thanhmylam

Tìm số thực a để phương trình $x^{2}-5x+4\sqrt{x-a}= 0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt

Chứng minh $\frac{3}{2^{3}}+\frac{4}{2^{4}}+...+\frac{2014}{2^{2014}}+\frac{2015}{2^{2015}}< 1$

cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ 

C/m $\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{yx}}\geq xy+yz+xz$

Tìm các số nguyên tố p,q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn $\frac{pq}{p+q}=\frac{m^{2}+1}{m+1}$

$1+2+...+2009= \frac{2010.2009}{2}$

Gọi A=$1^{2009}+...+2009^{2009}\Rightarrow 2 A=(1^{2009}+2009^{2009})+...+(2009^{2009}+1^{2009})\Rightarrow 2A\vdots 2010$

lại có 2A=$(1^{2009}+2008^{2009})+...+(2008^{2009}+1^{2009})+2009^{2009}+2009^{2009}\Rightarrow 2A\vdots 2009 \Rightarrow 2A\vdots 2009.2010\Rightarrow A\vdots \frac{2009.2010}{2}$

$1992x^{1993}\vdots 4, 1995$ chia 4 dư 3$\Rightarrow 1993x^{1994}$ chia 4 dư 3  $x^{1994}$ là số chính phương nên chia 4 dư 0,1

vậy nên không có cặp nào thỏa mãn

Tìm Min $\frac{x-y}{x^{4}+y^{4}+6}$ 

P/s ; đề thi quốc gia Math Violympic

                                                                                        ĐỀ THI SỐ 6  

Bài 2:

      a) Chứng minh rằng với mọi $t$ thì ta đều có $t^4-t+\frac{1}{2}>0$ 
 

Bài 2:

 a) $t^{4}-t+\frac{1}{2}=(t^{4}-2t^{2}\frac{1}{2}+\frac{1}{4})+(t^{2}-t+\frac{1}{4}) \geq 0$

AH vừa là đường cao, vừa là phân giác nên $\Delta ABM$ cân, $\Rightarrow BH=HM \Rightarrow MC=2HM$,  vì AM là phân giác $\widehat{HAC}$, theo tính chất đường phân giác $\frac{AC}{AH}=\frac{MC}{HM}=2$ mà tam giác AHC vuông tại H nên $\widehat{C}=$ 30 độ nên góc HAC = 60 nên góc A=90

gọi S(a) là tổng các chữ số của a. C/m S($5^{2015}$) - S($2^{2015}$) $\vdots 2$

cho ab=cd, c/m $a^{2007}+b^{2007}+c^{2007}+d^{2007}$ là hợp số

1) TÌm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó bằng lập phương tổng các chữ số của nó

2) Tìm hai chữ số tận cùng của tổng $S=1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2001^{2001}$

2) $S= (1^{2001}+1999^{2001})+(2^{1001}+1998^{2001})+...+(999^{2001}+1001^{2001})+1000^{2001}+2000^{2001}+2001^{2001}$

mà $1^{2001}+1999^{2001}\vdots (1+1999); 2^{2001}+1998^{2001}\vdots (2+1998)...........\Rightarrow S= BS1000+2001^{2001} \Rightarrow S=BS1000+(2000+1)^{2001}= BS1000+BS2000+1 =BS1000+1$

nên 2 chữ số tận cùng là 01

Cho tam giác ABC, D là trung điểm BC. Lấy E,F lần lượt thuộc AB,AC. C/m diện tích DEF lớn nhất bằng $\frac{1}{2}$ diện tích ABC

a) $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{x}+\frac{x+y}{y}=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2+2$ ( áp dụng BĐT Cosi)

1) Ta có $x^{3}=ax+xyz, y^{3}=by+xyz, z^{3}=cz+xyz$ $\Rightarrow ax+by+cz=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$.

Lại có $a+b+c=x^{2}+y^{2}+z^{2}-yz-xy-xz$. nên $\frac{ax+by+cz}{a+b+c}=a+b+c=2006$. (thay vào rồi bạn dùng hằng đẳng thức nhé)