Bài toán (Putnam 1977 ) Chứng minh rằng $C_{pa}^{pb}\equiv C_{a}^{b}(mod p)$, với mọi số nghuyên dương a, b và $a\geq b$ , p là số nguyên tố
Lời giải. Trong lời giải có đề cập đến một số kết quả cơ bản về đa thức trên vành $Z_{p}$
Theo một kết quả quen thuộc $C_{p}^{i}\equiv 0(modp),i=\overline{1,p-1}$.
Phát biểu lại kết quả trên bằng ngôn ngữ đại số ta được : $(1+x)^{p}=1+x^{p}$.
Ta thấy
$\sum_{k=0}^{pa}C_{pa}^{k}x^{k}=(1+x)^{pa}=\left [ (1+x)^{p} \right ]^{a}=(1+x^{p})^{a}=\sum_{j=0}^{a}C_{a}^{j}x^{jp}$
Đồng nhất hệ số của $x^{pb}$ ở hai vế ta thu được
$C_{pa}^{pb}\equiv C_{a}^{b}(modp)$
Lưu ý rằng các tính toán đa thức của ta ở đây đang thực hiện trên $Z_{p}[x]$
- Juliel và duylax2412 thích