IHateMath

Xin giới thiệu bài viết của tác giả Tom Davis về số Catalan nổi tiếng và các bài toán liên quan (bài toán mở-đóng ngoặc, bài toán phân hoạch đa giác đều của Euler, v.v)

Xin giới thiệu với bạn đọc một tài liệu trích trong tập san AMM (bằng tiếng Anh) nói về bài toán Con mã đi tuần trên bàn cờ vua. Bài viết thảo luận vấn đề với $m$, $n$ nào thì trên bàn cờ $m\times n$ thì tồn tại một chu trình đóng của con mã.

* Cảnh báo: Bạn đọc cần có kiến thức cơ sở về Graph và chu trình Hamilton.

 

 

cho em hỏi bài 3 đề lớp 12 cứ xoay vong như vậy có nghĩa là sao ạ?

Theo mình đề có thể hiểu là ban đầu, ở gien thứ nhất, nhảy qua một đoạn gồm 4 gien, sau đó nhảy qua một đoạn gồm 9 gien, và cứ tăng lên...

Với $m=3$ mình đang bí , ai đó có thể giúp mình được không ?

Bạn có thể dùng phản chứng đó, thử đi

Câu 4: (Lớp 12)

Hình gửi kèm

(ký hiệu $(M)$ cho đường tròn đường kính $AM$)

a) Để cm $(M)$ và $(I_1)$ trực giao, ta cần chỉ ra phương tích của $I_1$ với $(M)$ bằng ${I_1X}^2$, điều này được suy ra từ chính cách dựng $(M)$. Tương tự khi cm $(I_2)$ và $(M)$ trực giao.

b) Gọi $P, Q$ lần lượt là tiếp điểm của $(I_1)$ và $(I_2)$ với $BC$; $S, R$ lần lượt là tiếp điểm của $(I_1)$ và $(I_2)$ với $(O)$. $J$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$ (và do đó cố định). Ta có (theo câu a)) phương tích của $M$ với hai dường tròn $(I_1)$, $(I_2)$ bằng nhau và do đó, $K$ thuộc trục đẳng phương của 2 đường tròn này, gọi là $d$. Hơn nữa, dễ cm dc $N$ cũng nằm trên $d$. Mặt khác không khó để chỉ ra rằng $\overline{J,P,S}$, $\overline{J,Q,R}$ (kết quả cơ bản) và từ đó suy ra $JR$ là đường phân giác góc $BRC$ => (tam giác đồng dạng) $JB^2=JC^2=JQ.JR$. Hoàn toàn tương tự, $JB^2=JC^2=JP.JS$ từ đây ta có $JP.JS=JQ.JR$ => $J\in d$. Vậy $MN$ đi qua điểm cố định $J$.

P/s: Cứ tưởng sờ đến Sawayama, ai ngờ...

Olympic GẶP GỠ TOÁN HỌC tại Đồng Nai

Đề thi Olympic GGTH 2016

Nguồn : Facebook (Fanpage GGTH)

 2016-vie.pdf   168.36K   766 Số lần tải

Đề phiên bản Tiếng Việt đây, các mem chém đi nhé

 

(Thầy Nguyễn Minh Hà ĐHSP Hà Nội) Cho $\Delta ABC,A_1,A_2,C_3,B_4 \in BC,B_1,B_2,A_3,C_4 \in AC,C_1, C_2, B_3, A_4 \in AB$ sao cho $A_1A_2A_3A_4,B_1B_2B_3B_4,C_1C_2C_3C_4$ là các hình vuông. $A_0,B_0,C_0$ lần lượt là tâm các hình vuông nói trên. Gọi $H,S$ lần lượt là trực tâm và tâm ngoại tiếp của tam giác $ABC,A_0B_0C_0$. Chứng minh rằng tâm đẳng phương của các đường tròn $(A_0,A_0A_1),(B_0,B_0B_1),(C_0,C_0C_1)\in SH$.

Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$. Gọi $h$ là ước chung lớn nhất của $x,y,z$.

Chứng minh rằng $h(y-x)$ và $hxyz$ là các số chính phương.

Cho số nguyên $x\geq 3$ và $n=x^6-1$. Gọi $p$ là số nguyên tố và $k$ là số nguyên dương mà $p^k|n$. Chứng minh rằng $p^{3k}<8n$.   

Tìm các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn đồng thời:

$ab+c+d=3,bc+d+a=5,cd+a+b=2,da+b+c=6$.

(BMO 2009/10, vòng 2, bài toán số 1) Có $2010^{2010}$ đứa trẻ trong một trại hè. Mỗi người có nhiều nhất là $3$ người bạn trong trại hè, và tất nhiên, nếu $A$ là bạn của $B$ thì $B$ cũng là bạn của $A$. Trưởng trại muốn xếp các đứa trẻ này thành một hàng, sao cho có nhiều nhất $2010$ đứa trẻ giữa bất kì cặp gồm hai người bạn nào. Liệu có thể luôn luôn thực hiện được điều này hay không?

Cho dãy số $(x_n)$ trong đó $x_1\in (0,1), x_{n+1}=x_n+(\frac{x_n}{n})^2$ với mỗi số nguyên $n\geq 1$. Khảo sát tính hội tụ của $(x_n)$.

Đề bài 9 đúng phải là: với mỗi số thực dương $\alpha$, ta gọi $S(\alpha)=${$[n\alpha]|n\in \mathbb {Z^+}$}. Chứng minh rằng $\mathbb {Z^+}$ không thể biểu diễn thành hợp của 3 tập rời nhau $S(\alpha)$, $S(\beta)$, $S(\gamma)$.

Hình vẽ cho bài 6: