Đến nội dung

HDTterence2k

HDTterence2k

Đăng ký: 07-05-2016
Offline Đăng nhập: Riêng tư
***--

Trong chủ đề: VMF's Marathon Bất Đẳng Thức Olympic

24-05-2016 - 23:35

 Anh Huyện nhanh tay thật ..

 Cách 2 cho bài toán 3:

 Từ giả thiết ta thu được: $\sum { \frac { 1 }{ a^{ 4 }+1 }  } =1.$

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz:

 $1=\sum { \frac { \frac { 1 }{ { a }^{ 4 } }  }{ \frac { 1 }{ { a }^{ 4 } } +1 } \ge \frac { { (\sum { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } ) }  }^{ 2 } }{ \sum { \frac { 1 }{ { a }^{ 4 } } +3 }  }  } $

 $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^4}+3\ge (\sum \frac{1}{a^2})^2\Leftrightarrow 3\ge 2\sum \frac{1}{a^2b^2}$

 Sử dụng AM-GM ta có

 $ 9\ge 6\sum { \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 } } \ge 2{ \frac { { (a+b+c) }^{ 2 } }{ (abc)^{ 2 } }  } }$

 $\Leftrightarrow { 9(abc) }^{ 2 }\ge 2{ (a+b+c) }^{ 2 }\Leftrightarrow  3abc\ge \sqrt { 2 } (a+b+c)\ \ (1)$

 Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM-GM và kết hợp (1): $\frac { abc(a+b+c) }{ ab+bc+ac } \ge \frac { \sqrt { 2 } { (a+b+c) }^{ 2 } }{ 3(ab+bc+ac) } \ge \sqrt { 2 }$

 Dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=\sqrt [ 4 ]{ 2 }$

 

 Bài toán 4. Với $a,b,c\geq 0$ và $ab+bc+ac=2+abc$. Chứng minh:

\[\dfrac{ab(2-c)}{a^2+abc+b^2}+\dfrac{bc(2-a)}{b^2+abc+c^2}+\dfrac{ac(2-b)}{a^2+abc+c^2} \leq 1\]


Trong chủ đề: $\sqrt{a+bc} + \sqrt{b+ca} + \sqr...

24-05-2016 - 18:39

$đổi\quad biến\quad \frac { 1 }{ a } =x,\frac { 1 }{ b } =y,\frac { 1 }{ c } =z\quad ta\quad có\quad x+y+z=1\quad và\quad cần\quad chứng\quad minh\quad :\\ \sqrt { x+yz } +\sqrt { y+xz } +\sqrt { z+xy } \ge \quad 1+\sqrt { xy } +\sqrt { yz } +\sqrt { xz } \quad \\ <=>\quad \sum { \sqrt { x(x+y+z)+yz } \ge \quad x+y+z+\sqrt {xy } +\sqrt { yz } +\sqrt { xz }  } \\ <=>\quad \sum { \sqrt { (x+y)(x+z) } \ge \sum { x+\sum { \sqrt { yz }  } (\quad đúng\quad theo\quad bất\quad đẳng\quad thức\quad cauchy\quad schwarz) }  } \\ dấu\quad bằng\quad tại\quad a=b=c=3\quad .(\Box )\\ $


Trong chủ đề: VMF's Marathon Bất Đẳng Thức Olympic

23-05-2016 - 23:23

Bài toán 1. (Võ Quốc Bá Cẩn) Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh rằng \[\sqrt{\dfrac{a(b+c)}{b^2+c^2}}+\sqrt{\dfrac{b(c+a)}{c^2+a^2}}+\sqrt{\dfrac{c(a+b)}{a^2+b^2}}\geq 2\]

 Lời giải bài 1. Ta có $b^2+c^2\leq (b+c)^2\Rightarrow \sqrt{\dfrac{a(b+c)}{b^2+c^2}}\geq \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}$

 Tương tự ta thu được $\sqrt{\dfrac{b(a+c)}{a^2+c^2}}\geq \sqrt{\dfrac{b}{a+c}},\sqrt{\dfrac{c(a+b)}{a^2+b^2}}\geq \sqrt{\dfrac{c}{a+b}}$

 Do đó ta cần chứng minh $\sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}} \geq 2$

 Sử dụng AM-GM ta có $\sqrt {a(b+c)}\leq \dfrac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{a}{b+c}}\geq \dfrac {2a}{a+b+c}$

 Tương tự ta cũng có $\sqrt { \dfrac { b }{ a+c }  } \geq \dfrac {2b}{a+b+c},\sqrt { \dfrac { c }{ a+b }  } \geq \dfrac { 2c }{ a+b+c }$

