Kira Tatsuya

tìm min của $2(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

biết $a^2+b^2+c^2=3$

$2x^2-10x+2=(x^2-4x-6)\sqrt{x-1}\Leftrightarrow \frac{2x^2-10x+2}{x^2-4x-6}-1=\sqrt{x-1}-1\Leftrightarrow \frac{(x-2)(x-4)}{x^2-4x-6}=\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}\Leftrightarrow x=2; \frac{x-4}{x^2-4x-6}=\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}$, phần còn lại có nghiệm rất lẻ, không biết có cách xử lí nào không?

Áp dụng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}$

bài 298:

$\left\{\begin{matrix} x^3+\frac{1}{3}y=x^2+x-\frac{4}{3}\\y^3+\frac{1}{4}z=y^2+y-\frac{5}{4} \\ z^3+\frac{1}{5x}=z^2+z-\frac{6}{5} \end{matrix}\right.$

$\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1)(\sqrt{x+2}-2)$

$\Leftrightarrow \frac{(x-2)(x+4)}{x^2-2x+3}=\frac{(x+1)(x-2)}{\sqrt{x+2}+2}$

Dễ thấy có nghiệm là $2$, nếu khác 2, chia cả 2 vế cho $x-2$, ta được :

$\frac{x+4}{x^2-2x+3}=\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}\\\Leftrightarrow \left ( \left ( \sqrt{x+2} \right )^2+2 \right )\left ( \sqrt{x+2}+2 \right )=(x-1+2)\left ( \left ( x-1 \right ) ^2+2\right )$

suy ra $x-1=\sqrt{x+2}\Leftrightarrow x^2-3x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$

Đối chiếu điều kiện , ta được 2 nghiệm $\boxed{2;\frac{3+\sqrt{13}}{2}}$

1c bạn giải hay ghê ~~, 

còn câu $1b$ thì có cách xét nhé bạn 

bạn cũng đưa nó về dạng như xét $\Delta$, có điều khác như này , cộng vào 2 vế 1 số $\alpha$ bất kì, ta có :

$x^2+x(2-3y)+(2y^2-4y+3+\alpha)=\alpha$ 

ý tưởng ở đây là do $x,y$ nguyên nên cộng vào 1 số để tạo nhân tử như mình làm ở trên , khi đó $\Delta$ phải là số chính phương.

$\Delta= (2-3y)^2-4(2y^2-4y+3+\alpha)=y^2+4y-8-4\alpha$

để là số chính phương thì $\alpha =-3$,sau đó dễ rồi

Bài 2: (4,0 điểm)

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1\\ \sqrt{x^2-1}+\sqrt{y^2-1}=\sqrt{xy+2} \end{matrix}\right.$

Từ $1$ suy ra $x^2+y^2 =x^2y^2$

Từ $2$ ,bình phương, ta được:

$x^2+y^2-2+2\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+1}=xy+2\\\Leftrightarrow x^2y^2-xy-2=0\Leftrightarrow xy=2;xy=-1$

Tới đây tính được $x^2+y^2$ , sau dùng Viet là ra~~`

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $x+y+z+xy+yz+zx=6$

Chứng minh rằng $x^2+y^2+z^2\geq 3$

b) Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng nếu $b$ là số trung bình cộng của $a$ và $c$ thì $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$

a) Ta có : $2(x^2+y^2+z^2)\geq 2(xy+yz+zx);\\ x^2+1\geq 2x; y^2 +1 \geq 2y; z^2+1\geq 2z \\\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2)+3\geq 2(xy+yz+zx+x+y+z)\geq 12\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 3 (dpcm)$

b)Giả sử : $a\leq b \leq c$ 

Ta có: $\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}+\frac{\sqrt{c}-\sqrt{b}}{c-b}=\frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{b-a}= 2\left ( \frac{\sqrt{c}-\sqrt{a}}{c-a} \right )=\frac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}$ (do b là tbc nên $b-a=c-b$)

Bài 1: (4,0 điểm)

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x; y)$ thỏa mãn đẳng thức

$x^2+2y^2-3xy+2x-4y+3=0$

$\Leftrightarrow (x-y+2)(x-2y)=-3$

xét th là xong 

TH1 : Giả sử $a\geq b \geq c$ , ta có :

$\Rightarrow \frac{2c^2}{1+c^2}\geq \frac{2a^2}{1+a^2} \\\Leftrightarrow 2c^2+2c^2a^2\geq 2a^2 +2a^2c^2\Leftrightarrow 2c^2 \geq 2a^2 \Leftrightarrow c\geq a$

TH2: Giả sử $a\geq c \geq b$, cũng làm tương tự, ta có :$b\geq a$,

Vậy $a=b=c$ , tới đây giải pt 

p/s: bước ở trên làm 2 trường hợp do nó hoán vị ~, ai hiểu thì nói rõ cho mình hơn ạ, mình cũng nhớ sơ nên làm bừa ~~ 

