tenlamgi

Tính A = $\int \frac{dx}{(x^{2}+9)^\frac{3}{2}}$

Đặt:

$x=3sinht\Rightarrow dx=3cosh(t)dt$

$\Rightarrow A=\int \frac{3cosh(t)dt}{\sqrt{(9sinh^2(t)+9)^3}}=\frac{1}{9}\int \frac{dt}{cosh^2(t)}=tanh(t)/9+C=\frac{x}{9\sqrt{x^2+9}}+C$

Cho dãy số {$a_{n}$}: $a_{1}$ =3; $a_{n}$ = $a_{n-1}$  +3$n^{2}$ +5. Tính $a_{2012}$, $a_{2013}$. Nêu rõ quy trình ấn phím    

Ta có:

$a_{2012}=a_{2011}+3.2012^2+5=a_{2010}+3(2012^2+2011^2)+2.5=...=a_{1}+3(\sum_{x=1}^{2012}(x^2)-1^2)+2011.5=3+3(\frac{2012(2012+1)(2.2012+1)}{6}-1)+2011.5=1006.2013.4025+2011.5$

Tương tự:$a_{2013}=3\sum_{x=1}^{2013}(x^2)+2012.5=2013.1007.4027+2012.5$

(Ủa có cần dùng máy tính đâu nhỉ?)

Bài toán: Tìm lim của: $$u_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\forall n\in \mathbb{N}$$

Ta có:$\lim u_{n}=\sum_{i=1}^{\infty }\frac{1}{i}> 1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...=1+1/2+1/2+1/2+...=+\infty$

Vậy $\lim u_{n}=\infty$

Đặt $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a \in \mathbb{N}^*)$

Ta có: $f(5)-f(3)=98a+16b+2c=2015$

$\Rightarrow f(7)-f(1)=342a+48b+6c=3(f(5)-f(3))+48a=3.2015+48a=3.(2015+16a)$

Vì a là số nguyên dương nên $2015+16a$ cũng là số nguyên dương.

$\Rightarrow$ Điều phải chứng minh.

mk học lớp 8

Ta có:$S=\sum_{n=2017+1}^{2.2017}1/n+\sum_{x=2.2017+1}^{3.2017+1}1/x> \frac{2017^2}{\sum_{n=2017+1}^{2.2017}n}+\frac{2018^2}{\sum_{x=2.2017+1}^{3.2017+1}x}$(BDT Cauchy-Schwarz)

$=\frac{2.2017^2}{(3.2017+1).2017}+\frac{2.2018^2}{(5.2017+2).2018}=\frac{2.2017}{3.2017+1}+\frac{2.2018}{5.2017+2}$

$=4036/10087+2017/3026>1$

Vì vai trò của $\alpha$ và $\beta$ là như nhau nên giả sử:

$\left\{\begin{matrix} \alpha =1/2+\sqrt{-3}/2 \\ \beta =1/2-\sqrt{-3}/2 \end{matrix}\right.$

Ta có: $S=\alpha ^{2012}+\beta ^{2012}=\frac{\alpha ^{2048}}{\alpha ^{36}}+\frac{\beta ^{2048}}{\beta ^{36}}=\frac{(1/2+\sqrt{-3}/2)^{2048}}{(1/2+\sqrt{-3}/2)^{36}}+\frac{(1/2-\sqrt{-3}/2)^{2048}}{(1/2-\sqrt{-3}/2)^{36}}$

Nhận thấy: $\alpha^3=\beta ^3=-1$ nên:

$S=(1/2+\sqrt{-3}/2)^{2048}+(1/2-\sqrt{-3}/2)^{2048}=(1/2+\sqrt{-3}/2)^{1024}+(1/2-\sqrt{-3}/2)^{1024}=...=(1/2+\sqrt{-3}/2)^2+(1/2-\sqrt{-3}/2)^2=-1$