn :v

$A = n^{4} + 4^{n}$

Xét 2 trường hợp

* $n > 1$  và $n$ chẵn

Đặt $n=2k$  ,  bài toán viết thành:

$A = \left ( 2k \right )^{4} + 4^{2k}$   $\vdots 2$

Vì $A > 2 , A \vdots 2$ nên A là hợp số

* $n > 1$  và n lẽ

Đặt  $n=2k+1$  $\left ( k > 0 \right )$,  bài toán viết thành:

$A = n^{4} + 4^{2k+1}$

$A= n^{4} + 4^{2k}.4$

$A= n^{4} + \left ( 2.4^{k} \right )^{2}$

$A= \left ( n^{2} + 2.4^{k}\right )^{2} - \left ( 2.n.2^{k} \right )^{2}$

$A= \left ( n^{2} + 2.4^{k}-2.n.2^{k}\right ).\left ( n^{2} +2.4^{k} + 2.n.2^{k}\right )$

$A= \left ( n^{2} + 2^{2k+1} -n.2^{2k+1}\right ).\left ( n^{2} +2^{2k+1} +n.2^{2k+1}\right )$

$A= \left [ \left ( n-2^{k} \right )^{2k} +2^{2k}\right ].\left [ \left ( n+2^{k} \right )^{2} +2^{2k}\right ]$

Vì mỗi thừa số trên đều không bé hơn 2 nên suy ra A là hợp số

Với giả thiết $xyz=1$ ta có

$\sum _{cyc}\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\geq \sum _{cyc}\frac{2x^2\sqrt{\frac{1}{x}}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}=\sum _{cyc}\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Đặt $x\sqrt{x}=a;y\sqrt{y}=b;z\sqrt{\sqrt{z}}=c$

$\Rightarrow P=\sum _{cyc}\frac{2a}{b+2c}=2.\sum _{cyc}\frac{a^2}{ab+2ac}\geq \frac{2(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq 2$

Vậy $P$ min $=2$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

 Nga~ E hiểu rồi ~ Cảm ơn ạ !!! ~ Mong được giúp đỡ thêm ạ~