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình $\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3\\\Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt[3]{x-2}^2+\sqrt[3]{x-2}+1}+\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}=0\\\Leftrightarrow (x-3)\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x-2}^2+\sqrt[3]{x-2}+1}+\frac{1}{\sqrt{x+1}+2} \right )=0\Leftrightarrow x=3$

Trích ra cho bạn :

$1)\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0\\ 2)\sqrt{5x-1}-\sqrt[3]{9-x}=2x^2+3x-1\\ 3)4\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+3}=(x-1)(x^2-2)\\ 4)\sqrt{2x^2-x-3}-\sqrt{21x-17}+x^2-x=0\\ 5)x^2+x+1=(x+2)\sqrt{x^2-2x+2}\\ 6)\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x+4}}+\frac{x^2}{2}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\\ 7)x^2-6x-2=\sqrt{x+8}\\ 8)\sqrt{x^4-x^2+4}+\sqrt{x^4+20x^2+4}=7x\\ 9)x^2+6x+1=(2x+1)\sqrt{x^2+2x+3}\\ 10)2x(x-1)+x=(x-1)\sqrt{2x(x^2-x+2)}+6\\ 11)x^2(x+6)=(5x-1)\sqrt{x^2+3}+2x-3$

Bài 3 : Tìm nghiệm nguyên của hệ : $\left\{\begin{matrix} 2y^{2}-x^{2}-xy+2y-2x=7 & \\ x^{3}+y^{3}+x-y=8 & \end{matrix}\right.$

Từ  $(1)$ $2y^2-x^2-xy+2y-2x=7 \Leftrightarrow (2y+x+2)(y-x)=7$

Đến đây thử chọn : $(x=-5;y=2);(x=1;y=2)$.

Thay vào pt $(2)$, có $x=1;y=2$ thỏa 

$a,b,c \geq 0$ $ab+bc+ca= 7abc$.Tìm $Min$:

$P=\frac{8a^4+1}{a^2}+\frac{108b^5+1}{b^2}+\frac{16c^6+1}{c^2}$

Giải PT

$\frac{\sqrt{x+2}-2}{\sqrt{6(x^2 +2x+4)}-2(x+2)}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}-4=\sqrt{6(x^2+2x+4)}-2(x+2)\\\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}=\sqrt{6(x^2+2x+4)}-2x\\\Leftrightarrow 4(\sqrt{x+2}+x)^2=6(x^2+2x+4)\\\Leftrightarrow 4(x+2+x^2+2x\sqrt{x+2})=6(x^2+2x+4)\\\Leftrightarrow 8x\sqrt{x+2}=2x^2+8x+16\Leftrightarrow 2x^2-8x\sqrt{x+2}+8(x+2)=0\Leftrightarrow 2(x-2\sqrt{x+2})^2=0$

đến đây chắc ra~`

Giải pt: $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

Đặt $\sqrt[3]{2x-1}=t\Rightarrow 2x=t^3+1$

Ta có hệ :

$\left\{\begin{matrix} x^3+1=2t\\ t^3+1=2x \end{matrix}\right.$

trừ vế theo vế rồi giải 

Bài 233: $\begin{cases} & (2x^{2}-3x+4)(2y^{2}-3y+4)= 18 \\ & x^{2}+y^{2}+xy-7x-6y+14= 0 \end{cases}$

 

Viết PT (2) dưới dạng PT ẩn x: $x^2 + x\left( {y - 7} \right) + y^2 - 6y + 14 = 0 $
Xét $ \Delta = \left( {y - 7} \right)^2 - 4\left( {y^2 - 6y + 14} \right) = - 3y^2 + 10y - 7 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \le y \le \dfrac{7}{3} $
Viết PT (2) dưới dạng PT ẩn y: $y^2 + y\left( {x - 6} \right) + x^2 - 7x + 14 = 0 $
Xét $ \Delta = \left( {x - 6} \right)^2 - 4\left( {x^2 - 7x + 14} \right) = - 3x^2 + 16x - 20 \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le \dfrac{{10}}{3} $

Đặt $f\left( a \right) = 2a^2 - 3a + 4 $
Xét $ f'\left( a \right) = 4a - 3 \Rightarrow $ với $a \ge \dfrac{3}{4} $ thì hàm f luôn đồng biến
Ta có PT $ \left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right).f\left( y \right) = 18 $
Với ĐK của x và y thì $f\left( x \right).f\left( y \right) \ge f\left( 2 \right).f\left( 1 \right) = 18 $
Dễ thấy x=2, y=1 ko là nghiệm của PT (2)
Vậy HPT vô nghiệm 

p/s: bài này như NTA1097 làm rồi, mình chỉ cop lại của anh kia cho cụ thể