tritanngo99

Em vẫn ko biết giải pt này :
Giúp em ạ !
$x^2-5y^2=1$

Em có thể xem chứng minh tại đây:

+http://www-bcf.usc.e...Ep/Pell-IMO.pdf

+https://www.math.auc...ass714/Pell.pdf

 

Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 + 2(a+b+c) = (a+b)(b+c)(c+a)

Chứng minh rằng: 2(ab+bc+ca) <= a²(a+b) + b²(b+c) + c²(c+a)

 

Ta có: $2+2(a+b+c)=(a+b)(b+c)(c+a)\iff \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{c+a+1}=1$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwart ta có: $1=\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{c+a+1}=\frac{a^2}{a^2(1+a+b)}+\frac{b^2}{b^2(1+b+c)}+\frac{c^2}{c^2(c+a+1)}\ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)}$

$\implies a^2+b^2+c^2+a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)\ge (a+b+c)^2\iff a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)\ge 2(ab+bc+ca)$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=1$.

Bạn chú ý đọc kĩ nội quy diễn đàn nhé:

• Hướng dẫn gửi bài trên diễn đàn
• Đặt tiêu đề đúng quy định
• Gõ công thức Toán
• Chọn Thích thay cho lời cảm ơn
• Báo cáo bài viết vi phạm

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$P=\frac{\sqrt{1+a^{2}}}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{\sqrt{1+b^{2}}}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{\sqrt{1+c^{2}}}{\sqrt{1+a^{2}}}\geq 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số ta có: $\sum \frac{\sqrt{1+a^2}}{\sqrt{1+b^2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{1+a^2}}{\sqrt{1+b^2}}.\frac{\sqrt{1+b^2}}{\sqrt{1+c^2}}.\frac{\sqrt{1+c^2}}{\sqrt{1+a^2}}}=3$.

Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

Cho em hỏi là
min{$v_p(a),v_p(b)$}=$v_p(a+b)$
Hay min{$v_p(a),v_p(b)$}$\leq v_p(a+b)$

Giả sử: $v_p(a)=\alpha;v_p(b)=\beta\implies a=p^{\alpha}.u(u\not \vdots p)\text{ và }b=p^{\beta}.v(v\not \vdots p)$.

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng: $\alpha\le \beta\implies min(\alpha,\beta)=\alpha$.

Lúc này ta có: $a+b=p^{\alpha}.u+p^{\beta}.v=p^{\alpha}(u+p^{\beta-\alpha}.v)$.

Đến đây ta xét hai trường hợp:

TH1: Nếu $\alpha=\beta$ và $u+v\vdots p$ ,khi đó ta có: $v_p(a+b)>\alpha=min(v_p(a),v_p(b))$.

TH2: Ngược lại, nếu $\alpha<\beta$ hoặc $u+v\not \vdots p$, khi đó ta có: $v_p(a+b)=\alpha=min(v_p(a),v_p(b))$

Vậy $min(v_p(a),v_p(b))\le v_p(a+b)$

Ngoài ra, bạn có thể tham khảo một số bài tập tại đây:

+https://euclid.ucc.i...nt-lemmaRob.pdf

+https://brilliant.or...g-the-exponent/

Có 2018 viên sỏi. Hai người A và B sẽ chọn lấy số lượng sỏi là một hoặc 2 hoặc 1 nửa số sỏi nếu lượng sỏi chẳn ở mỗi lượt đi của mình .
Người chọn viên sỏi cuối sẽ là người thắng cuộc.
A đi trước

Hỏi ai có chiến lược thắng cuộc ?

Bạn có thể tham khảo các bài toán cổ điển trong lý thuyết game tại đây:https://annarchive.c...al Plays V1.pdf

Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}$

Ta sẽ chứng minh rằng: $P_{max}=\frac{1}{2}$.

Thật vậy, ta có: $P=\sum \frac{1}{x+2y+3}=\frac{7\sum xy+2\sum x^2+18\sum x+27}{2\sum x^2y+4\sum xy^2+6\sum x^2+21\sum xy+9xyz+27\sum x+27}$.

Ta có: $P\le \frac{1}{2}\iff \frac{7\sum xy+2\sum x^2+18\sum x+27}{2\sum x^2y+4\sum xy^2+6\sum x^2+21\sum xy+9xyz+27\sum x+27}\le \frac{1}{2}$.

$\iff 2\sum x^2y+4\sum x^2z+2\sum x^2+7\sum xy\ge 9\sum x+18$.

Theo AM-GM ta có: $2x^2y+xz^2=x^2y+x^2y+xz^2=x(xy+xy+z^2)\ge 3x\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3x$, tương tự ta có: $2y^2z+yx^2\ge 3y;2z^2x+zy^2\ge 3z$.

Cộng ba bất đẳng thức trên ta được: $3\sum x^2y\ge 3x\iff \sum x^2y\ge \sum x$.

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có: $\sum x^2z\ge \sum x$.

Khi đó ta có: $2\sum x^2y+4\sum x^2z+2\sum x^2+7\sum xy=2\sum x^2y+4\sum x^2z+(x+y+z)^2+\sum x^2+5\sum xy$.

Ta thấy rằng:

+$2\sum x^2y\ge 2\sum x$

+$4\sum x^2z\ge 4\sum x$

+$(x+y+z)^2=(x+y+z)(x+y+z)\ge 3\sqrt[3]{xyz}.(x+y+z)=3\sum x$.

+$\sum x^2\ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3$

+$5\sum xy\ge 5.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=15$

Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh.

Có thể giải thích giúp em "bước nhảy Viete " là gì ko ạ ???

Bản chất của phương pháp bước nhảy Viete là em sử dụng linh hoạt định lý Viete, nghiệm của  tam thức bậc hai để giải quyết các phương trình nghiệm nguyên !!! Em có thể thấy rõ hơn trong các ví dụ mà anh đưa ra!

* Theo anh: Chỉ cần hiểu thấu đáo các ví dụ là em có thể nắm được kĩ thuật này rồi !!!

Chúc em thành công !!

Cho e hỏi bước nhảy viete là j ạ ???
Em ko thấy lí thuyết phần này mà chỉ thấy áp dụng.mấy ac nói sơ sơ cho em biết đc ko ạ ??
Cảm ơn nhiều !!!

Bạn có thể tham khảo tại đây:https://diendantoanh...eta-jumb-la-gi/

+  Vieta_Jumping.pdf   85.33K   780 Số lần tải

+  2010 Summer Camp - Week 2 - SOS, Quadratics, Vieta Jumping.pdf   146.65K   596 Số lần tải

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R).Đường cao AI,BK cắt nhau tại H.M là trung điểm BC.Vẽ HJ vuông góc AM.Cmr:MJ.MA<R^2

a,Cmr AHJK nội tiếp và góc IHK=góc MJK

b,AJK đồng dạng ACM

c,CM MJ.MA<R^2

Lời giải:

a) Xét tứ giác $AHJK$ có $\angle{AKH}=\angle{AJH}=90^0$, nên ta suy ra được tứ giác $AHJK$ là tứ giác nội tiếp.

Từ đây ta suy ra được: $\angle{AHK}=\angle{AJK}\implies 180^0-\angle{AHK}=180^0-\angle{AJK}\iff \angle{IHK}=\angle{MJK}$.

b) Ta có: $\angle{AHK}=\angle{AJK}$, mà $\angle{AHK}=\angle{ACI}$ (do cùng phụ với $\angle{HAC}$) nên ta suy ra được: $\angle{AJK}=\angle{ACM}$.

Xét $\triangle{AJK}$ và $\triangle{ACM}$ có $\angle{AJK}=\angle{ACM}$ và $\angle{JAK}=\angle{MAC}$.

$\implies \triangle{AJK}\sim\triangle{ACM}(g.g)$

c) Đầu tiên ta sẽ đi chứng minh $MJ.MA=MK^2$.

Trước tiên ta đi chứng minh: $\angle{JKM}=\angle{MAK}$, thật vậy:

Ta có: $\angle{JKM}=\angle{HKM}-\angle{HKJ}$. Mà $\angle{HKM}=\angle{MBK}=\angle{HAK}$ và $\angle{HKJ}=\angle{HAJ}$. Nên từ đây ta suy ra được: $\angle{JKM}=\angle{HAK}-\angle{HAJ}=\angle{MAK}$.

Từ đây ta dễ dàng suy ra được: $\triangle{MKJ}\sim \triangle{MAK}(g.g)\implies \frac{MK}{MJ}=\frac{MA}{MK}\implies MK^2=MJ.MA$.

Mặt khác: $MK=MB=MC<OC=R$.

$\implies MJ.MA=MK^2<R^2$. Vậy ta có điều phải chứng minh.

LƯỢC SỬ THỜI GIAN
(A Brief History of Time)
Tác Giả:-Steven Hawking - Dịch Giả:-Thích Viên Lý
Viện Triết Lý Việt Nam và Triết Học Thế Giới, USA

THUẬT NGỮ DÙNG TRONG SÁCH
(Theo thứ tự abc của từ ngữ Anh văn trong ngoặc)
 

Độ không tuyệt đối (absolute zero): Ôn độ thấp nhất có thể đạt đến, ở ôn độ này vật chất không chứa nhiệt năng.

Độ gia tốc (acceleration): Tốc xuất mà tốc độ của một vật thay đổi.

Nguyên lý vị nhân chủng (anthropic principle): Chúng ta thấy vũ trụ ở dạng này là vì nếu nó khác thì chúng ta đã không có mặt ở đây để quan sát nó.

Phản hạt (antiparticle): Mỗi loại hạt vật chất (matter particle) đều có một phản hạt. Khi một hạt đụng chạm với phản hạt của nó thì chúng hủy diệt lẫn nhau, chỉ lưu lại năng lượng.