 Cộng lại ta có $\sum \sqrt {\dfrac{a}{b+c}}\geq 2$

 Dấu "=" xảy ra khi $a=0,b=c$ và các hoán vị của chúng

 

 Bài toán 2. (Phạm Kim Hùng) Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \[P=\dfrac { a-b }{ \sqrt { a+b }  } +\dfrac { b-c }{ \sqrt { b+c }  } +\dfrac { c-a }{ \sqrt { a+c }  } \]

 

 $\begin{array}{| l | l |} \hline \text{HDTterence2k} & 1\\ \hline\end{array}$


Trong chủ đề: Cho $a,b,c>0$ và $\sum a=3$. Tìm Max: $...

17-05-2016 - 21:07

nhưng đối xứng sao ba biến lại không bằng nhau vậy bạn giải thử xem

Đâu nhất thiết ba biến đối xứng thì mới bằng nhau đâu bạn , theo nhiều bài toán thì ta mới rút ra được rằng các bài toán ba biến đỗi xứng có cực trị tại tâm chứ không phải là tất cả nhé .

Trong chủ đề: Cho $a,b,c>0$ và $\sum a=3$. Tìm Max: $...

17-05-2016 - 19:37

Mình xin đăng một ý tưởng khác ngoài sử dụng dồn biến cho bài toán , mong mọi người góp ý kiến $ta\quad sẽ\quad chứng\quad minh\quad \sum { \frac { ab }{ 3+{ c }^{ 2 } }  } \le \quad \frac { 11\sqrt { 33 } -45 }{ 24 } \quad .\quad ta\quad sử\quad dụng\quad một\quad kết\quad quả\quad quen\quad thuộc\quad sau:\\ P=({ a-b) }^{ 2 }({ b-c) }^{ 2 }(a-{ c) }^{ 2 }\ge \quad 0\quad \quad giải\quad bpt\quad này\quad thu\quad được\quad :\quad đặt\quad p=\sum { a,\quad q=\sum { ab,r=abc }  } \quad và\quad \begin{cases} { u }_{ 0 }=\frac { p+\sqrt { { p }^{ 2 }-3q }  }{ 3 } ,{ v }_{ 0 }=\frac { p-2\sqrt { p^{ 2 }-3q }  }{ 3 }  \\ { u }_{ 1 }=\frac { p-\sqrt { { p }^{ 2 }-3q }  }{ 3 } ,{ v }_{ 1 }=\frac { p+2\sqrt { { p }^{ 2 }-3q }  }{ 3 }  \end{cases}\quad ta\quad có\quad \quad { { { u }_{ 0 } }^{ 2 }{ v }_{ 0 } }\quad \le r\le { { u }_{ 1 } }^{ 2 }{ v }_{ 1 }\quad \quad và\quad \\ \begin{cases} 2{ u }_{ 0 }+{ v }_{ 0 }=2{ u }_{ 1 }+{ v }_{ 1 }=p \\ { { { u }_{ 0 } }^{ 2 }{ +2{ u }_{ 0 }v }_{ 0 }={ u_{ 1 } }^{ 2 }+2{ u }_{ 1 }{ v }_{ 1 }=q } \\ { { u }_{ 0 } }^{ 2 }{ v }_{ 0 }\le r\le { { u }_{ 1 } }^{ 2 }{ v }_{ 1 } \end{cases}\quad dễ\quad thấy\quad sau\quad khi\quad khai\quad triển\quad ta\quad thu\quad được\quad dạng\quad sau\quad :\quad m{ x }^{ 2 }+nx+p\quad \le \quad 0\quad (\quad x=abc,\quad m\quad >0\quad )\quad là\quad hàm\quad lồi\quad trên\quad đoạn\quad liên\quad tục\\ nên\quad ta\quad chỉ\quad cần\quad xét\quad trong\quad trường\quad hợp\quad 2\quad biến\quad bằng\quad nhau\quad :\quad Giả\quad sử\quad a=b\quad ,\quad c=3-2a\quad ta\quad cần\quad cm\quad :\quad \frac { { (3-c) }^{ 2 } }{ 2(3+{ c }^{ 2 }) } +\frac { (3-c)c }{ 3+{ (3-c) }^{ 2 } } \quad \le \frac { 11\sqrt { 33 } -45 }{ 24 } \\ đến\quad đây\quad ta\quad chỉ\quad cần\quad giải\quad bpt\quad .\quad $