ZOT Murloc

Bài 400: $\left\{\begin{matrix} &(x+2y-1)\sqrt{2y+1}=(x-2y)\sqrt{x+1} \\ &2xy+5y=\sqrt{(x+1)(2y+1)} \end{matrix}\right.$

ĐKXĐ : $\left\{\begin{matrix} x\geq -1 & \\ y\geq -\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x+1} & \\ b=\sqrt{2y+1} & \end{matrix}\right.$                        $\left ( a,b\geq 0 \right )$

 

PT(1) tương đương với

 

$\left ( a^2+b^2-3 \right ).b=\left ( a^2-b^2 \right ).a$

 

$\Leftrightarrow 3b-2b^3=-\left ( a-b \right )^2.\left ( a+b \right )$

 

Suy ra $3b-2b^3\leq 0\Leftrightarrow 2b^2-3\geq 0\Leftrightarrow y\geq \frac{1}{4}$    $(1')$

 

PT(2): Theo BĐT AM-GM ta có

 

$\sqrt{\left ( x+1 \right )\left ( 2y+1 \right )}\leq \frac{x+2y+2}{2}$

 

Suy ra

 

$2xy+5y\leq \frac{x+2y+2}{2}\Leftrightarrow \left ( 4y-1 \right )\left ( x+2 \right )\leq 0$ $\Leftrightarrow y\leq \frac{1}{4}$  $(2')$

 

Từ $(1')$ , $(2')$

 

Suy ra 

 

$\left\{\begin{matrix} y=\frac{1}{4}\\ \sqrt{x+1}=\sqrt{2y+1}\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

 

Vậy......

Bài 49: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=3xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^2}{y^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=a.z & \\ y=b.z & \end{matrix}\right.$                   $(a.b>0)$

 

$\Rightarrow a^2+b^2+1=3ab$

 

$\Leftrightarrow \left ( a-b \right )^2+1=ab$

 

Suy ra 

 

$1\leq ab\leq \left (\frac{a+b}{2} \right )^2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab\geq 1 & \\ a+b\geq 2 & \end{matrix}\right.$

 

Biểu thức P được viết lại như sau

 

$P=\frac{a^2}{b^2+b}+\frac{b}{a+1}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}$

 

$=\frac{a^2\left ( a+1 \right )+b^2\left ( b+1 \right )}{b\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}$

 

$=\frac{\left ( a+b \right )\left ( a^2-ab+b^2+1 \right )}{b\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}$

 

$=\frac{2ab.\left ( a+b \right )}{b\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}$

 

$=\frac{2a.\left ( a+b \right )}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+1}\geq \frac{2a.\left ( a+b \right )}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}+\frac{a^2+b^2}{a^2+ab}$

 

$\geq 2\sqrt{\frac{2\left ( a^2+b^2 \right )}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}}\geq 4\sqrt{\frac{\left ( a+b \right )^2}{\left ( a+b+2 \right )^2}}$

 

$=4.\frac{x+y}{x+y+2}=4\left ( 1-\frac{2}{x+y+2} \right )\geq 4.\left ( 1-\frac{2}{2+2} \right )=2$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1\Leftrightarrow x=y=z$

 

Vậy $MinP=2\Leftrightarrow x=y=z$

Bài 55: [Crux] Giả sử x,y là các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^3\ge x^3+y^4$. Chứng minh rằng: $x^3+y^3\le 2$

Ta có $x^{2}+y^{3}\geq x^{3}+y^{4}\Rightarrow x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+y^{2}+y^{4}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $y^{4}+y^{2}\geq 2y^{3}$

Do đó: $x^{2}+y^{3}+y^{2}\geq x^{3}+2y^{3}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy-Swcharz, ta có :

$\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{3}+y^{3} \right )$

 $\leq \left ( x+y \right )\left ( x^{2}+y^{2} \right )\Rightarrow x^{2}+y^{2}\leq x+y$  (2)

 Mặt khác $\left ( x+y \right )^{2}\leq 2\left ( x^{2}+y^{2} \right )\leq 2\left ( x+y \right )\Rightarrow x+y\leq 2$ (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra đpcm