Nguyên tử (atom): Đơn vị cơ bản của vật chất thông thường, cấu tạo bởi một cái nhân thật nhỏ (trong nhân bao gồm những proton vàtrung hòa tử), với các điện tử chuyển động xung quanh nhân này.

Bùng nổ lớn (big bang): Điểm kỳ dị vào lúc mở đầu vũ trụ.

Co sụp lớn (big crunch): Điểm kỳ dị vào lúc kết thúc vũ trụ.

Hố đen (black hole): Một khu vực trong không-thời gian mà từ đó không vật gì, kể cả ánh sáng, có thể thoát ra, vì hấp lực tại đây quá mạnh.

Giới hạn Chandrasekhar (Chandrasekhar limit): Khối lượng tối đa khả hữu của một tinh tú nguội lạnh (cold star) ổn định, nếu vượt quá khối lượng này tinh tú phải co sụp thành một hố đen.

Bảo tồn năng lượng (conservation of energy): Định luật khoa học nói rằng năng lượng (hoặc khối lượng tương đương của nó) không thể được tạo ra hoặc hủy diệt.

Tọa độ (coordinates): Những con số chỉ định vị trí của một điểm trong không-thời gian.

Hằng số vũ trụ (cosmologiacal constant): Một phương pháp toán học mà Einstein đã dùng để khiến không-thời gian có khuynh hướng bành trướng cố hữu.

Vũ trụ luận (cosmology): Môn học nghiên cứu toàn thể vũ trụ.

Điện tích (electric charge): Đặc tánh của một hạt khiến nó đẩy xa (hoặc hấp dẫn) những hạt khác có điện tích giống như nó (hoặc tương phản với nó).

Lực điện từ (electromagnetic force): Lực phát ra giữa những hạt có điện tích, lực này có sức mạnh thứ nhì trong bốn lực cơ bản.

Điện tử (electron): Một hạt có điện tích âm chạy quanh nhân của một nguyên tử.

Năng lượng thống nhất điện yếu (electroweak unification energy): Năng lượng (khoảng 100 GeV) mà khi vượt trên giới hạn này thì sự khác biệt giữa lực điện từ và lực yếu sẽ biến mất.

Hạt cơ bản (elementary particle): Một hạt không thể phân chia được nữa.

Biến cố (event): Một điểm trong không-thời gian được ấn định bởi không gian và thời gian của nó.

Chân trời biến cố (event horizon): Biên giới của một hố đen.

Nguyên lý loại trừ (exclusion principle): Hai hạt có vòng quay ½ giống hệt nhau không thể vừa có cùng vị trí vừa có cùng tốc độ (trong giới hạn do nguyên lý bất định đặt ra).

Trường (field): Cái gì đó hiện hữu trong khắp không-thời gian, trái với một hạt chỉ hiện hữu tại một điểm ở thời gian nào đó.

Tần số (frequency): Tổng số chu kỳ của một làn sóng trong một giây đồng hồ.

Tia gamma (gamma ray): Những sóng điện từ có độ dài rất ngắn, phát sinh từ sự suy biến phóng xạ hoặc bởi những đụng chạm giữa các hạt cơ bản.

Tương đối tổng quát (general relativity): Lý thuyết của Einstein đặt căn bản trên điều tin tưởng rằng các định luật khoa học đều giống nhau đối với mọi người quan sát, bất kể họ chuyển động như thế nào. Thuyết này giải thích hấp lực theo dạng cong của không-thời gian bốn chiều.

Trắc địa tuyến (geodesic): Con đường ngắn nhất (hoặc dài nhất) giữa hai điểm.

Năng lượng đại thống nhất (grand unification energy): Người ta tin rằng ở trên năng lượng này lực điện từ, lực yếu và lực mạnh trở thành bất khả phân biệt.

Thuyết đại thống nhất (GUT - grand unified theory): Lý thuyết thống nhất lực điện từ, lực mạnh và lực yếu.

Thời gian tưởng tượng (imaginary time): Thời gian đo bằng những con số tưởng tượng.

Hình nón ánh sáng (light cone): Một bề mặt trong không-thời gian đánh dấu những chiều hướng mà các tia sáng có thể đi qua một biến cố.

Giây ánh sáng (hoặc năm ánh sáng): Khoảng cách mà ánh sáng di chuyển trong một giây (hoặc một năm).

Từ trường (magnetic field): Trường của từ lực, ngày nay đã được hợp nhất với điện lực thành lực điện từ.

Khối lượng (mass): Số lượng của vật chất trong một vật thể; quán tính của vật thể, hoặc sự kháng cự của vật thể đối với độ gia tốc.

Bức xạ bối cảnh sóng ngắn (microwave background radiation): Bức xạ từ sự rực sáng của vũ trụ nóng trong thời kỳ sơ khai, ngày nay nó đã chuyển đỏ nhiều tới độ chúng ta không nhận thấy nó là ánh sáng mà là những sóng ngắn (những sóng vô tuyến có độ dài vài centimét).

Điểm kỳ dị trần truồng ("từ cấm" singularity): Một điểm kỳ dị trong không-thời gian không có hố đen vây quanh.

Neutrino (trung vi tử): Một hạt cơ bản cực nhẹ (có thể không có khối lượng) chỉ chịu ảnh hưởng của lực yếu và hấp lực.

Trung hòa tử (neutron): Một hạt không có điện tích, rất giống proton, bao gồm khoảng một nửa những hạt trong nhân của đa số nguyên tử.

Trung tử tinh (neutron star): Một tinh tú nguội lạnh được chống đỡ bởi lực đẩy giữa các trung hòa tử theo nguyên lý loại trừ.

Điều kiện vô biên giới (no boundary condition): Ý kiến cho rằng vũ trụ là hữu hạn nhưng không có biên giới (trong thời gian tưởng tượng).

Tụ biến hạt nhân (nuclear fusion): Tiến trình trong đó hai hạt nhân đụng nhau và kết hợp thành một hạt nhân nặng hơn.

Hạt nhân (nucleus): Phần trung tâm của một nguyên tử, chỉ gồm có những protons và trung hòa tử, được giữ dính vào nhau bởi lực mạnh.

Máy gia tốc hạt (particle accelerator): Một loại máy sử dụng điện từ có thể gia tăng tốc độ những hạt có điện tích đang chuyển động, khiến chúng có thêm năng lượng.

Pha (phase): Đối với một sóng, vị trí trong chu kỳ của nó ở một thời gian đặc biệt: sự đo lường sóng để biết nó ở đỉnh, ở đáy, hay ở điểm nào đó giữa đỉnh và đáy.

Quang tử (photon): Một lượng tử của ánh sáng.

Nguyên lý lượng tử của Planck (Planck's quantum principle): Ý kiến cho rằng ánh sáng (hoặc bất cứ những sóng cổ điển nào) chỉ có thể được phát ra hoặc thu hút trong những lượng tử cố định, và năng lượng của chúng có tỷ lệ thuận với tần số của chúng.

Phản điện tử (positron, dương điện tử): Phản hạt (có điện tích dương) của điện tử.

Hố đen ban đầu, hay nguyên thuỷ (primordial black hole): Loại hố đen được cấu tạo trong thời kỳ sơ khai của vũ trụ.

Tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch (proportional, inversely proportional): "X có tỷ lệ thuận với Y" nghĩa là khi Y được nhân lên bởi bất cứ con số nào thì X cũng tăng lên như vậy. "X có tỷ lệ nghịch với Y" nghĩa là khi Y được nhân lên bởi bất cứ con số nào thì Y được chia ra bởi con số đó.

Proton: Hạt có điện tích dương bao gồm khoảng một nửa tổng số hạt trong đa cố nguyên tử.

Lượng tử (quantum): Đơn vị không thể phân chia trong đó sóng có thể phát xạ hoặc hấp thụ.

Cơ học lượng tử (quantum mechanics): Lý thuyết được khai triển từ nguyên lý lượng tử của Max Planck và nguyên lý bất định của Werner Heisenberg.

Quark: Một hạt cơ bản cảm thụ lực mạnh. Mỗi proton và trung hòa tử được cấu tạo bởi 3 quark.

Radar: Hệ thống dùng sóng vô tuyến xung động để dò tìm vị trí của những vật thể bằng cách đo lường thời gian mà một xung cần đến để đạt tới vật thể và phản chiếu lại.

Tánh phóng xạ (radioactivity): Sự tan vỡ tự động của một loại hạt nhân nguyên tử để trở thành một loại hạt nhân nguyên tử khác.

Chuyển đỏ (red shift): Sự chuyển đổi sang màu đỏ của ánh sáng từ một tinh tú đang di chuyển càng lúc càng xa trái đất hơn.

Điểm kỳ dị (singularity): Một điểm trong không-thời gian ở đó dạng cong của không-thời gian trở thành vô hạn.

Định đề điểm kỳ dị (singularity theorem): Định đề nói rằng một điểm kỳ dị phải hiện hữu trong những tình huống nào đó – đặc biệt là vũ trụ cần phải bắt đầu từ một điểm kỳ dị.

Không-thời gian (space-time): Không gian bốn chiều mà các điểm của nó là những biến cố.

Chiều không gian (spatial dimension): Bất cứ chiều nào giống như không gian của ba chiều trong không-thời gian – nghĩa là bất cứ chiều nào, ngoại trừ chiều thời gian.

Tương đối đặc biệt (special relativity): Lý thuyết của Einstein đặt căn bản trên điều tin tưởng rằng các định luật khoa học đều giống nhau đối với mọi người quan sát, bất kể tốc độ di chuyển của họ.

