Tifantasca

Download File :

Đáp án tham khảo đề tuyển sinh 10 chuyên Toán THPT Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ.

Bài 78: (Crux Mathematicorum) Nếu $ a, b, c > 0 $ và $ a < b+c $ thì:
\[\dfrac{a}{1+a} < \dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\]

Vậy là bạn chưa hiểu kĩ về định lí này rồi.Trường hợp hệ số $abc$ dương thì là hàm lồi (nếu bậc theo $abc$ là bậc 2) khi đó hàm theo $abc$ tồn tại max nhưng trong đánh giá của bạn thì ta cần tìm min nên không ổn còn nếu muốn sử dụng thì bạn phải chứng minh hàm đó đơn điệu nhé.

lúc đầu mình cũng nghĩ cách mình chưa ổn lắm, nhưng trong tài liệu Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, phần phương pháp ABC, có 1 ví dụ là bài Iran 1996, dạng vẫn tương tự vậy, hệ số bậc cao nhất là dương, hàm cần chứng minh vẫn là cực tiểu, áp dụng bình thường bạn à

Sai nhé.Định lý này ABC chỉ ra rằng nếu f(r) là hàm lõm thì có min. Hàm lồi tồn tại max còn 1 hàm bậc 2 muốn có min phải đơn điệu tức là phải có $y>0$ nữa.Bài này phải xét 2 TH $y>0$ hoặc $y<0$ rồi áp dụng kiến thức của tam tthức bậc 2

mình nghĩ không sai bạn à, bạn xem phần hệ quả và một số bài tập có liên quan của phương pháp ABC thì chỉ cần hệ số bậc cao nhất của biến abc là dương thì đủ để áp dụng rồi ạ.

Bài 71: ( Polish MO 1992 ) Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$(b+c-a)^2(c+a-b)^2(a+b-c)^2\geq (b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)$

Bài 71: Bất đẳng thức đã cho có thể viết lại dưới dạng:
$ x(abc)^2+yabc+z \geq 0 $
Đây là hàm số bậc 2 đối với $ abc $, ta dễ dàng tính được $ x $ là hằng số dương. Do đó ta có thể áp dụng định lý ABC, xét trường hợp hai biến bằng nhau hoặc một biến bằng nhau.
Trường hợp hai biến bằng nhau, giả sử $ b=c $. Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$ a^4(2b-a)^2 \geq a^4(2b^2-a^2) $
$ \Leftrightarrow a^4(a-b)^2 \geq 0 $ (luôn đúng)
Trường hợp một biến bằng 0, giả sử $ a=0 $. Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành:
$ (b+c)^2b^2c^2 \geq (b^2+c^2)(c^2-b^2)(b^2-c^2) $ 
Nếu $ b > c $ hoặc $ c > b $ thì VT dương, VP âm, bất đẳng thức luôn đúng.
Nên dấu dẳng thức xảy ra khi $ b=c $.
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi hai biến bằng nhau - một biến bằng 0 hoặc ba biến bằng nhau. $ \blacksquare $