dranhclub99

sử dụng bđt phụ :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{1}{16}\frac{1}{a+b+c+d}$

$\Rightarrow P\ge\frac{1}{16}(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{d})=\frac{1}{4}$

chỗ bđt phụ mình hơi nhầm tí nhé

Nhầm nhiều là đằng khác

Thứ nhất: Bài toán đang là biến $x,y,z$ sao bạn chuyển một phát sang $a,b,c,d$

Thứ hai: Cứ cho là BĐT phụ của bạn đúng đi chăng nữa thì làm sao bạn suy ra $P \geq$ ... ?

Thứ ba: Bài này chỉ tìm được $Max$, không tìm được $Min$

Theo BĐT AM-GM ta có:

$1 \geq x+\frac{1}{y} \geq 2\sqrt{\frac{x}{y}}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y}} \leq \frac{1}{2}$ hay $\frac{y}{x} \geq 4$

Nên

$A =\frac{x}{y}+\frac{y}{16x}+\frac{15y}{16x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{16x}}+\frac{15y}{16x}$

$\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{16}.4=\frac{17}{4}$

Vậy GTNN của $A$ là $\frac{17}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$x=\frac{1}{2}$

$y=2$

Để đơn giản, ta đặt: $p=2x$, $q=3y$, $r=4z$

BĐT được viết lại thành:

$\frac{1+p}{1+q}+\frac{1+q}{1+r}+\frac{1+r}{1+p}\le p+q+r$ với $pqr=1$.

$\Leftrightarrow p-\frac{1+p}{1+q}+q-\frac{1+q}{1+r}+r-\frac{1+r}{1+p}\ge 0$

$\Leftrightarrow \frac{pq-1}{1+q}+\frac{qr-1}{1+r}+\frac{rp-1}{1+p}\ge 0$

Vì $pqr=1$ nên ta có thể đặt: $p=\frac{a}{b}$, $q=\frac{b}{c}$, $r=\frac{c}{a}$

BĐT được viết lại thành:

$\frac{a-c}{c+b}+\frac{b-a}{a+c}+\frac{c-b}{b+a}\ge 0$

\[\Leftrightarrow \frac{a}{c+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}\ge \frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}\]

BĐT cuối đúng vì đây là BĐT hoán vị

Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz:

$a\sqrt{\frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{b(b+c)}}+a\sqrt{\frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{b(b+c)}}+ab\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{3}}.\frac{{{b}^{4}}+{{c}^{4}}}{b+c}}\ge 3a.\sqrt[3]{\frac{\frac{{{(b+c)}^{4}}}{8}}{b+c}}=\frac{3}{2}a(b+c)$

 Tương tự với các cặp còn lại…

Cộng theo vế các BĐT lại ta được:

$2A+ab+bc+ca\ge \frac{3a(b+c)}{2}+\frac{3b(c+a)}{2}+\frac{3c(a+b)}{2}$

$\Leftrightarrow A\ge ab+bc+ca$ (đpcm)