Quoc Tuan Qbdh

Cho n thuộc N và n >3.  Chứng minh :

   $S_{n}=\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$, ta có:

$2n+1=(\sqrt{n})^{2}+(\sqrt{n+1})^{2} > 2.\sqrt{n}.\sqrt{n+1}$ ( dấu bằng không xảy ra ) 
Suy ra : $\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1} < \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2.\sqrt{n}.\sqrt{n+1}} = \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$
Tương tự thì :

$\frac{1}{3(1+\sqrt{2})} < \frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$

$\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})} < \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})$

                          . . . . .

$\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})} < \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

Cộng vế theo vế suy ra :

$S(n) < \frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})<\frac{1}{2}$ ( điều phải chứng minh )

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=1

 

CMR : $\frac{a}{(b+c)^2} + \frac{b}{(a+c)^2} + \frac{c}{(b+a)^2} \geq \frac{9}{4}$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có :
$(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}})(a+b+c) \geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}(1)$

Mặt khác, áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ lại có:

$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1 = \frac{1}{2}.(b+c+c+a+a+b)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}) \geq \frac{9}{2}$

Suy ra : $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}(2)$

Kết hợp $(1)(2)$ và $a+b+c=1$ ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

2.CMR : với mọi n $\epsilon Z+$ ta co:

   $\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< 2$

Ta có :
$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{(n+1)n}=\sqrt{n}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\sqrt{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}})$

$<\sqrt{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}})=2(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$          

Suy ra : $\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+.....-\frac{1}{\sqrt{n+1}})=2.(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})<2$

Tìm các giá trị của tham số $a$ sao cho bất phương trình $\frac{x-2a-3}{x-a+2}<0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in [1;2]$

_Để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi $x \in [1;2]$ thì ĐKXĐ là $x-a+2$ khác $0$ với mọi $x \in [1;2]$ hay $a$ không thuộc $[3;4]$

_Xét bất phương trình trên $[1;2]$
+Với $a \in (-\infty;3)$, khi đó $x-a+2>0$ nên bất phương trình trở tương đương :  $x-2a-3<0<=>x-3<2a$ 

Để bất phương trình đúng với mọi $x \in [1;2]$ thì $2a>2-3$ hay $a>\frac{-1}{2}$
Khi đó, $a \in (\frac{-1}{2};3)$ thỏa mãn bài toán 

+Với $a \in (4;+\infty)$, khi đó $x-a+2<0$ nên bất phương trình trở tương đương :  $x-2a-3>0<=>x-3>2a$ 

Để bất phương trình đúng với mọi $x \in [1;2]$ thì $2a<1-3$ hay $a<-1$
Khi đó, không tồn tại $a$ thỏa mãn bài toán

Tớ có mấy bài này khó mong giúp đỡ 
Bài 139 : Giải phương trình với $a,b$ là hai số dương cho trước 
$\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}+\sqrt[n]{\frac{a-x}{a+x}}=\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}+\sqrt[n]{\frac{b-x}{b+x}}$

_Trường hợp $n$ lẻ

ĐKXĐ : $x$ khác $\pm a$ và $\pm b$ $(1)$

Đặt $\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}=y$ và $\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}=z$ ( $y$ và $z$ khác $0$ )

Phương trình trở thành :
$y+\frac{1}{y}=z+\frac{1}{z}$
$<=>(y-z)(1-\frac{1}{yz})=0$

$<=>y=z$ hoặc $yz=1$

+ Khi $y=z$ thì ta có : $\frac{a+x}{a-x}=\frac{b+x}{b-x}=\frac{(a+x)-(b+x)}{(a-x)-(b-x)}=\frac{a-b}{a-b}=1$ suy ra $x=0$ ( nếu $a$ khác $b$ )

Nếu $a=b$ thì ta có phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn điều kiện $(1)$

+ Khi $yz=1$ ta có : $\frac{a+x}{a-x}.\frac{b+x}{b-x}=1<=>ab+(a+b)x+x^{2}=x^{2}-(a+b)x+ab<=>x=0$

_Trường hợp $n$ chẵn. Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b$

ĐKXĐ : $x > a$ hoặc $x < - b$ $(2)$

Đặt $\sqrt[n]{\frac{a+x}{a-x}}=m$ và $\sqrt[n]{\frac{b+x}{b-x}}=n$ ( $m$ và $n$ $> 0$ )

Phương trình trở thành :
$m+\frac{1}{m}=n+\frac{1}{n}$
$<=>(m-n)(1-\frac{1}{mn})=0$

$<=>m=n$ hoặc $mn=1$

+ Khi $m=n$ thì ta có : $\frac{a+x}{a-x}=\frac{b+x}{b-x}=\frac{(a+x)-(b+x)}{(a-x)-(b-x)}=\frac{a-b}{a-b}=1$ suy ra $x=0(KTM)$ ( nếu $a>b$ )

Nếu $a=b$ thì ta có phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn điều kiện $(2)$

+ Khi $mn=1$ ta có : $\frac{a+x}{a-x}.\frac{b+x}{b-x}=1<=>ab+(a+b)x+x^{2}=x^{2}-(a+b)x+ab<=>x=0$ ( không thỏa mãn điều kiện )

Bài này anh làm sai rồi!