Bài 58: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( c+a \right )^{2}}$

 

Ta sẽ chứng minh 2 BĐT sau

 

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\left ( a+c \right )^2}\geq b^2 & \\ \frac{1}{\left ( b+c \right )^2}\geq a^2 & \end{matrix}\right.$

 

Chứng minh BĐT  đầu ,BĐT sau tương tự

 

$\frac{1}{\left ( a+c \right )^2}\geq b^2 \Leftrightarrow \frac{\left ( ab+bc+ca \right )^2}{\left ( a+c \right )^2}-b^2\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{ac \left ( 2ab+2bc+ac \right )}{\left ( a+c \right )^2}\geq 0$

 

BĐT trên đúng. Vậy BĐT phụ được chứng minh

 

Suy ra

 

$P\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^2}+3a^2+3b^2\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^2}+\frac{3\left ( a+b \right )^2}{2}\geq 4\sqrt{3}$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

 

Vậy $MinP=4\sqrt{3}\Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=0 & \\ a=b=\frac{2}{\sqrt{3}} & \end{matrix}\right.$

 

 

Mong các bạn không ra thêm bài làm loãng topic.
Còn rất nhiều bài chưa làm ở trên

Bài 52: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $x(y^2+z^2)=yz(y+z)$.Tìm GTNN của:

 

$$\frac{1}{(x+1)^2}+\left ( \frac{y}{1+y} +\frac{z}{1+z}\right )^2+\frac{2yz(1-x)}{(1+x)(1+y)(1+z)}$$

 

(Trích đề thi thử Hoằng Hóa 4-Thanh Hóa)

 

Đặt $P=\frac{1}{(x+1)^2}+\left ( \frac{y}{1+y} +\frac{z}{1+z}\right )^2+\frac{2yz(1-x)}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

 

Theo BĐT AM-GM ta có

 

$\left ( \frac{y}{1+y} +\frac{z}{1+z}\right )^2\geq \frac{4yz}{\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )}$

 

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{2yz}{\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )}.\frac{x+3}{x+1}$                      $(*)$

 

Theo giả thiết ta có

 

$x\left ( y^2+z^2 \right )=yz\left ( y+z \right )\leq \left (\frac{y^2+z^2}{2} \right ).\left ( y+z \right )\Leftrightarrow 2x\leq y+z$

 

$yz\left ( y+z \right )=x\left ( y^2+z^2 \right )\geq \frac{\left ( y+z \right )^2}{2}.x\Leftrightarrow \frac{2yz}{y+z}\geq x$

 

Vậy nên

 

$(*)\Rightarrow P\geq \frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{\frac{2yz}{y+z}}{\frac{yz}{y+z}+1+\frac{1}{y+z}}.\frac{x+3}{x+1}$

 

$\geq \frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{\frac{2yz}{y+z}}{\frac{yz}{y+z}+1+\frac{1}{2x}}.\frac{x+3}{x+1}$

 

$= \frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+2.\left (1-\frac{\frac{1}{2x}+1}{\frac{yz}{y+z}+1+\frac{1}{2x}} \right ).\frac{x+3}{x+1}$

 

$\geq \frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+2.\left (1-\frac{\frac{1}{2x}+1}{\frac{x}{2}+1+\frac{1}{2x}} \right ).\frac{x+3}{x+1}$

 

$=\frac{1}{\left ( 1+x \right )^2}+2.\frac{x^2.\left ( x+3 \right )}{\left ( x+1 \right )^3}$

 

Ta sẽ chứng minh

 

$\frac{1}{\left ( 1+x \right )^2}+2.\frac{x^2.\left ( x+3 \right )}{\left ( x+1 \right )^3}\geq \frac{91}{108}$

 

$\Leftrightarrow \frac{\left ( 5x+17 \right )\left ( 5x-1 \right )^2}{108\left ( x+1 \right )^3}\geq 0$

 

BĐT trên luôn đúng

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{5}$

 

Vậy $MinP=\frac{91}{108}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{5}$

