ZOT Murloc

Bài 518': Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} 2x-y-xy^{2}=2xy\left ( 1-x \right ) \\ \left ( x^{2}+2y^{2} \right )\left ( 1+\dfrac{1}{xy} \right )^{2}=12 \end{matrix}\right.$$

Bài này thay thế cho bài mang tính chất "giải trí" ở trên

 

ĐKXĐ :

$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-y-xy^2 & = &2xy-2x^2y \\ \left ( x+\frac{1}{y} \right )^2+2\left ( y+\frac{1}{x} \right )^2 & = &12 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2}{y}-\frac{1}{x}-y & = &2-2x \\ \left ( x+\frac{1}{y} \right )^2+2\left ( y+\frac{1}{x} \right )^2 & = &12 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\left (x+\frac{1}{y} \right )-\left (\frac{1}{x}+y \right ) & = &2\\ \left ( x+\frac{1}{y} \right )^2+2\left ( y+\frac{1}{x} \right )^2 & = &12 \end{matrix}\right.$

Phần còn lại khá dễ dàng

Ta có:

$\frac{2a^2-bc}{b^2+c^2-bc}=1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{b^2+c^2-bc}\geq 1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}$

Tương tự cộng vế theo vế:

$VT\geq 3-\sum \frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}=3-\frac{\sum ab(a+b)-2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$

Ta lại có:

$a^3+b^3+c^3\geq 3abc\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc$

$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq \sum ab(a+b)$

Vì $(a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b))$

Đoạn này không ổn vì chưa rõ dấu của b^2+c^2-2a^2

Bài 179: Cho ba số thực $x,y,z$ thay đổi thỏa mãn: $xy=1+z(x+y)$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P=\frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}+\frac{z}{1+z^2}$

Xét $x+y=0$. Suy ra $xy=1$. Vô lý

Suy ra $x+y \neq 0$

Rút $z=\frac{xy-1}{x+y}$ thế vào P ta có

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}$

+) Nếu $z \leq 0$

TH1: $x+y>0$

$\Rightarrow xy< 1$

Ta có

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}\leq \frac{2xy\left ( xy+1 \right )}{x^2y^2+x^2+y^2+1}< \frac{2xy\left ( xy+1 \right )+2x^2+2y^2}{x^2y^2+x^2+y^2+1}=2$

TH2:$x+y<0$

$\Rightarrow xy\geq 1$

Ta có

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}\leq \frac{2xy\left ( xy+1 \right )}{x^2y^2+x^2+y^2+1}= \frac{2xy\left ( xy+1 \right )}{(xy+1)^2+(x-y)^2}=\frac{2xy}{xy+1}=2-\frac{2}{xy+1}\leq 1$

+) Nếu $z>0$

TH1:$x+y<0$

$\Rightarrow xy\leq 1$

Nếu $\left[\begin{matrix} xy\leq -1 & \\ 0\leq xy\leq 1 & \end{matrix}\right.$ thì 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}\leq \frac{2xy\left ( xy+1 \right )+\frac{\left ( xy-1 \right )^2+\left ( x+y)^2 \right )}{2}}{x^2y^2+x^2+y^2+1}= \frac{2xy\left ( xy+1 \right )}{(xy+1)^2+(x-y)^2}+\frac{1}{2} \leq \frac{2xy}{xy+1}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}-\frac{2}{xy+1}< \frac{3}{2}$

Nếu $-1<xy<0$ thì 

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}< \frac{\frac{\left ( xy-1 \right )^2+\left ( x+y)^2 \right )}{2}}{x^2y^2+x^2+y^2+1}= \frac{1}{2}$

TH2:$x+y>0$

$\Rightarrow xy>1$

Suy ra x,y dương

Ta có

$P=\frac{2xy(xy+1)+(xy-1)(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}=\frac{2xy(xy+1)+\frac{1}{2}(xy+1)(2x+2y)-2(x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)}$