Phổ (spectrum): Có nhiều loại phổ, thí dụ như sự phân chia của một sóng điện từ thành những tần số của nó.

Quay (spin): Một đặc tánh nội tại của những hạt cơ bản, liên hệ tới (nhưng không giống hệt) quan niệm thông thường của chúng ta về động tác quay.

Trạng thái ổn cố (stationary state): Trạng thái không thay đổi với thời gian: một khối hình cầu quay ở một vận tốc cố định được coi là ổn cố vì trông nó giống nhau ở bất cứ thời khắc nào, tuy rằng nó không bất động.

Lực mạnh (strong force): Lực mạnh nhất trong bốn lực cơ bản, với tầm xa ngắn nhất trong số bốn lực. Nó giữ cho các quark dính vào nhau bên trong các proton và trung hòa tử, và giữ cho các proton và trung hòa tử dính vào nhau để tạo thành nguyên tử.

Nguyên tắc bất định: Người ta không bao giờ có thể biết chính xác cả vị trí lẫn vận tốc của một hạt cùng một lúc; khi càng biết chính xác hơn về điều này thì càng biết ít chính xác hơn về điều kia.

Hạt ảo (virtual particle): Trong cơ học lượng tử, một hạt mà người ta không bao giờ có thể dò tìm một cách trực tiếp, nhưng sự hiện hữu của nó có những hiệu ứng có thể đo lường được.

Độ dài sóng (wavelength): Khoảng cách giữa hai đỉnh hoặc hai đáy kế cận nhau của sóng.

Lưỡng tính sóng/hạt (wave/particle duality): Khái niệm trong cơ học lượng tử nói rằng không có sự khác biệt giữa các sóng và các hạt; đôi khi các hạt có hành vi giống như sóng, và đôi khi các sóng có hành vi giống như hạt.

Lực yếu (weak force): Lực yếu thứ nhì trong số bốn lực cơ bản, với tầm xa rất ngắn. Lực này ảnh hưởng tới tất cả các hạt vật chất, nhưng không ảnh hưởng tới các hạt mang kèm lực.

Trọng lượng (weight): Lực tác động lên một vật thể bởi trường hấp lực. Lực này có tỷ lệ thuận với khối lượng của vật thể, nhưng không giống hệt khối lượng.

Bạch tiểu tinh (white dwarf): Một tinh tú nguội lạnh được chống đỡ bởi lực đẩy giữa các điện tử theo nguyên lý loại trừ.

LƯỢC SỬ THỜI GIAN
(A Brief History of Time)
Tác Giả:-Steven Hawking - Dịch Giả:-Thích Viên Lý
Viện Triết Lý Việt Nam và Triết Học Thế Giới, USA

CHƯƠNG 11
KẾT LUẬN

Chúng ta thấy mình ở trong một thế giới đầy những thắc mắc. Chúng ta muốn giải thích những gì chúng ta nhìn thấy chung quanh chúng ta và đặt câu hỏi: Bản chất của vũ trụ là gì? chỗ đứng của chúng ta trong đó là gì và nó và chúng ta từ đâu mà tới? Tại sao nó lại như thế?

Để cố trả lời những câu hỏi này chúng ta chấp nhận một "hình ảnh thế giới" nào đó. Cũng như một cái tháp vô tận gồm những con rùa chống đỡ trái đất dẹp là một hình ảnh như vậy, lý thuyết về những sợi dây siêu đẳng cũng thế. Cả hai đều là những thuyết về vũ trụ, mặc dù thuyết sau có tính cách toán học và chính xác hơn nhiều so với thuyết trước. Cả hai thuyết đều thiếu chứng cớ do quan sát: không ai từng nhìn thấy một con rùa khổng lồ với trái đất nằm trên lưng, nhưng rồi cũng không ai thấy một sợi dây siêu đẳng. Tuy nhiên, thuyết con rùa không phải là một thuyết khoa học tốt bởi vì nó tiên đoán rằng người ta phải có thể rơi khỏi bờ của thế giới. Điều này đã không thấy phù hợp với kinh nghiệm, ngoại trừ nó biến thành sự giải thích về những người coi như đã biến mất trong Tam Giác Bermuda!

Những cố gắng về mặt lý thuyết ban đầu để mô tả và giải thích vũ trụ liên quan đến ý tưởng rằng các biến cố và hiện tượng thiên nhiên bị kiểm soát bởi những thần linh có những cảm xúc của con người và hành động theo một bản chất rất giống con người và không thể tiên đoán được. Những thần linh này nằm ở những vật thiên nhiên, như sông và núi, kể cả các vật thể vũ trụ, giống như mặt trời và mặt trăng. Người ta phải làm hài lòng và tìm ân huệ của những thần linh này để bảo đảm sự mầu mỡ của đất đai và sự quay vòng của mùa. Tuy nhiên, dần dần, người ta phải nhận thấy rằng có những sự đều đặn nào đó: mặt trời luôn luôn mọc ở hướng đông và lạên ở hướng tây, dù có dâng vật cúng tế nào cho thần mặt trời hay không. Hơn nữa, mặt trời, mặt trăng, và các hành tinh đi theo những con đường rõ rệt ngang bầu trời, có thể được tiên đoán với sự chính xác đáng kể. Mặt trời và mặt trăng có thể vẫn còn là thần linh, nhưng chúng là những thần linh chịu tuân theo những định luật chặt chẽ, có vẻ như không có ngoại lệ nào, nếu người ta bỏ qua những câu chuyện như câu chuyện mặt trời ngừng lại vì Joshua.

Lúc đầu, những sự đều đặn và định luật này chỉ hiển nhiên trong thiên văn học và một vài tình huống khác. Tuy nhiên, khi nền văn minh phát triển, và đặc biệt trong 300 năm vừa qua, càng ngày những sự đều đặn và các định luật càng được khám phá thêm. Sự thành công của những định luật này đã khiến Laplace vào đầu thế kỷ 19 đưa ra thuyết định mệnh khoa học, nghĩa là, ông cho rằng sẽ có một bộ các định luật quyết định sự tiến hóa của vũ trụ một cách chính xác, xét về hình dạng của nó tại một thời điểm.

Thuyết định mệnh của Laplace không đầy đủ trên hai phương diện. Nó đã không cho biết các định luật đã được lựa chọn như thế nào và nó đã không định rõ hình dạng ban đầu của vũ trụ. Những điều này đã được dành cho Thượng Đế. Thượng Đế sẽ lựa chọn cách vũ trụ khởi đầu và những định luật nào nó tuân theo, nhưng sẽ không can thiệp vào vũ trụ một khi nó đã khởi đầu. Hậu quả là, Thượng Đế đã bị giới hạn ở những lãnh vực mà khoa học thời thế kỷ 19 đã không hiểu.

Hiện giờ chúng ta biết rằng hy vọng của Laplace về thuyết định mệnh không thể thành hình, ít ra theo các điều kiện mà ông đã hình dung. Nguyên tắc bất định của cơ học lượng tử ngụ ý rằng vài cặp số lượng, như vị trí và tốc độ của một hạt, không thể tiên đoán cả hai với sự chính xác hoàn toàn.

Cơ học lượng tử đối phó với tình trạng này qua một lớp các lý thuyết lượng tử trong đó các hạt không có những vị trí và tốc độ được xác định rõ rệt mà được biểu diễn bởi một sóng. Những lý thuyết lượng tử này có tính cách định mệnh theo ý nghĩa rằng chúng đưa ra những định luật cho sự tiến hóa của sóng theo thời gian. Như vậy nếu người ta biết sóng tại một thời điểm, người ta có thể tính toán nó ở bất cứ thời điểm nào khác. Yếu tố tình cờ, không thể tiên đoán được chỉ du nhập khi chúng ta cố giải thích sóng theo vị trí và tốc độ của các hạt. Nhưng có lẽ đó là sự lầm lẫn của chúng ta: có thểõ không có các vị trí và tốc độ của hạt, mà chỉ có các sóng. Chỉ vì chúng ta cố đưa các sóng vào những ý tưởng đã được ấp ủ từ trước về các vị trí và tốc độ. Sự không ăn khớp do đó là nguyên nhân đưa đến sự bất khả tiên toán thấy rõ.

Thật vậy, chúng ta đã định nghĩa lại nhiệm vụ của khoa học như là sự khám phá các định luật sẽ cho phép chúng ta tiên đoán các biến cố tới các giới hạn được đặt ra bởi nguyên tắc bất định. Tuy nhiên, câu hỏi vẫn còn đó: Như thế nào hoặc tại sao các định luật và tình trạng sơ khởi của vũ trụ đã được lựa chọn?

Trong cuốn sách này tôi đã dành ưu thế đặc biệt cho các định luật chi phối hấp lực, bởi vì chính hấp lực là cái hình thành cơ cấu tầm mức lớn của vũ trụ, mặc dù nó là lực yếu nhất trong số bốn loại lực. Các định luật về hấp lực không phù hợp với quan điểm được duy trì mãi cho tới gần đây rằng vũ trụ không thay đổi theo thời gian: sự kiện rằng hấp lực luôn luôn thu hút ngụ ý rằng vũ trụ phải hoặc đang bành trướng hoặc đang co rút. Theo thuyết tương đối tổng quát, phải có một tình trạng mật độ vô hạn trong quá khứ, vụ nổ lớn, là một sự khởi đầu có hiệu quả về thời gian. Tương tự, nếu toàn thể vũ trụ co sụp trở lại, phải có một tình trạng mật độ vô hạn khác trong tương lai, vụ đổ vỡ lớn, sẽ là một kết cuộc về thời gian. Cho dù toàn thể vũ trụ không co sụp trở lại, sẽ có những điểm kỳ dị tại những vùng nhỏ co sụp để hình thành các lỗ đen. Những điểm kỳ dị này sẽ là một kết cuộc về thời gian đối với bất cứ ai rơi vào lỗ đen. Tại vụ nổ lớn và những điểm kỳ dị khác, mọi định luật sẽ sụp đổ, do có Thượng Đế vẫn còn hoàn toàn tự do để lựa chọn những gì đã xảy ra và vũ trụ đã bắt đầu như thế nào.