Bài 48:

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x\ge z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{xz}{y^2+yx}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{2(x+3z)}{x+2z}$

 

P được viết lại như sau

 

$P=\frac{\frac{x}{y}}{\frac{y}{z}+1}+\frac{\frac{y}{z}}{\frac{x}{y}+1}+2\frac{\frac{x}{z}+3}{\frac{x}{z}+2}$

 

Đặt

 

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}=a & \\ \frac{y}{z}=b & \end{matrix}\right. \Rightarrow ab=\frac{x}{z}\geq 1$

 

Biểu thức P tương đương với

 

$P=\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+2.\frac{ab+3}{ab+2}=\frac{a^2}{ab+a}+\frac{b^2}{ab+b}+2.\frac{ab+3}{ab+2}$

 

$\geq \frac{\left ( a+b \right )^2}{2ab+a+b}+2.\frac{ab+3}{ab+2}(C-S)\geq \frac{\left ( a+b \right )^2}{\frac{\left ( a+b \right )^2}{2}+a+b}+2.\frac{ab+3}{ab+2}$  

 

$=\frac{2\left ( a+b \right )}{a+b+2}+2.\frac{ab+3}{ab+2}=2-\frac{4}{a+b+2}+2.\frac{ab+3}{ab+2}$

 

Theo BĐT AM-GM ta có

 

$-\frac{4}{a+b+2}\geq \frac{-4}{2\sqrt{ab}+2}=\frac{-2}{\sqrt{ab}+1}$

 

Suy ra

 

$P\geq 2-\frac{2}{\sqrt{ab}+1}+2.\frac{ab+3}{ab+2}$

 

Đặt $t=\sqrt{ab}$                          $t \geq 1$

 

Ta sẽ chứng minh

 

$2-\frac{2}{t+1}+2.\frac{a^2+3}{a^2+2}\geq \frac{11}{3}$

 

$\Leftrightarrow \frac{2\left ( 2t^3+t^2+5t+3 \right )}{\left ( t+1 \right )\left ( t^2+2 \right )}\geq \frac{11}{3}$

 

$\Leftrightarrow \left ( t-1 \right )\left ( t-2 \right )^2\geq 0$

 

BĐT trên luôn đúng

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=1\vee a=b=2\Leftrightarrow x=y=z \vee x=2y=4z$

 

Vậy $minP=\frac{11}{3} \Leftrightarrow a=b=1\Leftrightarrow x=y=z \vee x=2y=4z$

Cho x,y,z >0 thỏa mãn: $x^{2}+y^{^{2}}+z^{2}=2x$

Tìm GTLN: $P=\frac{x+z}{x+2y+1}+\frac{z}{y+1}-\frac{4x^{2}}{(x+y)^{2}}$

Ta sẽ chứng minh

 

$\frac{x}{x+y}\geq \frac{z}{y+1}$

 

$\Leftrightarrow x(y+1)-z(x+y)\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(2xy+2x-2xz-2yz)\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(2xy+x^2+y^2+z^2-2xz-2yz)\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(x+y-z)^2\geq 0$

 

BĐT trên luôn đúng

 

Từ đây ta có

 

$\frac{x+z}{x+2y+1}\leq \frac{x}{x+y};\frac{z}{y+1}\leq \frac{x}{x+y}$

 

Suy ra

 

$P\leq \frac{2x}{x+y}-\frac{4x^2}{(x+y)^2}=-\left (\frac{2x}{x+y}-\frac{1}{2} \right )^2+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{4}$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{13} & & \\ y=\frac{3}{13} & & \\ z=\frac{4}{13} & & \end{matrix}\right.$

Ta có

 

$c=\frac{2a+b}{1-ab}$

 

Suy ra

$P=\frac{2a^{2}b^{2}+6a^{2}-4ab+b^{2}+7}{(2a^{2}+1)(b^{2}+2)}$

 

Xét $Q=\frac{2a^{2}b^{2}+6a^{2}-4ab+b^{2}+7}{\left(2a^{2}+1 \right)\left(b^{2}+2 \right)}\geq k$


