Đến nội dung


hoangvipmessi97

Đăng ký: 30-11-2016
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 00:19
-----

Chủ đề của tôi gửi

IMO 2022

12-07-2022 - 22:01

Ngày thi thứ nhất

Bài 1: Ngân hàng Oslo có phát hành hai loại tiền xu: đồng vàng (kí hiệu bởi A) và đồng bạc (kí hiệu bởi B). Mai có $n$ đồng vàng và $n$ đồng bạc được sắp xếp thành một dãy tùy ý. Một dãy con gồm các đồng xu liên tiếp thuộc cùng một loại được gọi là một chuỗi. Với số nguyên dương cố định $k \leq 2n$, Mai thực hiện liên tiếp các bước chuyển như sau: cô ta xác định chuỗi dài nhất có chứa đồng xu thứ $k$ từ bên trái và chuyển tất cả các đồng xu của chuỗi này về phía trái của hàng. Ví dụ, nếu $n=4$ và $k=4$, bắt đầu với cách xếp AABBBABA, quá trình thực hiện các bước chuyển như sau:

AABBBABA $\rightarrow$ BBBAAABA $\rightarrow$ AAABBBBA $\rightarrow$ BBBBAAAA $\rightarrow$ BBBBAAAA $\rightarrow$ ...

Xác định tất cả các cặp $(n,k)$ với $1 \leq k \leq 2n$ sao cho với mọi cách sắp xếp ban đầu, đến một lúc nào đó trong quá trình thực hiện các bước chuyển, $n$ đồng xu ở bên trái của hàng sẽ thuộc cùng một loại.

 

Bài 2: Gọi $\mathbb{R}^+$ là tập các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ sao cho với mọi $x \in \mathbb{R}^+$ có đúng một giá trị $y \in \mathbb{R}^+$ thỏa mãn

$xf(y)+yf(x) \leq 2$.

 

Bài 3: Cho $k$ là một số nguyên dương và $S$ là một tập hữu hạn các số nguyên tố lẻ. Mi muốn xếp các phần tử của $S$ quanh một vòng tròn sao cho tích của hai số cạnh nhau bất kì có thể biểu diễn được dưới dạng $x^2 + x + k$ với $x$ nguyên dương nào đó. Biết rằng, hai cách xếp nhận được từ nhau qua phép quay và phép phản chiếu (đối xứng trục) được coi là như nhau. Chứng minh rằng Mi có nhiều nhất một cách xếp như vậy.

 

 

Ngày thi thứ hai

Bài 4: Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ với $BC=DE$. Giả sử rằng có một điểm $T$ nằm trong $ABCDE$ sao cho $TB=TD,\ TC=TE$ và $\angle ABT=\angle TEA$. Đường thẳng $AB$ cắt các đường thẳng $CD$ và $CT$ lần lượt tại các điểm $P$ và $Q$, trong đó các điểm $P,B,A,Q$ nằm theo thứ tự trên đường thẳng. Đường thẳng $AE$ cắt đường thẳng $CD$ và $DT$ lần lượt tại các điểm $R$ và $S$, trong đó các điểm $R,E,A,S$ nằm theo thứ tự trên đường thẳng. Chứng minh rằng các điểm $P,S,Q,R$ nằm trên một đường tròn.

 

Bài 5: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(a,b,p)$ với $p$ nguyên tố và

$a^p=b!+p$.

 

Bài 6: Cho số nguyên dương $n$. Một cao nguyên Nordic là một bảng $n \times n$ chứa tất cả các số nguyên từ $1$ đến $n^2$ sao cho mỗi ô vuông chứa đúng một số. Hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng có một cạnh chung. Ô vuông chỉ kề với các ô vuông chứa số lớn hơn số nằm trong đó được gọi là một thung lũng. Một con đường dốc là một dãy các ô vuông (có thể chỉ gồm một ô) thỏa mãn đồng thời các điều kiện:

(i) Ô vuông đầu tiên trong dãy là một thung lũng,

(ii) mỗi ô vuông tiếp theo trong dãy kề với ô vuông đứng trước nó,

(iii) các số được viết trên các ô vuông trong dãy có giá trị tăng dần.