Khi chúng ta kết hợp cơ học lượng tử với thuyết tương đối tổng quát, hình như có một sự khả dĩ mới đã không xuất hiện trước đây: rằng không gian và thời gian cùng nhau có thể hình thành một không gian bốn chiều hữu hạn mà không có các điểm kỳ dị hoặc biên giới, giống như bề mặt của trái đất nhưng với nhiều chiều hơn. Hình như ý tưởng này có thể giải thích nhiều trong số những đặc điểm đã được quan sát của vũ trụ, như sự đồng đều của nó trên tầm mức lớn và cả những thất thoát với tầm mức nhỏ hơn từ sự đồng nhất, như các thiên hà, các ngôi sao, và ngay cả nhân loại. Nó còn liên quan đến mũi tên thời gian mà chúng ta quan sát. Nhưng nếu vũ trụ hoàn toàn tự chứa đựng, mà không có các điểm kỳ dị hoặc biên giới, và hoàn toàn được mô tả bởi một thuyết thống nhất, điều đó có những hàm ý sâu xa về vai trò của Thượng Đế với tính cách Đấng Sáng Tạo.

Einstein có lần đã đặt câu hỏi: "Thượng Đế có bao nhiêu lựa chọn trong việc xây dựng vũ trụ?" Nếu ý kiến không biên giới là đúng, Thượng Đế không có tự do nào trong việc lựa chọn những điều kiện sơ khởi. Dĩ nhiên Thượng Đế vẫn có tự do để lựa chọn những định luật mà vũ trụ tuân theo. Tuy nhiên, điều này có thể không thực sự là một lựa chọn; rất có thể chỉ có một lựa chọn, hoặc một số nhỏ, các lý thuyết thống nhất hoàn chỉnh, như lý thuyết dây dị biệt, tự phù hợp và cho phép sự hiện hữu của các cơ cấu phức tạp như con người, sinh vật có thể khảo sát những định luật của vũ trụ và đặt câu hỏi về bản chất của Thượng Đế.

Cho dù chỉ có thể có một lý thuyết thống nhất, đó cũng chỉ là một bộ các quy luật và các phương trình. Điều gì gây ra những phương trình và tạo một vũ trụ để chúng mô tả? Phương pháp thường lệ của khoa học trong việc xây dựng một mô hình toán học không thể trả lời những câu hỏi tại sao phải có một vũ trụ để mô hình mô tả. Tại sao vũ trụ lại làm cho mọi người thắc mắc về sự hiện hữu? Thuyết thống nhất có đủ sức thuyết phục để đem lại sự tồn tại của chính nó hay không? Hay liệu có cần một đấng sáng tạo hay không, và, nếu như vậy, đấng sáng tạo có ảnh hưởng nào khác đối với vũ trụ hay không? Và ai tạo ra đấng sáng tạo?

Cho tới bây giờ, hầu hết các khoa học gia còn quá bận rộn với sự phát triển các lý thuyết mới mô tả vũ trụ là gì nên chưa đặt câu hỏi tại sao. Mặt khác, những người làm công việc đặt ra câu hỏi tại sao, các triết gia, đã không thể bắt kịp đà tiến bộ của những lý thuyết khoa học. Trong thế kỷ 18, các triết gia đã coi toàn thể kiến thức của nhân loại, kể cả khoa học, như lãnh vực của họ và thảo luận những câu hỏi như: Vũ trụ đã có một khởi đầu hay không? Tuy nhiên, trong các thế kỷ 19 và 20, khoa học đã trở nên có tính cách quá kỹ thuật và toán học đối với các triết gia, hoặc bất cứ ai khác trừ một số các chuyên gia. Các triết gia đã giảm tầm mức những câu hỏi của họ nhiều đến độ Wittgenstein, triết gia nổi tiếng nhất của thế kỷ này, đã phải nói "Nhiệm vụ chính yếu còn lại cho triết học là phân tích ngôn ngữ." Quả là một tuột dốc từ truyền thống vĩ đại của triết học từ Aristotle đến Kant!

Tuy nhiên, nếu chúng ta khám phá được một lý thuyết hoàn chỉnh, rồi ra nó phải có thể hiểu được trên nguyên tắc rộng rãi bởi tất cả mọi người, không phải chỉ một vài khoa học gia. Rồi tất cả chúng ta, những triết gia, khoa học gia, và cả những người bình thường, sẽ có thể tham gia vào cuộc thảo luận câu hỏi tại sao chúng ta và vũ trụ lại hiện hữu như thế. Nếu chúng ta tìm được câu trả lời cho điều đó, đây sẽ là một chiến thắng tối hậu cho lý luận của con người -- bởi vì khi đó chúng ta sẽ biết được ý nghĩ của Thượng Đế...

LƯỢC SỬ THỜI GIAN
(A Brief History of Time)
Tác Giả:-Steven Hawking - Dịch Giả:-Thích Viên Lý
Viện Triết Lý Việt Nam và Triết Học Thế Giới, USA

CHƯƠNG 10
THỐNG NHẤT VẬT LÝ HỌC

Như đã được giải thích trong chương đầu tiên, rất khó xây dựng một lý thuyết thống nhất hoàn chỉnh cho mọi thứ trong vũ trụ. Cho nên thay vào đó chúng ta đã tiến dần bằng cách tìm những lý thuyết từng phần mô tả một dãy những biến cố có giới hạn và bằng cách bỏ qua những hậu quả khác hoặc ước lượng chúng bằng một số những con số. (Môn hóa học chẳng hạn, cho phép chúng ta tính toán sự tương tác của các nguyên tử, mà không biết cấu trúc bên trong hạt nhân của một nguyên tử.) Tuy nhiên, cuối cùng, người ta sẽ hy vọng tìm ra một lý thuyết thống nhất, phù hợp và hoàn chỉnh sẽ bao gồm tất cả những lý thuyết từng phần này như những sự ước lượng, và không cần phải được điều chỉnh cho phù hợp với các dữ kiện bằng cách chọn các trị số của một số các con số bắt buộc trong lý thuyết. Cuộc tìm kiếm một lý thuyết như vậy được biết như là "sự thống nhất của vật lý học." Einstein đã bỏ ra phần lớn những năm cuối đời của ông để tìm kiếm một lý thuyết thống nhất mà không thành công, nhưng thời gian lúc đó chưa chín mùi: đã có những lý thuyết từng phần cho các hấp lực và lực điện từ, nhưng rất ít điều được biết về các lực hạt nhân. Hơn nữa, Einstein đã không chịu tin vào thực tế của cơ học lượng tử, bất kể vai trò quan trọng mà ông đã đóng góp trong việc phát triển của môn này. Tuy nhiên, có vẻ như nguyên tắc bất định là một đặc tính căn bản của vũ trụ mà chúng ta sống bên trong. Một lý thuyết thống nhất thành công do đó nhất thiết phải hội nhập nguyên tắc này.

Như tôi sẽ mô tả, viễn ảnh tìm ra một lý thuyết như vậy hiện có vẻ tốt đẹp hơn nhiều bởi vì ngày nay chúng ta hiểu biết nhiều hơn về vũ trụ. Nhưng chúng ta phải đề phòng sự tự tin quá lố -- chúng ta đã có những tin tưởng sai lầm trước kia rồi! Vào đầu thế kỷ này, chẳng hạn, người ta đã nghĩ rằng mọi chuyện có thể được giải thích theo các đặc tính của vật chất liên tục, như sự đàn hồi và sự dẫn nhiệt. Sự khám phá ra cấu trúc nguyên tử và nguyên tắc bất định đã đưa tới một sự kết thúc dứt khoát cho điều đó. Rồi một lần nữa, trong năm 1928, nhà vật lý đã chiếm giải Nobel là Max Born đã nói với một nhóm các khách viếng thăm trường đại học Gottingen, "Vật lý học, như chúng ta biết, sẽ kết thúc trong vòng sáu tháng." Sự tự tin của ông đã được căn cứ vào sự khám phá mới bởi Dirac về phương trình chi phối điện tử. Người ta đã nghĩ rằng một phương trình tương tự sẽ chi phối proton, là loại hạt duy nhất khác được biết lúc đó, và điều đó sẽ là kết cuộc của vật lý lý thuyết. Tuy nhiên, sự khám phá ra trung hòa tử và các lực hạt nhân cũng đã đánh gục điều đó. Tuy nói vậy, tôi vẫn tin rằng có những lý do để lạc quan một cách thận trọng rằng chúng ta hiện có thể gần đến đoạn cuối của cuộc tìm kiếm những định luật tối hậu của vũ trụ.