$\Leftrightarrow Q=2(1-k)a^{2}b^{2}-4ab+2(3-2k)a^{2}+(1-k)b^{2}+7-2k\geq 0$


Ta có :$Q=\left(a\sqrt{6-4k}-b\sqrt{1-k} \right)^{2}+2(1-k)a^{2}b^{2}-2\left(2-\sqrt{(6-4k)(1-k)} \right)ab+7-2k\geq 0$


Chọn: $\Delta' _{ab}=\left(2-\sqrt{(6-4k)(1-k)} \right)^{2}-2(1-k)(7-2k)=0\Leftrightarrow k=\frac{5}{6}$

 

 

Vậy $MinP=\frac{5}{6}$ khi $\left(a=1;b=4;c=-2 \right) V \left(a=-1;b=-4;c=2 \right)$

 

 

P/s: Phần màu đỏ là lối tư duy, còn khi vào bài bạn có thể viết luôn :Cần cm $P \geq \frac{5}{6}$ và biến đổi tương đương

C2:

 

Đặt $P=\frac{2a}{a^2+1}+\frac{2b}{b^2+1}+\frac{c^2-1}{c^2+1}$

 

Ta có 

 

$P=\frac{2(a+b)(ab+1)}{(a^2+1)(b^2+1)}+\frac{c^2-1}{c^2+1}$

 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

 

$(ab+1)^2\leq (a^2+1)(b^2+1)\Leftrightarrow (ab+1) \leq \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}$

 

Suy ra

 

$P\leq \frac{2(a+b).\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}{(a^2+1)(b^2+1)}+\frac{c^2-1}{c^2+1}=\frac{2(a+b)}{\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}}+\frac{c^2-1}{c^2+1}$

 

$=\frac{2(a+b)}{\sqrt{(a^2+ab+bc+ca)(b^2+ab+bc+ca)}}+\frac{c^2-1}{c^2+1}=\frac{2(a+b)}{(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}}+\frac{c^2-1}{c^2+1}$

 

$=\frac{2}{\sqrt{c^2+1}}+\frac{c^2-1}{c^2+1}$

 

 

Ta sẽ chứng minh $\frac{2}{\sqrt{c^2+1}}+\frac{c^2-1}{c^2+1}\leq \frac{3}{2}$

 

Thật vậy.

Đặt $\sqrt{c^2+1}=t$

 

BĐT cần CM tương đương với

 

$\frac{2}{t}+\frac{t^2-2}{t^2}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow (t-2)^2\geq 0$

 

BĐT trên luôn đúng. Suy ra đpcm

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=\sqrt{3} & \\ a=b=2-\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$

Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$.

Ta có

$c(b-a)(b-c)\leq 0$

$\Leftrightarrow b^2c+c^2a\leq abc+bc^2$

$\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq b(a+c)^2=\frac{1}{2}.2b.(a+c)^2\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3=\frac{4}{27}$

$\Leftrightarrow 3(a^2b+b^2c+c^2a)\leq 3.(\frac{4}{27}-abc)=\frac{4}{9}-3abc$

 

Suy ra

$P\leq \frac{4}{9}-3abc-5c^2+4c+2ab=\frac{4}{9}-5c^2+4c+ab(2-3c)$

 

$TH1:2-3c< 0\Rightarrow P<\frac{4}{9}-5c^2+4c=-5(x-\frac{2}{5})^2+\frac{56}{45}\leq \frac{56}{45}$

 

$TH2:2-3c\geq 0\Rightarrow P\leq \frac{4}{9}-5c^2+4c+ab(2-3c)\leq \frac{4}{9}-5c^2+4c+\frac{(a+b)^2}{4}.(2-3c)= \frac{4}{9}-5c^2+4c+\frac{(1-c)^2}{4}.(2-3c)$

 

Đến đây khảo sát hàm biến $c$ trên $(0;\frac{2}{3}]$

 

Ta sẽ có $f(c)\leq f(\frac{1}{3})=\frac{4}{3}$

 

Vậy $MaxP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$