Như là một hàm số của $n$, xác định giá trị nhỏ nhất có thể của số con đường dốc trong một cao nguyên Nordic.


Việt Nam TST 2022

26-04-2022 - 18:59

Ngày thi thứ nhất (26/04/2022)

Thời gian: 270 phút

Bài 1: Cho số thực $\alpha$ và xét hàm số $\varphi (x)=x^2 e^{ \alpha x}$ với $x \in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn

$f( \varphi (x)+f(y))=y+ \varphi (f(x))$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$

 

Bài 2: Cho một khối đa diện lồi $2022$ mặt. Trên ba mặt nào đó của nó, có sẵn các số $26, 4$ và $2022$ (mỗi mặt có đúng một số). Người ta muốn điền vào mỗi mặt còn lại một số thực sao cho mỗi số được điền bằng trung bình cộng của các số trong các mặt có cạnh chung với mặt chứa nó. Chứng mình rằng tồn tại duy nhất một cách điền như vậy.

 

Bài 3: Cho hình bình hành $ABCD$ có $I$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. Xét điểm $G$ bên trong tam giác $IAB$ sao cho $\widehat{IAG} = \widehat{IBG}=45^o - \dfrac{ \widehat{AIB}}{4}$. Ký hiệu $E,F$ tương ứng là hình chiếu của $C$ lên $AG$ và của $D$ lên $BG$. Trung tuyến đỉnh $E$ của tam giác $BEF$ và trung tuyến đỉnh $F$ của tam giác $AEF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh rằng $AF, BE$ và $IH$ đồng quy. Gọi điểm đồng quy đó là $L$.

b) Gọi $K$ là giao điểm của các đường thẳng $CE$ và $DF$. Gọi $J$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $LAB$ và $M,N$ lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $EIJ$ và $FIJ$. Chứng minh rằng $EM,FN$ và đường thẳng nối tâm các đường tròn ngoại tiếp hai tam giác $GAB,KCD$ thì đồng quy. 
 

Ngày thi thứ hai (27/04/2022)

Thời gian: 270 phút

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Một đường thẳng qua $O$ và trung điểm $I$ của $BC$ cắt các đường thẳng $AB,AC$ theo thứ tự tại $E, F$. Gọi $D,G$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A$ qua $O$ và qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Gọi $K$ là điểm đối xứng của $O$ qua tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$.

a) Chứng minh rằng các điểm $D,G,K$ thẳng hàng.

b) Trên các đường thẳng $KB,KC$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $IM \perp AC$ và $IN \perp AB$. Trung trực của $IK$ cắt $MN$ tại $H$. Giả sử $IH$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$ thì cắt lại $(O)$ tại một điểm thuộc đường thẳng $AI$.

 

Bài 5: Một số hữu tỉ $x$ được gọi là "đẹp" nếu nó có thể biểu diễn hữu hạn trong hệ cơ số $b$ với $b$ là số nguyên dương thuộc $[2;2022]$. Chứng minh rằng tồn tại hữu hạn số nguyên dương $n \geq 4$ sao cho với mọi $m$ nguyên dương thuộc khoảng $\left ( \dfrac{2n}{3};n \right)$ thì trong hai số $\dfrac{m}{n-m}$ và $\dfrac{n-m}{m}$, có ít nhất một số đẹp.

 

Bài 6: Cho tập hợp $A= \{ 1;2;...;4044 \}$. Người ta tô màu $2022$ phần tử trong $A$ bởi màu trắng và $2022$ phần tử còn lại bởi màu đen. Với mỗi số $i \in A$, ta gọi "trọng số" của $i$ là số lượng của các số được tô màu trắng nhỏ hơn $i$ và các số được tô màu đen lớn hơn $i$. Với mỗi số tự nhiên $m$, hãy xác định tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho tồn tại cách tô màu tập hợp $A$ để có đúng $k$ số có trọng số đúng bằng $m$.