Trong những chương trước tôi đã mô tả thuyết tương đối tổng quát, lý thuyết từng phần về hấp lực, và những lý thuyết từng phần chi phối các lực yếu, lực mạnh và lực điện từ. Ba loại lực này có thể được kết hợp vào điều được gọi là những lý thuyết thống nhất lớn, hay GUT (Grand Unified Theories). Những lý thuyết này không hoàn hảo cho lắm bởi vì chúng không bao gồm hấp lực và bởi vì chúng chứa một số những số lượng, như các khối lượng tương đối của những hạt khác nhau, không thể tiên đoán được từ lý thuyết nhưng phải được lựa chọn để thích hợp với những quan sát. Khó khăn chính trong việc tìm ra một lý thuyết thống nhất hấp lực với các lực khác nằm ở chỗ thuyết tương đối tổng quát là một lý thuyết "cổ điển," nghĩa là, nó không hội nhập nguyên tắc bất định của cơ học lượng tử. Mặt khác, các lý thuyết từng phần khác trên căn bản phụ thuộc vào cơ học lượng tử. Do đó, một bước đầu cần thiết là phải kết hợp thuyết tương đối tổng quát với nguyên tắc bất định. Như chúng ta đã thấy, điều này có thể sinh ra vài hậu quả đáng kể, như các hố đen không phải đen, và vũ trụ không có điểm kỳ dị nào cả, mà hoàn toàn tự chứa và không có biên giới. Rắc rối là, như đã được giải thích trong chương 7, nguyên tắc bất định có nghĩa rằng ngay cả không gian "trống rỗng" cũng chứa đầy những cặp hạt và phản hạt ảo. Những cặp này sẽ có một số năng lượng nhất định và, do đó, theo phương trình nổi tiếng của Einstein E = mc2, chúng sẽ có một số khối lượng nhất định. Hấp lực của chúng như vậy sẽ uốn cong vũ trụ thành cỡ nhỏ vô hạn.

Hơi tương tự, những vô hạn có vẻ vô lý xảy ra trong những lý thuyết từng phần khác, nhưng trong tất cả những trường hợp này những vô hạn có thể bị triệt tiêu bởi một tiến trình gọi là tái bình thường hóa. Điều này liên quan đến việc triệt tiêu những vô hạn bằng cách đưa vào những vô hạn khác. Mặc dù kỹ thuật này hơi mơ hồ về toán học, nó hình như có hiệu quả trong thực tế, và đã được sử dụng với những lý thuyết này để thực hiện những tiên đoán phù hợp với những quan sát với một mức độ chính xác phi thường.Tuy nhiên, sự tái bình thường hóa quả thật có một nhược điểm nghiêm trọng từ quan điểm cố tìm kiếm một lý thuyết hoàn toàn, bởi vì nó có nghĩa những trị số thực của các khối lượng và sức mạnh của các lực không thể được tiên đoán từ lý thuyết, mà phải được lựa chọn để thích hợp với những quan sát.

Trong khi cố gắng hội nhập nguyên tắc bất định vào thuyết tương đối tổng quát, người ta chỉ có hai số lượng có thể được điều chỉnh: sức mạnh của trọng lực và trị số của hằng số vũ trụ. Nhưng sự điều chỉnh những số lượng này không đủ để loại trừ mọi vô hạn. Do đó người ta có một lý thuyết có vẻ tiên đoán rằng một vài số lượng, như độ cong của không-thời gian, thực ra là vô hạn, tuy những vô hạn này có thể được quan sát và đo đạc để hoàn toàn hữu hạn! Khó khăn trong việc kết hợp thuyết tương đối tổng quát với nguyên tắc bất định đã có lúc bị nghi ngờ, nhưng cuối cùng đã được xác nhận bằng những tính toán chi tiết vào năm 1972. Bốn năm sau, một giải pháp có thể, được gọi là "siêu hấp lực," đã được đề nghị. Ý tưởng là kết hợp hạt có số quay 2 gọi là các hạt hấp lực (graviton), mang hấp lực, với vài hạt mới khác có số quay 3/2, 1, 1/2, và 0. Trong một ý nghĩa, tất cả những hạt này khi đó có thể được coi như những khía cạnh khác nhau của cùng "siêu hạt," do đó thống nhất các hạt vật chất với số quay 1/2 và 3/2 với những hạt mang lực có số quay 0, 1, và 2. Những cặp hạt/phản hạt ảo có số quay 1/2 và 3/2 sẽ có năng lượng âm, và do đó sẽ có khuynh hướng triệt tiêu năng lượng dương của các cặp hạt ảo có số quay 2, 1, và 0. Điều này sẽ khiến những vô hạn triệt tiêu, nhưng người ta nghi rằng vài vô hạn có thể còn tồn tại. Tuy nhiên, những tính toán cần thiết để biết liệu có bất cứ vô hạn nào còn lại mà không bị triệt tiêu hay không đã mất thì giờ và khó khăn đến nỗi không ai sẵn sàng thực hiện. Ngay cả với một máy điện toán, người ta ước tính sẽ cần ít nhất 4 năm, và nhiều rủi ro là người ta sẽ phạm ít nhất một sai lầm, có thể nhiều hơn. Do đó người ta sẽ chỉ biết câu trả lời đúng hay không nếu có người khác lập lại sự tính toán và nhận được cùng câu trả lời, và điều đó hình như rất khó xảy ra!

Bất kể những khó khăn này, và sự kiện rằng các hạt trong các lý thuyết siêu hấp lực đã không có vẻ phù hợp với những hạt đã quan sát được, hầu hết các khoa học gia tin rằng siêu hấp lực có thể là câu trả lời đúng cho vấn đề thống nhất vật lý học. Có vẻ đó là phương cách tốt nhất để thống nhất hấp lực với các lực khác. Tuy nhiên, trong năm 1984 có một thay đổi quan điểm đáng kể thiên về cái được gọi là những lý thuyết dây. Trong những lý thuyết này các vật thể căn bản không phải là các hạt, chiếm một điểm duy nhất trong không gian, mà là những cái có một chiều dài mà không có chiều khác, giống như một mẩu dây mỏng vô hạn. Những sợi dây này có thể có hai đầu (được gọi là dây mở) hoặc chúng có thể nối với nhau thành những vòng kín (dây kín) (Hình 10.1 và 10.2). Một hạt chiếm một điểm trong không gian tại mỗi điểm thời gian. Do đó lịch sử của nó có thể được biểu diễn bởi một đường trong không-thời gian ("đường thế giới'). Một dây, mặt khác, chiếm một đường trong không gian tại mỗi thời điểm. Do đó lịch sử của nó trong không-thời gian là một bề mặt hai chiều gọi là phiến thế giới. (Bất cứ điểm nào trên một phiến thế giới như vậy cũng có thể được mô tả bằng hai con số, một số chỉ thời gian và số kia chỉ vị trí của điểm trên sợi dây). Phiến thế giới của một sợi dây mở là một dải; các bờ của nó tượng trưng những con đường qua không-thời gian của những đầu của sợi dây (Hình 10.1). Phiến thế giới của một sợi dây đóng là một ống hình trụ (Hình 10.2); một đường cắt qua ống là một vòng tròn, tượng trưng vị trí của sợi dây tại một thời điểm đặc biệt.

Hai mẩu dây có thể nối với nhau để làm thành một sợi dây duy nhất; trong trường hợp những sợi dây mở chúng giản dị nối tại các đầu dây (Hình 10.3), trong khi trong trường hợp các dây kín nó giống hai ống quần (Hình 10.4). Tương tự, một mẩu dây duy nhất có thể chia thành hai sợi. Trong các lý thuyết dây, những gì trước kia được nghĩ như các hạt bây giờ được hình dung như các sóng di chuyển dọc sợi dây, giống như sóng trên một sợi dây diều đang rung. Sự phát ra hoặc hấp thụ của một hạt bởi một hạt khác tương ứng với sự phân chia hoặc nối với nhau của các sợi dây. Thí dụ, hấp lực của mặt trời tác động lên trái đất được hình dung trong các lý thuyết hạt như gây ra bởi sự phát ra một hạt graviton bởi một hạt ở mặt trời và sự hấp thụ của nó bởi một hạt ở trái đất (Hình 10.5). Trong lý thuyết dây, tiến trình này tương ứng với một ống hình chữ H (Hình 10.6). (Lý thuyết dây hơi giống công việc đặt ống nước, theo một cách nhìn). Hai bên chiều thẳng đứng của chữ H tương ứng với những hạt ở mặt trời và trái đất và ống nối nằm ngang tương ứng với hạt graviton di chuyển giữa chúng.

Lý thuyết dây có một lịch sử kỳ lạ. Nó đầu tiên được nghĩ ra vào cuối thập niên 1960 trong một cố gắng để tìm ra một lý thuyết để mô tả lực mạnh. Ý kiến là các hạt như proton và trung hòa tử có thể được coi như những sóng trên một sợi dây. Các lực mạnh giữa những hạt sẽ tương ứng với những mẩu dây đi giữa những khúc dây khác, như trong một màng nhện. Để lý thuyết này cho trị số đã quan sát được của lực mạnh giữa những hạt, các dây phải giống như những vòng dây thun với một sức kéo khoảng 10 tấn. Trong năm 1974 Joel Scherk ở Paris và John Schwarz thuộc Viện Kỹ Thuật California đã xuất bản một tài liệu trong đó họ chứng minh rằng lý thuyết dây có thể mô tả hấp lực, nhưng chỉ trong trường hợp sức căng trong sợi dây mạnh hơn rất nhiều, khoảng một ngàn triệu triệu triệu triệu triệu triệu tấn (số 1 với 39 số không theo sau). Những tiên đoán của lý thuyết dây sẽ giống như những tiên đoán của thuyết tương đối tổng quát, trên những cỡ chiều dài bình thường, nhưng chúng sẽ khác ở những khoảng cách rất nhỏ, dưới một phần ngàn triệu triệu triệu triệu triệu của một centimét (một centimét chia cho số 1 với 33 số không theo sau). Tuy nhiên, công trình của họ đã không được chú ý nhiều, bởi vì cũng đúng khoảng thời gian đó hầu hết mọi người đã bác bỏ lý thuyết dây nguyên thủy của lực mạnh để thiên về lý thuyết căn cứ vào các quark và gluon, có vẻ phù hợp hơn nhiều với những quan sát. Scherk đã chết trong trường hợp bi thảm (ông bị bệnh tiểu đường và đã bị hôn mê khi không có ai ở gần để chích cho ông một mũi thuốc insulin). Do đó Schwarz bị bỏ lại một mình hầu như là người duy nhất ủng hộ thuyết dây, nhưng hiện giờ trị số của sức căng dây được đề nghị cao hơn nhiều.

