Crom

Tính $A=\frac{5}{4}+\frac{5}{4^{2}}+\frac{5}{4^{3}}+...+\frac{5}{4^{99}}$

Cho ba so dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện: $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$

Chứng minh rằng: $\frac{x^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}}{z+x}\geqslant \frac{1}{2}$

Bài 1: Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ cắt nhau tại $A$ và $B (R\neq r)$. Kẻ tiếp tuyến chung $CD$ sao cho $C$ là tiếp điểm của $(O;R)$ và $D$ là tiếp điểm của $(O';r).$

1) Chứng minh đường thẳng $AB$ đi qua trung điểm $K$ của đoạn $CD$.

2) Đường thẳng di qua $C$ song song với $AD$ và đường thẳng đi qua $D$ song song với $AC$ cắt nhau tại E. Chướng minh; $BE<R+r$

Bài 2: Trong hình vuông $ABCD$  cạnh $a$ lấy điểm $E$ sao cho tam giác $ABE$ đều. Các đường thẳng $BE$ và $AD$ cắt nhau tại $F$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $CF$ và $DE$. Tính theo $a$ độ dài các đoạn $BC$ và $MN$.

Bài 1: cho $A=\frac{x^{4}+1}{(1+x^2)^2}$

1) Tìm các giá trị của $x$ khi $A=\frac{2}{3}$

2)  Tìm các giá trị của $x$ để $A$ đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Bài 2: cho $a=\left ( \frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}-\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\right ):\sqrt{48}$

1) Rút gọn $a$

2) Hãy lập một phương trình bậc hai có hệ số là các số nguyên nhận $a-3$ là một nghiệm. Tìm nghiệm còn lại.

Bài 3: Cho hai số dương $a,b$ thỏa mãn: $a^{14}+b^{14}=a^{15}+b^{15}=a^{16}+b^{16}$

Tính giá trị $P=2015a-2015b$

Tìm nghiệm nguyên của pt: $x^{2}+x+2=y^{2}$