Nguyen Quoc Thai

Jakob Bernoulli (còn được biết đến với tên James hoặc Jacques) (27 tháng 12, 1654 – 16 tháng 8 năm 1705) là nhà toán học người Thụy Sĩ. Cống hiến chủ yếu của ông là vào hình học giải tích, lý thuyết xác suất, phép tính biến phân. Bất đẳng thức Bernoulli thường được dạy trong thường phổ thông mang tên này để vinh danh ông. Bernoulli cùng với Newton và Leibniz là một trong những người đầu tiên phát triển phép tính vi phân và tích phân nhưng ông đã có những tìm hiểu cao hơn. Ông còn có một người em trai kém 12 tuổi và cũng là một nhà toán học nổi tiếng Johann Bernoulli, gia đình nhà Bernoulli về sau còn sản sinh ra nhiều nhà toán học tài năng

Ông đã để lại cuốn sách {Ars Conjectandi} (1713), ông nghiên cứu tổng lũy thừa của các số nguyên liên tiếp $1^{k}+2^{k}+3^{k}+...$, ông đã giới thiệu các số đặc biệt có liên quan đến tổng này và đưa ra các công thức cho tổng các lũy thừa :

 

$ \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{n}{i=\frac{n\left( n+1 \right)}{2}},\;\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{n}{{{i}^{2}}=\frac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}},\;{{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{n}{{{i}^{3}}=\left( \frac{n\left( n+1 \right)}{2} \right)}}^{2}},...$

 

Ông khẳng định rằng không mất đến 10 phút để tính tổng trên với lũy thừa 10 với $n = 1000$,

và kết quả chính xác Bernoulli đã đưa ra là: \[91409924241424243424241924242500.\] 

 

Bernoulli đưa ra một công thức chung liên quan đến những số đó, giải thích chúng được tính qua một công thức truy hồi và nhấn mạnh cách thức của mình nó rất hữu ích cho việc tính toán tổng các lũy thừa. Bernoulli không dùng ký hiệu $B_0, B_1, B_2,...$ mà ông dùng các ký tự $A,B,C....$ thay cho $B_{2n}$ và cũng không dùng công thức nhị thức, trong tài liệu của ông công thức được viết là:

$\displaystyle\frac{1}{c + 1}n^{c + 1}  + \displaystyle\frac{1}{2}n^c  + \displaystyle\frac{c}{2}An^{c - 1}  + {\displaystyle\frac{c.\,c - 1.\,c - 2}{2.3.4}}Bn^{c - 3}\, +$

 

${\displaystyle\frac{c.\,c - 1.\,c - 2.\,c - 3.\,c - 4}{2.3.4.5.6}}Cn^{c - 5} + {\displaystyle\frac{c.\,c - 1.\,c - 2.\,c - 3.\,c - 4.\,c - 5.\,c - 6}{2.3.4.5.6.7.8}}Dn^{c - 7}+ ...$

Trong đó $c = k$.

 

Sử dụng ký hiệu hiện đại, công thức được viết lại:

\[\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{i^k} = } \displaystyle\sum\limits_{j = 0}^k {\displaystyle{{k}\choose {j}}} {B_j}\frac{{{n^{k + 1 - j}}}}{{k + 1 - j}}\qquad\left( { = \frac{1}{{k + 1}}\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^k {\displaystyle{{k+1}\choose {j}}{B_j}{n^{k + 1 - j}}} } \right)\]

Trong đó: \[\displaystyle{{k}\choose {j}}=\frac{k\left( k-1 \right)\left( k-2 \right)...\left( k-j+1 \right)}{j!}\] 

và \[\displaystyle\sum\limits_{j=0}^{k}{\displaystyle{{k+1}\choose {j}}{{B}_{j}}=k+1}     , k=1,2,....\]

Dưới đây $B_j$ gọi là số Bernoulli

Để xem chi tiết cách chứng minh, mời tải file đính kèm.

 

Kỳ sau ta sẽ có cách tính số Bernoulli dễ hơn nhờ hàm sinh ......

(còn nữa...)