Trong năm 1984 sự chú ý về các dây bỗng sống lại, có vẻ như vì hai lý do. Một là người ta không thực sự tiến bộ nhiều theo chiều hướng chứng tỏ rằng siêu hấp lực là hữu hạn hoặc có thể giải thích các loại hạt mà chúng ta quan sát. Lý do kia là việc xuất bản một tài liệu của John Schwarz và Mike Green ở trường Queen Mary College ở Luân Đôn, chứng minh rằng thuyết dây có thể giải thích sự hiện hữu của các hạt có một đặc tính nội tại là thuận bên trái, giống như vài trong số những hạt mà chúng ta quan sát. Dù với lý do nào, nhiều người chẳng bao lâu khởi sự nghiên cứu về lý thuyết dây và một phiên bản mới đã được phát triển, cái được gọi là thuyết dây dị biệt, có vẻ như có thể giải thích các loại hạt mà chúng ta quan sát.

Các lý thuyết dây cũng đưa tới những vô hạn, nhưng người ta cho rằng chúng sẽ triệt tiêu tất cả trong những phiên bản như thuyết dây dị biệt (mặc dù điều này chưa được biết chắc chắn). Tuy nhiên, các lý thuyết dây, có một khó khăn lớn lao hơn: chúng hình như chỉ phù hợp nếu không-thời gian hoặc có mười hoặc có hai mươi sáu chiều, thay vì bốn chiều bình thường! Dĩ nhiên những chiều không-thời gian phụ trội là một chuyện thông thường của khoa học giả tưởng; thật vậy, chúng hầu như là một sự cần thiết, bởi vì nếu không chuyện thuyết tương đối cho rằng người ta không thể du hành nhanh hơn ánh sáng có nghĩa rằng di chuyển giữa các ngôi sao và các thiên hà sẽ mất quá nhiều thì giờø. Ý tưởng của khoa học giả tưởng là có lẽ người ta có thể dùng một con đường tắt qua một chiều cao hơn. Người ta có thể hình dung điều này như sau. Hãy tưởng tượng rằng không gian mà chúng ta đang sống chỉ có hai chiều và bị cong như bề mặt của một vòng neo tầu hoặc hình vành khuyên (Hình 10.7). Nếu bạn ở một phía của bờ trong của vành và bạn muốn đi tới một điểm nằm phía bên kia, bạn sẽ phải đi quanh bờ trong của vành. Tuy nhiên, nếu bạn có thể di chuyển trong chiều thứ ba, bạn có thể đi tắt thẳng qua bên kia.

Tại sao chúng ta đã không nhận thấy tất cả những chiều phụ trội này, nếu chúng thực sự có mặt? Tại sao chúng ta chỉ nhìn thấy ba chiều không gian và một chiều thời gian? Đề nghị để giải đáp là những chiều kia bị uốn cong lại thành một không gian cỡ rất nhỏ, một cái gì đó như một phần triệu triệu triệu triệu triệu của một inch. Nó quá nhỏ đến độ chúng ta không nhận thấy nó, chúng ta chỉ nhìn thấy một chiều thời gian và ba chiều không gian, trong đó không-thời gian hơi phẳng. Nó như bề mặt của một trái cam: nếu bạn nhìn thật gần, nó cong và nhăn nheo, nhưng nếu bạn nhìn nó từ xa, bạn không nhìn thấy những chỗ lồi lõm và nó có vẻ nhẵn nhụi. Do đó với không-thời gian: trên một cỡ thật nhỏ, nó có mười chiều và rất cong, nhưng ở những cỡ lớn hơn bạn không nhìn thấy độ cong hoặc những chiều phụ trội. Nếu hình ảnh này là đúng, nó có nghĩa là tin buồn cho những nhà du hành không gian tương lai: những chiều phụ trội sẽ quá nhỏ để cho phép một phi thuyền không gian đi qua. Tuy nhiên, nó nêu lên một vấn nạn lớn khác. Tại sao một số, mà không phải tất cả, các chiều lại cong lại thành một trái banh nhỏ? Giả sử, trong một vũ trụ rất sơ khai mọi chiều đã rất cong. Tại sao một chiều thời gian và ba chiều không gian đã phẳng lại, trong khi những chiều kia vẫn cong vòng?

Một câu trả lời có thể có là nguyên tắc vị nhân chủng. Hai chiều không gian hình như không đủ để cho phép phát triển những sinh vật phức tạp như chúng ta. Thí dụ, những động vật hai chiều sống trên một trái đất một chiều sẽ phải bò lên nhau để vượt qua nhau. Nếu một sinh vật hai chiều ăn cái gì đó nó có thể không tiêu hóa hoàn toàn, nó sẽ phải đưa ngược trở lên những đồ còn sót lại theo cùng con đường nó đã nuốt vào, bởi vì nếu có một đường đi qua cơ thể của nó, con đường sẽ chia sinh vật này ra làm hai nửa rời nhau, sinh vật hai chiều của chúng ta sẽ rã ra (Hình 10.8). Tương tự, thật khó mà thấy bằng cách nào có thể có sự lưu thông của máu trong một sinh vật hai chiều.

Cũng sẽ có những vấn nạn với không gian có quá ba chiều. Hấp lực giữa hai vật thể sẽ giảm nhanh hơn theo khoảng cách so với trong không gian ba chiều. (Trong ba chiều, hấp lực giảm còn 1/4 nếu tăng gấp đôi khoảng cách. Trong bốn chiều, nó sẽ giảm còn 1/8, trong năm chiều còn 1/16, và cứ thế.) Ý nghĩa của điều này là những quỹ đạo của các hành tinh, như trái đất, quanh mặt trời sẽ không ổn định: sự quấy rối nhỏ nhất từ một quỹ đạo tròn (như gây ra bởi sức hút trọng lực của những hành tinh khác) sẽ khiến trái đất xoáy ra xa hoặc đâm vào mặt trời. Chúng ta hoặc sẽ lạnh băng hoặc bị cháy tiêu. Thật vậy, phản ứng như vậy của trọng lực với khoảng cách ở các không gian quá bốn chiều có nghĩa là mặt trời không thể tồn tại trong một trạng thái ổn định với trọng lực cân bằng áp lực. Nó hoặc sẽ rã ra hoặc sẽ suy sụp để tạo thành một hố đen. Trong bất cứ trường hợp nào, nó sẽ không ích lợi gì như một nguồn phát nhiệt và ánh sáng cho đời sống trên Trái Đất. Trên một tầm mức nhỏ hơn, các lực điện khiến các điện tử quay chung quanh nhân trong một nguyên tử sẽ xử sự giống như các hấp lực. Do đó các điện tử sẽ hoặc từ nguyên tử thoát đi hết hoặc sẽ xoáy vào nhân. Trong bất cứ trường hợp nào, người ta không thể có các nguyên tử như chúng ta biết.

Như vậy có vẻ rõ ràng đời sống, ít nhất như chúng ta biết, chỉ có thể tồn tại trong những vùng không-thời gian trong đó một chiều thời gian và ba chiều không gian không bị uốn cong nhỏ lại. Điều này sẽ có nghĩa người ta có thể cầu cứu tới nguyên tắc vị nhân chủng yếu, với điều kiện người ta có thể chứng tỏ rằng thuyết dây quả thật ít ra cho phép có những vùng vũ trụ như vậy -- và có vẻ như thuyết dây cho phép. Rất có thể có những vùng khác của vũ trụ, hay những vũ trụ khác (dù cái đó có nghĩa là gì), trong đó mọi chiều đều cong nhỏ lại hoặc trong đó hơn bốn chiều gần như phẳng, nhưng sẽ không có các sinh vật thông minh ở những vùng như vậy để quan sát con số khác nhau của những chiều thật sự.

Ngoài vấn đề số chiều mà không-thời gian có vẻ có, lý thuyết dây vẫn có nhiều vấn đề khác phải được giải quyết trước khi nó có thể được tuyên bố như thuyết thống nhất tối hậu của vật lý. Chúng ta chưa biết liệu mọi vô hạn có triệt tiêu lẫn nhau hết hay không, hay làm thế nào để liên kết chính xác các sóng trên sợi dây với các loại hạt đặc biệt mà chúng ta quan sát. Tuy nhiên, có thể rằng những giải đáp cho những câu hỏi này sẽ được tìm ra trong những năm tới đây, và rằng trước cuối thế kỷ 20 chúng ta sẽ biết liệu lý thuyết dây có thật là lý thuyết thống nhất của vật lý mà từ lâu người ta tìm kiếm hay không.

Nhưng liệu thật sự có thể có một thuyết thống nhất như vậy hay không? Hoặc chúng ta chỉ đuổi theo một ảo ảnh? Có thểû có ba điều khả dĩ:

1) Thật sự có một lý thuyết thống nhất hoàn chỉnh, mà một ngày nào đó chúng ta sẽ khám phá ra nếu chúng ta đủ tinh khôn.

2) Không có lý thuyết tối hậu nào của vũ trụ, chỉ là một chuỗi vô tâïn các lý thuyết mô tả vũ trụ ngày càng chính xác hơn.

3) Không có lý thuyết của vũ trụ; các biến cố không thể được tiên đoán vượt xa hơn một mức độ nào đó mà xảy ra một cách tình cờ và độc đoán.