Theo BĐT AM-GM ta có

$(xy+1)\left ( 2x+2y \right )\leq \frac{x^2y^2+4x^2+4y^2+10xy+1}{2}$

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$

Lại có

$\frac{2xy(xy+1)}{(1+x^2)(1+y^2)}=\frac{2xy(xy+1)}{(xy+1)^2+(x-y)^2}\leq \frac{2xy}{xy+1}$

Suy ra

$P\leq \frac{2xy}{xy+1}+\frac{x^2y^2+4x^2+4y^2+10xy+1-16\sqrt{xy}}{4x^2y^2+4x^2+4y^2+4}$

$\leq \frac{2xy}{xy+1}+1+\frac{10xy-3x^2y^2-3-16\sqrt{xy}}{4\left ( xy+1 \right )^2}$

$=\frac{9x^2y^2+26xy+1-16\sqrt{xy}}{4\left ( xy+1 \right )^2}$

Việc còn lại là khảo sát hàm số

$f(t)=\frac{9t^2+26t+1-16\sqrt{t}}{t+1}$

với $t \in (1;+\infty)$

Bài của tungteng bị sai khoảng do bị lầm là x,y,z là các số thực dương

Ai làm gọn bài của mình hơn đc không???

Bài 171: (chuyên thái bình) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:
$P=a+b+c+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 Biến đổi đẳng thức ta có

$P=b\left ( 1+\frac{a}{b+c} \right )+c\left ( 1+\frac{b}{a+c} \right )+a\left ( 1+\frac{c}{a+b} \right )$

$=\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \right )$

Theo BĐT C-S ta có

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}=\frac{\left ( a+b+c \right )^2}{\left ( a+b+c \right )^2-1}$

Suy ra

$P\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^3}{\left ( a+b+c \right )^2-1}$

Theo BĐT cơ bản ta có 

$a+b+c\geq \sqrt{3\left ( ab+bc+ca \right )}=\sqrt{3}$

Việc còn lại là khảo sát HS or biến đổi tương đương với ẩn a+b+c trên miền $\left [ \sqrt{3},+\infty \right ]$

Bài 431: $(1+x)\sqrt{1+x}+(1-x)\sqrt{1-x}-1=(\sqrt{x^2+1}-2)^2$

$PT\Leftrightarrow x\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-x^2-6+4\sqrt{x^2+1}=0$

$\Leftrightarrow x\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )+\sqrt{\left ( \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} \right )^2}-2-x^2-4+4\sqrt{x^2+1}=0$

$\Leftrightarrow x\left ( \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \right )+\sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}-2-x^2-4+4\sqrt{x^2+1}=0$

$\Leftrightarrow \frac{2x^2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}-\frac{2x^2}{\left ( \sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}+2 \right )\left ( \sqrt{1-x^2}+1 \right )}+\left ( 3-\sqrt{x^2+1} \right )\left ( \sqrt{x^2+1}-1 \right )=0$

$\Leftrightarrow \frac{2x^2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}-\frac{2x^2}{\left ( \sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}+2 \right )\left ( \sqrt{1-x^2}+1 \right )}+\left ( 3-\sqrt{x^2+1} \right ).\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}+1}=0$

$\Leftrightarrow x^2.\left ( \frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}-\frac{2}{\left ( \sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}+2 \right )\left ( \sqrt{1-x^2}+1 \right )}+\left ( 3-\sqrt{x^2+1} \right ).\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}+1} \right )=0$

Ta có với mọi x thuộc ĐKXĐ

$\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\leq \sqrt{2.\left ( 1-x+1+x \right )}=2$

$\left ( \sqrt{2+2\sqrt{1-x^2}}+2 \right )\left ( \sqrt{1-x^2}+1 \right )\geq 2+\sqrt{2}$

$3-\sqrt{x^2+1}\geqslant 3-\sqrt{1+1}> 0$

Suy ra phần trong ngoặc luôn lớn hơn 0

Suy ra

$x^2=0\Leftrightarrow x=0$

Vậy.....