$1\leq \sum \frac{1}{a+b+1}$ chứ đâu phải $1=\sum \frac{1}{a+b+1}$ nên không thể suy ra thế!

vẫn suy ra được mà . vì $\sum \frac{1}{a+b+1}$ bị chặn dưới bởi $1$ và chặn trên bởi $\frac{2\sum a+\sum c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$
suy ra : $\frac{2\sum a+\sum c^{2}}{(a+b+c)^{2}} \geq 1$ 

2/Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geqslant 1$
CMR: $a+b+c\geqslant ab+bc+ca$

Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có : $(a+b+1)(a+b+c^{2}) \geq (a+b+c)^{2}$
Suy ra : $1 \leq \sum \frac{1}{a+b+1} \leq \frac{2\sum a + \sum c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$
Nên : $2\sum a + \sum c^{2} \geq (a+b+c)^{2}$

Khai triển ra rút gọn $->Q.E.D$
Dấu bằng khi $a=b=c=1$

Cho $x;y$ thỏa mãn $x^{2}(x^{2}+2y^{2}-3)+(y^{2}-2)^{2}=1$. GTLN của $A=x^{2}+y^{2}$

Từ giả thiết, ta có:
$x^{2}(x^{2}+2y^{2}-3)+(y^{2}-2)^{2}=1$
$<=>x^{4}+y^{4}+(-2)^{2}+2x^{2}y^{2}-4x^{2}-4y^{2}=1-x^{2}$
$<=>(x^{2}+y^{2}-2)^{2}=1-x^{2} \leq 1$
Suy ra $x^{2}+y^{2} \leq 1+2=3$
Dấu bằng xảy ra khi $x=0$ và $y=\pm \sqrt{3}$

a) $\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}+8=2x^{2}+\sqrt{2x-1}$

ĐKXĐ: $x \geq \frac{1}{2}$

Phương trình tương đương

$(\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}-\sqrt{2x-1})+(8-2x^{2})=0$
$<=>\frac{\frac{x+7}{x+1}-(2x-1)}{\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}+\sqrt{2x-1}}+2(4-x^{2})=0$

$<=>\frac{8-2x^{2}}{(x+1)(\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}+\sqrt{2x-1})}+2(4-x^{2})=0$

$<=>2(4-x^{2})(\frac{1}{(x+1)(\sqrt{\frac{x+7}{x+1}}+\sqrt{2x-1})}+1)=0$

$<=>2(4-x^{2})=0$ ( vì phần trong ngoặc $>0$ )
$<=>x=2$ ( vì $x \geq \frac{1}{2}$ )

$i)$ Cho các số dương $a;b;c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3$
Chứng minh rằng $(a^{2}+b^{2}+abc)(b^{2}+c^{2}+abc)(c^{2}+a^{2}+abc) \geq 3abc(a+b+c)^{2}$
$ii)$ Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng

$\frac{a}{3a^{2}+abc+27}+\frac{b}{3b^{2}+abc+27}+\frac{c}{3c^{2}+abc+27} \leq \frac{3}{31}$

$x,y,z> 0$ và $x+y+z=3$ tìm GTNN P= $x^{2}+y^{2}+z^{3}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có :

$x^{2}+(\frac{19-\sqrt{37}}{12})^{2} \geq 2.\frac{19-\sqrt{37}}{12}.x=\frac{19-\sqrt{37}}{6}.x$
$y^{2}+(\frac{19-\sqrt{37}}{12})^{2} \geq \frac{19-\sqrt{37}}{6}.y$
$z^{3}+(\frac{\sqrt{37}-1}{6})^{3}+(\frac{\sqrt{37}-1}{6})^{3} \geq 3.(\frac{\sqrt{37}-1}{6}).(\frac{\sqrt{37}-1}{6}).y=\frac{19-\sqrt{37}}{6}.z$
Suy ra :
$x^{2}+(\frac{19-\sqrt{37}}{12})^{2}+y^{2}+(\frac{19-\sqrt{37}}{12})^{2}+(z^{3}+\frac{\sqrt{37}-1}{6})^{3}+(\frac{\sqrt{37}-1}{6})^{3} \geq \frac{19-\sqrt{37}}{6}.(x+y+z)=\frac{19-\sqrt{37}}{2}$ suy ra $P \geq \frac{19-\sqrt{37}}{2}-2.(\frac{19-\sqrt{37}}{12})^{2}-2.(\frac{\sqrt{37}-1}{6})^{3}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{19-\sqrt{37}}{12}$ và $z=\frac{\sqrt{37}-1}{6}$