Vài người sẽ bênh vực cho điều khả dĩ thứ ba với lý luận rằng nếu có một bộ hoàn chỉnh các định luật, điều đó sẽ cản trở tự do của Thượng Đế để đổi ý và can thiệp vào thế giới. Nó hơi giống như điều mâu thuẫn cũ: Thượng Đế có thể làm ra một tảng đá nặng đến độ Ngài không thể nhấc lên nổi hay không? Nhưng ý tưởng rằng Thượng Đế có thể muốn đổi ý là một thí dụ của sự ngụy biện, đã được vạch ra bởi St. Augustine, khi tưởng tượng Thượng Đế như một sinh vật hiện hữu trong thời gian: thời gian là một đặc điểm chỉ có ở vũ trụ mà Thượng Đế tạo ra. Giả sử Thượng Đế đã biết những gì người dự tính khi thành lập ra nó!

Với sự ra đời của cơ học lượng tử, chúng ta đã đi tới việc thừa nhận rằng các biến cố không thể được tiên đoán với sự chính xác hoàn toàn nhưng rằng luôn luôn có một mức độ bất trắc nào đó. Nếu người ta muốn, người ta có thể cho sự tình cờ này là do sự can thiệp của Thượng Đế, nhưng đóù sẽ là một loại can thiệp rất lạ thường: không có bằng chứng nào là nó được hướng dẫn tới mục đích nào. Thật vậy, nếu nó đã được hướng dẫn, theo định nghĩa nó sẽ không còn là tình cờ nữa. Ở thời đại tân tiến, chúng ta đã loại bỏ điều khả dĩ thứ ba ở trên một cách hiệu quả bằng cách tái định nghĩa mục tiêu của khoa học: mục đích của chúng ta là hình thành một bộ các định luật cho phép chúng ta tiên đoán các biến cố chỉ tới giới hạn đặt ra bởi nguyên tắc bất định.

Điều khả dĩ thứ nhì, rằng có một chuỗi vô hạn các lý thuyết ngày càng tinh vi hơn, phù hợp với mọi kinh nghiệm của chúng ta cho tới ngày nay. Trong nhiều dịp chúng ta đã gia tăng độ chính xác những đo đạc của chúng ta hoặc thực hiện một lớp các quan sát mới, chỉ để khám phá những hiện tượng mới đã không được tiên đoán bởi lý thuyết hiện hữu, và để xét tới những hiện tượng này chúng ta đã phải phát triển một lý thuyết tiến bộ hơn. Do đó sẽ rất không có gì đáng ngạc nhiên nếu thế hệ hiện nay của các lý thuyết thống nhất lớn là sai lầm khi cho rằng trên căn bản không có gì mới sẽ xảy ra giữa năng lượng thống nhất điện yếu vào khoảng 100 GeV và năng lượng thống nhất lớn vào khoảng một ngàn triệu triệu GeV. Chúng ta có thể thực sự trông đợi tìm ra nhiều lớp mới về cấu trúc căn bản hơn là các quark và điện tử mà hiện giờ chúng ta coi như các hạt "căn bản."

Tuy nhiên, hình như hấp lực có thể cung cấp một giới hạn cho chuỗi "hộp bên trong hộp" này. Nếu người ta có một hạt với một năng lượng trên mức được gọi là năng lượng Planck, 10 triệu triệu triệu GeV (số 1 theo sau bởi mười tám số 0), khối lượng của nó sẽ tập trung đến độ nó sẽ tự tách rời khỏi phần còn lại của vũ trụ và hình thành một hố đen nhỏ. Như vậy hình như quả thật chuỗi lý thuyết ngày càng tinh vi phải có giới hạn nào đó khi chúng ta tiến tới những năng lượng ngày càng cao, để cho phải có một lý thuyết vũ trụ tối hậu nào đó. Dĩ nhiên, năng lượng Planck là một con đường dài từ năng lượng khoảng một trăm GeV, là năng lượng lớn nhất mà chúng ta có thể sản xuất trong phòng thí nghiệm ngày nay. Chúng ta sẽ không nối cách biệt đó bằng các máy gia tốc hạt trong tương lai có thể nhìn thấy được! Tuy nhiên, chính những giai đoạn sơ khai của vũ trụ là một khung cảnh mà những năng lượng như vậy đã phải xảy ra. Tôi nghĩ có một cơ may rằng việc nghiên cứu vũ trụ sơ khai và những đòi hỏi về sự phù hợp toán học sẽ đưa chúng ta tới một lý thuyết thống nhất hoàn chỉnh trong vòng cuộc đời của một vài người trong chúng ta hiện đang sống ngày nay, luôn luôn giả sử chúng ta không làm nổ tung chúng ta trước.

Sẽ có nghĩa gì nếu chúng ta quả đã khám phá được thuyết tối hậu của vũ trụ? Như đã được giải thích ở Chương 1, chúng ta không bao giờ có thể chắc chắn rằng mình thực sự đã tìm ra lý thuyết đúng, bởi vì các lý thuyết không thể chứng minh được. Nhưng nếu lý thuyết phù hợp về toán học và luôn luôn cho những tiên đoán phù hợp với những quan sát, chúng ta có thể tin tưởng một cách hợp lý rằng đó là lý thuyết đúng. Nó sẽ đưa tới sự kết thúc một chương dài và đầy thắng lợi trong lịch sử tranh đấu trí tuệ của nhân loại để hiểu biết vũ trụ. Nhưng nó cũng sẽ cách mạng hóa sự hiểu biết của người thường về các định luật chi phối vũ trụ. Vào thời Newton một người có học thức có thể có một sự hiểu biết về toàn thể kiến thức con người, ít ra về đại cương. Nhưng kể từ đó, nhịp độ phát triển của khoa học đã làm cho điều này trở thành không thể được. Bởi vì các lý thuyết luôn luôn thay đổi để bao gồm những quan sát mới, chúng không bao giờ được tiêu hóa hoặc đơn giản hóa một cách thích hợp để người thường có thể hiểu được chúng. Bạn phải là một chuyên viên, và ngay cả khi đó, bạn chỉ có thể hy vọng nắm được một phần nhỏ của các lý thuyết khoa học. Hơn nữa, nhịp độ tiến bộ nhanh đến độ những gì người ta học được tại trường luôn luôn hơi lỗi thời. Chỉ một số ít người có thể bắt kịp biên cương mở rộng nhanh chóng của kiến thức, và họ phải dành trọn thì giờ và chuyên chú vào một lãnh vực nhỏ. Phần còn lại của người dân ít có ý kiến về những tiến bộ đang được thực hiện hoặc sự khích động mà chúng tạo ra. Bảy mươi năm về trước, nếu Eddington nói đúng, chỉ có hai người hiểu thuyết tương đối tổng quát. Ngày nay hàng chục ngàn những người tốt nghiệp đại học có thể hiểu rõ, và nhiều triệu người ít nhất quen thuộc với ý tưởng này. Nếu một lý thuyết thống nhất hoàn chỉnh được khám phá, sẽ chỉ là một vấn đề thời gian trước khi nó được tiêu hóa và đơn giản hóa giống như vậy và được dạy tại các trường học, ít nhất về đại cương. Khi đó tất cả chúng ta có thể có một ít hiểu biết về các định luật chi phối vũ trụ và chịu trách nhiệm về sự hiện hữu của chúng ta.

Cho dù chúng ta khám phá được một lý thuyết thống nhất hoàn chỉnh, nó sẽ không có nghĩa rằng chúng ta sẽ có thể tiên toán được các biến cố nói chung, vì hai lý do. Lý do thứ nhất là sự giới hạn mà nguyên tắc bất định của cơ học lượng tử đặt ra cho khả năng tiên đoán của chúng ta. Không có gì chúng ta có thể làm được để tránh điều đó. Tuy nhiên, trên thực tế, giới hạn thứ nhất này ít chặt chẽ hơn giới hạn thứ nhì. Nó phát sinh từ sự kiện rằng chúng ta đã không thể giải được các phương trình của lý thuyết một cách chính xác, ngoại trừ trong những tình huống rất đơn giản. (Chúng ta không thể giải đúng ngay cả sự chuyển động của ba vật thể trong thuyết hấp lực của Newton, và sự khó khăn gia tăng với con số vật thể và sự phức tạp của lý thuyết.) Chúng ta đã biết các định luật chi phối cách xử sự của vật chất dưới mọi tình huống ngoại trừ những tình huống cực đoan nhất. Đặc biệt, chúng ta biết các định luật căn bản làm nền móng cho hóa học và sinh học. Tuy nhiên chắc chắn chúng ta chưa giảm những môn này xuống tới địa vị của những bài toán đã được giải đáp, chúng ta cũng ít thành công trong việc tiên đoán động thái của con người bằng các phương trình toán học! Do đó dù chúng ta tìm được một bộ định luật căn bản hoàn chỉnh, trong những năm tới đây vẫn có những nhiệm vụ thách đố trí tuệ trong việc phát triển những phương pháp ước lượng tốt hơn, để chúng ta có thể thực hiện những tiên đoán có ích về các hậu quả có thể xảy ra trong những tình huống phức tạp và thực tế. Một lý thuyết thống nhất phù hợp, hoàn chỉnh chỉ là bước đầu: mục tiêu của chúng ta là một sự hiểu biết toàn diện các biến cố chung quanh chúng ta, và sự hiện hữu của chính chúng ta.

” Người Việt Nam rất giỏi số học, hình học và thiên văn học” – lời nhận xét của một nhà du khảo Anh tên là Dampier trong bài “Một chuyến đi tới Bắc kỳ năm 1688” (Voyage au Tonkin en 1688) in trong cuốn Đánh giá Đông Dương – Revue Indochinoise 6.

