hunghd2

Ban nao Co
American Mathmetical Monthly
Tu nam 2000-2007 share cho với!
Cám ơn nhé!

Anh nthd Em không vào được! Giúp em với!

Lục lại quá khứ thấy Bài của fecma21 hay quá mọi người cùng nhau giải nó đi??????

Bài Toán 1: Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau:

$u_1=a, u_2=b, u_n=\dfrac{u_{n-1}+u_{n-2}}{2}\quad (n=3,4...)$

Tìm giới hạn: $\lim\limit_{n\to\infty}u_n$
Bài làm: Ta có

$u_k-u_{k-1}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k-2}}{2}-u_{k-1}=-\dfrac{u_{k-1}-u_{k-2}}{2}$

Do vậy

$u_2-u_1=b-a;\quad u_3-u_2=-\dfrac{u_2-u_1}{2}=-\dfrac{b-a}{2}$

$u_4-u_3=-\dfrac{u_3-u_2}{2}=\dfrac{b-a}{4}...$

$u_n-u_{n-1}=(-1)^n\dfrac{b-a}{2^{{n-2}}}\qquad (n=3,4,...)$

Thay các biểu thức này vào đẳng thức

$u_n=u_1+(u_2-u_1)+(u_3-u_2)+...+(u_n-u_{n-1})$

Ta được
$u_n=a+(b-a)-\dfrac{b-a}{2}+\dfrac{b-a}{4}+...+(-1)^n\dfrac{b-a}{2^{n-2}}=a+\dfrac{2(b-a)}{3}+\dfrac{b-a}{3}\dfrac{(-1)^n}{2^{n-2}}$
Do đó
$\lim\limit_{n\to\infty}u_n=\lim\limit_{n\to\infty}\Big[a+\dfrac{2(b-a)}{3}+\dfrac{b-a}{3}.\dfrac{(-1)^n}{2^{n-2}}\Big]=\dfrac{a+2b}{3}.$

Các bạn làm tiếp đi!!!!!!!!

Lời Giải Không sơ cấp

$T = \int e^x lnx dx=e^x lnx-\int\dfrac{e^x}{x} dx$

Ta có:
$\int\dfrac{e^x}{x}dx=ln|x|+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2.2!}+\dfrac{x^3}{3.3!}+...+\dfrac{x^n}{n.n!}+...\quad\quad [x^2 < \infty]$

Ta có
$ \int\limits_{0}^{1} \dfrac{x^{4}+1}{x^{6}+1}dx=\int\limits_{0}^{1} \dfrac{(x^{4}-x^2+1)+x^2}{(x^{2}+1)(x^4-x^2+1)}dx=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^2+1}+\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x^2dx}{x^6+1}=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^2+1}+\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}\dfrac{d(x^3)}{x^6+1}=...$