 

Giải thích

Cho $a;b;c$ dương thỏa $a+b+c=k$ ( $k$ là hằng số )

Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^{2}+b^{2}+c^{3}$

Ý tưởng : cần phải chứng minh lớn hơn một lượng sao cho hệ số của $x;y;z$ là như nhau

Do $a;b$ cùng bậc nên dấu bằng tại giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được tại $a=b=x$ ( $x$ là hằng số ) và $c=y$ với $y$ là hằng số

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có :

$a^{2}+x^{2} \geq 2ax//// b^{2}+x^{2}\geq 2bx//// c^{3}+y^{3}+y^{3} \geq 3cy^{2}$ 

Vậy dấu bằng xảy ra khi 

$\left\{\begin{matrix}a=b=x//c=y \\ 2x=3y^{2} \\ a+b+c=k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=b=x//c=y \\ 2x+y=k \\ 2x=3y^{2} \end{matrix}\right.$

Đến đây từ hai phương trình dưới dễ dàng tìm được $x;y$ với $k$ là hằng số bằng cách dùng phương pháp thế giải phương trình bậc hai

Đặt $p=\frac{a+b+c}{2}$
Theo hệ thức $Heron$ ta có :
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Ta có :

$2ab+2bc+2ca-a^{2}-b^{2}-c^{2}=(a^{2}-(b-c)^{2})+(b^{2}-(c-a)^{2})+(c^{2}-(a-b)^{2})=\sum (a-b+c)(a-c+b)=\sum 4(p-b)(p-c)$

Sử dụng Bất đẳng thức

$xy+yz+zx \geq \sqrt{3xyz(x+y+z)}$ ( chứng minh bằng biến đổi tương đương )
Ta có :
$\sum 4(p-b)(p-c) \geq 4\sqrt{3(3p-a-b-c)(p-a)(p-b)(p-c)}=4\sqrt{3p(p-a)(p-b)(p-c)}=4\sqrt{3}.S$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Có hai bất đẳng thức yếu hơn : 
i) $\sum a^{2} \geq 4\sqrt{3}.S+\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}$

ii) $\sum a^{2} \geq 4\sqrt{3}.S+\frac{2}{3}\sum (a-b)^{2}$

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:

1.

Đặt $t=xy$ ta có : $0 < xy \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{1}{4}$ Suy ra $B>4$

Ta có :
$B=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{(x+y)^{3}-3xy(x+y)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3t}+\frac{1}{t}=\frac{1-2t}{t-3t^{2}}$

$<=>Bt-3B.t^{2}=1-2t<=>3B.t^{2}-(B+2)t+1=0$
Để phương trình có nghiệm $t$ sao cho $0< t \leq \frac{1}{4}$

Thì $\left\{\begin{matrix}\Delta=B^{2}+4B+4-12B \geq 0\\ \frac{3}{16}B-\frac{B}{4}+\frac{1}{2} \leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}B \geq 4+2\sqrt{3}\\ \frac{1}{2}-\frac{B}{16} \leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow B \geq 8$

Vậy $B \geq 8$ . Dấu bằng xảy ra khi $xy=\frac{1}{4}$ và $x+y=1$ hay $x=y=\frac{1}{2}$

cho x,y>0 thoa man x+y=2 tim min P=gif (3).gif

Ta có :

$P=\frac{1}{x+1+\sqrt{(x+1)^{2}+1}}+\frac{1}{y+1+\sqrt{(y+1)^{2}+1}}=\sqrt{(x+1)^{2}+1}-(x+1)+\sqrt{(y+1)^{2}+1}$

$-(y+1)=\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{(y+1)^{2}+1}-4$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có :

$((x+1)^{2}+1)(2^{2}+1) \geq (2x+2+1)^{2}$
Suy ra $\sqrt{(x+1)^{2}+1} \geq \sqrt{\frac{(2x+2+1)^{2}}{5}}=\frac{2x+3}{\sqrt{5}}$
Tương tự $\sqrt{(y+1)^{2}+1} \geq \frac{2y+3}{\sqrt{5}}$ suy ra

$P=\sqrt{(x+1)^{2}+1}+\sqrt{(y+1)^{2}+1}-4 \geq \frac{1}{\sqrt{5}}(2x+3+2y+3)-4=\frac{10}{\sqrt{5}}-4=2\sqrt{5}-4$

Vậy $Min$ $P=2\sqrt{5}-4$ khi và chỉ khi $x=y=1$

Cho x,y,z>0

 

CMR: $P=\frac{2x^{2}+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^{2}}+\frac{2y^{2}+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^{2}}+\frac{2z^{2}+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^{2}}\geq 1$

Đã có đăng tại đây