Điểm lại từ thời phong kiến Việt Nam. Từ năm 1077, đời Lý Nhân Tông đã tổ chức kỳ thi Toán đầu tiên, cùng với thi Thư (viết chữ) và Hình luật để chọn người làm việc lại (lại viên). Các kỳ thi này không tổ chức định kỳ, thường thì cứ 10 năm hoặc 15 năm sẽ có một kỳ thi chọn lại viên.

Trong lịch sử nhà nước phong kiến Việt Nam thì người làm việc lại không được coi trọng. Họ làm các công việc như coi sổ sách, giấy má, tính sưu thuế, tính diện tích các đám ruộng, việc binh lương và các việc quốc dụng khác như tính thể tích con đê, thành, hào, tính số gạch, gỗ… Nhà sử học Phan Huy Chú đã viết trong “Lịch triều hiến chương” rằng “Xét ra chức nha, lại cho là hèn thấp. Việc kiểm soát sổ sách không giao cho kẻ sĩ. Kẻ sĩ làm văn, cho việc lại là ti tiện nên không nhúng tay vào”.

Năm 1261, đời Trần Thánh Tông, thi lại viên với 2 môn Thư và Toán, ai trúng được sung vào chức Nội lĩnh sử. Các kỳ thi chọn lại viên tiếp theo được tổ chức vào các năm 1363, đời vua Trần Dụ Tông; năm 1373, đời vua Trần Duệ Tông; năm 1404, khi Hồ Hán Thương lên ngôi, thi chọn lại viên có môn Toán. Thời này, nhà Hồ không những bắt buộc chương trình thi toán mà còn áp dụng rộng rãi toán học vào kinh tế, sản xuất: dùng Toán học đo lại tổng số ruộng đất toàn quốc, lập thành sổ sách điền địa từng lộ, phủ, châu, huyện. Năm 1437, đời vua Lê Thái Tông có thi Toán với 690 người trúng cử được bổ các chức ở các nha môn. Tiếp theo, vào các năm 1475, 1477, 1483, 1507, 1572, 1722 và 1762 là kỳ thi chọn lại viên cuối cùng có thi Toán. Đặc biệt kỳ thi năm 1507, đời vua Lê Uy Mục tổ chức thi Toán ở sân Điện Giảng Võ có hơn 3 vạn thí sinh, 1.519 người trúng tuyển.

Lương Thế Vinh (1441 – ? ). Lương Thế Vinh là một thiên tài toán học là người soạn giáo trình Toán học đầu tiên ở Việt Nam, quyển “Ðại thành toán pháp”, được đưa vào chương trình thi cử suốt 450 năm.

Lịch sử lưu danh Trạng nguyên Mạc Hiển Tích với số âm trong trò chơi Ô ăn quan, Toán học âm dương, Trạng nguyên Mạc Đĩnh Chi với phép chia tạo nên thế gian hài hòa. Nhiều người đã phát triển và bổ sung những tư tưởng toán học này. Lịch sử tôn vinh Trạng Lường Lương Thế Vinh (1442-1496). Ông là người Vụ Bản, Nam Định, đỗ Trạng nguyên năm 1463, tác giả hai cuốn sách Đại thành Toán pháp và Khải minh Toán học. Đại thành Toán pháp được đưa vào chương trình thi cử suốt 450 năm trong lịch sử giáo dục Việt Nam. Sách dạy bản cửu chương, phép bình phương, khai căn bậc hai, sai phân, phân số, cách đo bóng tính chiều cao của cây, hệ thống đo lường đương thời (tiền, vải, thóc, gạo…), toán đo đạc diện tích ruộng đất, từ hình vuông, hình chữ nhật, tam giác, hình tròn, hình viên phân… Có một vấn đề chưa rõ là ngày xưa người ta tính diện tích các hình nói trên theo công thức nào, độ chính xác đến đâu, đã biết dùng số pi chưa…? Rất tiếc là không có một đề thi hình học nào để tham khảo. Điều đặc biệt là với mỗi phương pháp tính, ông lại làm một bài thơ Nôm tóm tắt một cách ngắn gọn dễ nhớ từng công thức toán học. Đây là một nét rất tiến bộ của ông vì thời đó các nhà Nho thường thích làm thơ chữ Hán hơn. Đầu đề các bài toán đưa ra cũng rất Việt Nam, rút ra từ thực tế cuộc sống. Đó là cuốn sách giáo khoa Toán học Việt Nam, có lẽ là xưa nhất còn lại đến nay. Ông cũng được xem là người chế ra bàn tính gẩy cho người Việt, lúc đầu làm bằng đất rồi bằng trúc, bằng gỗ, sơn màu khác nhau, rất đẹp, dễ tính và dễ nhớ. Lương Thế Vinh cũng được cho là từng nghiên cứu về bài toán Tháp Hà Nội. Đứng sau ông là Trạng nguyên Vũ Hữu, người cùng thời với ông, đã viết cuốn Lập thành toán pháp và đặt ra phép đo tính ruộng đất phổ biến trong cả nước.

Trở lại với nhận định của Dampier ở trên. Do hạn chế nhất định, nhà nước phong kiến Việt Nam thời đó đã có những lúc nhìn nhận không đúng vai trò của Toán học. Kẻ học để đi thi khoa cử không thi để làm lại viên. Những người thông minh nhất được học hành để trở thành kẻ sĩ lại coi khinh Toán học. Thế thì lấy đâu ra những nhà toán học giỏi. Hơn nữa, các công trình, các sách toán không được in ấn hoặc có cũng không được lưu giữ cẩn thận, bài bản thì lấy đâu ra tài liệu mà học.

Ngày nay, dựa vào tài liệu khảo cổ học, vào lịch sử ngôn ngữ, vào khảo sát cấu trúc các công trình kiến trúc cổ còn lại… ta thấy rõ người Việt Nam xưa ắt hẳn phải rất giỏi tính toán và Toán học đã được ứng dụng khá nhiều vào đời sống từ rất sớm. Số học là môn phát sinh trước và sớm nhất. Nếu đứng ở góc độ số học để khảo cứu những cánh sao, tia sáng mặt trời, đàn chim, chiếc thuyền… khắc vẽ trên mặt, trên thân các trống đồng, chúng ta sẽ tập hợp được nhiều sự kiện toán học nằm trong đó, cung cấp cho ta một bức tranh đẹp về trình độ nắm vững và sử dụng số học của tổ tiên ta thời cổ đại. Nghiên cứu các hoa văn trên đồ gốm tìm được ở Phùng Nguyên, Gò Bông, Xóm Rền… chúng ta thấy các dạng hoa văn rất phong phú: hình chữ S, có loại dài, loại vuông, loại nối ngang lưng nhau; hình chữ X, chữ A; hai đường song song uốn khúc đều đặn, liên tục; hình tam giác xếp ngược chiều nhau, hình tam giác cuộn. Qua đấy, không thể nghi ngờ gì được khi nói rằng người Việt Nam 3 – 4 nghìn năm trước đây đã có những nhận thức hình học và tư duy chính xác khá cao. Từ hình dáng, kích thước các trống đồng loại cổ nhất ở Việt Nam, chúng ta hiểu, để tạo được những mặt tròn đường kính to nhỏ khác nhau, những mặt phẳng, những góc độ chính xác ấy, các nhà chế tác trống đồng thuở đó phải sử dụng các con số, các loại thước chính xác.

Phải thừa nhận một điều với anh là em cũng vậy, lúc nhỏ chỉ cắm cuối làm các câu trong sách giáo khoa và sách bài tập, khi đó nhà em cũng không có mạng để học tập, cũng chỉ cày các cuốn sách Vũ Hữu Bình trong thư viện. Đến tận mãi khi em vào cấp 3, em mới biết đến mùi của các tạp chí nổi tiếng như Toán học tuổi trẻ, Toán tuổi thơ, mới biết thế nào là nguyên lý Dirichlet, và mới bắt đầu biết đến các kì thi dành cho các cao thủ như Olympic 30/4, VMO hay IMO. Và đến cuối năm lớp 11 em mới biết đến các diễn đàn nổi tiếng như diendantoanhoc.net, mathlinks.ro.

  Nói về Toán học, em thấy nó khá là hay, em rất thích lối học kiểu suy ngược, tức là từ một vấn đề cho trước, ta khai thác mọi khía cạnh từ chúng để rồi vỡ òa trong nó là một bầu trời kiến thức, đặc biệt lúc nhỏ em rất thích mò mẫm các bài hình học lớp 7, vì nó rèn chúng ta năng lực tưởng tượng hình để kẻ thêm đường phụ rồi giải quyết bài toán. Và chính cách suy luận ngược này, đã làm em cảm thấy toán bắt đầu hay ho và nhiều điều mới lạ.!!!

Cho a,b,c là các số thực không âm bất kì.CMR 

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc+8\geq 5(a+b+c)$

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số $1-a,1-b,1-c$ luôn tồn tại hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát, giả sử hai số đó là $1-a,1-b$.

Khi đó ta có: $(1-a)(1-b)\ge 0\iff ab\ge a+b-1\iff abc\ge ac+bc-c$ và chúng ta cần chứng minh rằng:

$2c^2+(a+b-6)c+2a^2+2b^2-5a-5b+8\ge 0$.

 Đặt $a+b=2x$.

Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau: $2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2$

Điều này dẫn đến ta cần đi chứng minh: $c^2+c(x-3)+2x^2-5x+4\ge 0(*)$.

Thật vậy, xét $\Delta_{c}=(x-3)^2-4(2x^2-5x+4)=-7(x-1)^2\le 0$

nên từ đây ta suy ra được biểu thức $(*)$ luôn đúng.

Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.