Đề thi VMO 2022

04-03-2022 - 11:38

Ngày thi thứ nhất (04/03/2022)

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1 (5,0 điểm)

Cho $a$ là một số thực không âm và dãy số $(u_n)$ được xác định bởi

$$u_1=6, \ u_{n+1}= \dfrac{2n+a}{n}+ \sqrt{\dfrac{n+a}{n}u_n +4}, \ \forall n \geq 1$$.

a) Với $a=0$, chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Với mọi $a \geq 0$, chứng minh rằng $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.

 

Bài 2 (5,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f:(0;+ \infty) \rightarrow (0;+ \infty) $ thoả mãn

$$f \left ( \dfrac{f(x)}{x}+y \right )=1+f(y), \ \forall x,y \in (0;+ \infty)$$

 

Bài 3 (5,0 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $E,F$ lần lượt thay đổi trên tia đối của các tia $BA,CA$ sao cho $BF=CE \ (E \neq B, \ F \neq C)$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của $BE,CF$ và $D$ là giao điểm của $BF$ với $CE$.

a) Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $DBE,DCF$. Chứng minh rằng $MN$ song song với $IJ$.

b) Gọi $K$ là trung điểm của $MN$ và $H$ là trực tâm của tam giác $AEF$. Chứng minh rằng $HK$ luôn đi qua một điểm cố định.

 

Bài 4 (5,0 điểm)

Với mỗi cặp số nguyên dương $(n,m)$ thoả mãn $n<m$, gọi $s(n,m)$ là số các số nguyên dương thuộc đoạn $[n;m]$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Tìm tất cả các số nguyên dương $m \geq 2$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) $\dfrac{s(n,m)}{m-n} \geq \dfrac{s(1,m)}{m}$ với mọi $n=1,2,...,m-1$;

ii) $2022^m+1$ chia hết cho $m^2$.

 

 

Ngày thi thứ hai (05/03/2022)

Thời gian: 180 phút

Bài 5 (6,0 điểm)

Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức khác hằng, có hệ số là các số nguyên không âm, trong đó các hệ số của $P(x)$ đều không vượt quá $2021$ và $Q(x)$ có ít nhất một hệ số lớn hơn $2021$. Giả sử $P(2022)=Q(2022)$ và $P(x), Q(x)$ có chung nghiệm hữu tỷ $\dfrac{p}{q} \neq 0$ ($p,q \in \mathbb{Z}$; $p$ và $q$ nguyên tố cùng nhau). Chứng minh rằng $|p|+n|q| \leq Q(n) - P(n)$ với mọi $n=1,2,...,2021$.

 

Bài 6 (7,0 điểm)

Gieo 4 con súc sắc cân đối, đồng chất. Ký hiệu $x_i \ (1 \leq x_i \leq 6)$ là số chấm trên mặt xuất hiện của con súc sắc thứ $i$ $(i=1,2,3,4)$.

a) Tính số các bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ có thể có.

b) Tính xác suất để có một số trong $x_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4$ bằng tổng của ba số còn lại.

c) Tính xác suất để có thể chia $x_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4$ thành hai nhóm có tổng bằng nhau.

 

Bài 7 (7,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định trên đường tròn $(O)$ ($BC$ không đi qua tâm $O$) và điểm $A$ thay đổi trên cung lớn $ \stackrel\frown{BC}$  sao cho $AB \neq AC$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Gọi $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $\widehat{BAC}$, $L$ là giao điểm của $I_a D$ với $OI$ và $E$ là điểm trên $(I)$ sao cho $DE$ song song với $AI$.

a) Đường thẳng $LE$ cắt đường thẳng $AI$ tại $F$. Chứng minh rằng $AF=AI$.

b) Trên đường tròn $(J)$ ngoại tiếp tam giác $I_a BC$ lấy điểm $M$ sao cho $I_a M$ song song với $AD$, $MD$ cắt lại $(J)$ tại $N$. Chứng minh rằng trung điểm $T$ của $MN$ luôn thuộc một đường tròn cố định.


Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 - VMO - Bà Rịa-Vũng Tàu 2022

29-11-2021 - 11:46

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2021-2022

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 24/11/2021

 

Bài 1 (4,0 điểm).

a) Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức có bậc không quá $2020$ và thoả mãn $x^{2021}.P(x)+(x-2)^{2021}.Q(x)=1, \ \forall x \in \mathbb{R}$. Tính $Q(1)$.

b) Tìm tất cả bộ ba số thực dương $(x,y,z)$ thoả mãn hai điều kiện $xy+yz+zx+xyz=4$ và $\sqrt{2(4-xy)}+ \sqrt{5(4-yz)}+ \sqrt{10(4-zx)}=12$.

 

Bài 2 (3,0 điểm). Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $x_1=0, \ x_2=1$ và $x_{n+2}= \dfrac{x_n +1}{x_{n+1}+x_n+2}, \ \forall n \in \mathbb{N}^*$.

Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

 

Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $O_1$ là điểm đối xứng của $O$ qua đường thẳng $BC$. $AO_1$ cắt $BC$ tại $L$, $DE$ cắt $HC$ tại $M$, $DF$ cắt $HB$ tại $N$.

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $DMN$ và đường tròn đường kính $AL$ tiếp xúc với nhau.

b) Tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn đường kính $AL$ cắt $EF$ tại $K$. Chứng minh $KH=KD$.

 

Bài 4 (5,0 điểm).

a) Cho hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn $f(x+y) \geq f(x)+y.f(f(x))$ với mọi số thực $x,y$. Chứng minh rằng $f(0) \leq 0$.

b) Cho các số nguyên dương $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh tồn tại số nguyên $n$ sao cho $a+n, \ b+n, \ c+n$ là các số đôi một nguyên tố cùng nhau.

 

Bài 5 (3,0 điểm). Trên mặt phẳng ta vẽ 3333 đường tròn đôi một khác nhau và có bán kính bằng nhau. Chứng minh rằng luôn chọn ra được trong số đó 34 đường tròn mà các đường tròn này đôi một có điểm chung hoặc đôi một không có điểm chung.

 

- HẾT -

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay)

 

Nguồn:

1. Thầy Quang Vinh, GV Toán - THPT Chuyên Lê Quý Đôn (Bà Rịa - Vũng Tàu);

2. Group Hướng tới Olympic Toán VN

 

File gửi kèm  260294342_584939452607778_3199545060467827526_n.jpg   93.01K   24 Số lần tải


Vietnam TST 2021

02-04-2021 - 23:19

Ngày thi thứ nhất
Thời gian: 270 phút

Bài 1 (7 điểm): Cho dãy số $\left ( a_n \right )$ được xác định bởi $a_1 =1$ và $\left\{\begin{matrix} a_{2n}=a_n \\ a_{2n+1} = a_n +1  \end{matrix}\right.$ với $n \geq 1$.

a) Tìm tất cả $n$ sao cho $a_{kn}=a_n$ với mọi số nguyên dương $k \leq n$.

b) Chứng minh rằng tồn tại vô số $m$ nguyên dương mà $a_{km} \geq a_m$ với mọi số $k$ nguyên dương.

 

Bài 2 (7 điểm): Cho bảng ô vuông $2021 \times 2021$. Tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho có thể đánh dấu được $k$ ô của bảng mà mỗi ô trong $k$ ô đó thì có chung đỉnh với tối đa 1 ô được đánh dấu.

 

Bài 3 (7 điểm): Cho tam giác $ABC$ và điểm $N$ không trùng với các điểm $A,B,C$. Gọi $A_b$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $NB$, còn $B_a$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $NA$. Xác định tương tự với 2 cặp điểm còn lại là $B_c,C_b$ và $C_a,A_c$. Đường thẳng $m_a$ qua $N$ và vuông góc với $B_c C_b$. Xác định tương tự với $m_b, m_c$.

a) Giả sử $N$ là trực tâm tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a, m_b, m_c$ lần lượt qua phân giác các góc $\widehat{BNC}, \widehat{CNA}, \widehat{ANB}$ thì trùng nhau.

b) Giả sử $N$ là tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a, m_b, m_c$ lần lượt qua $BC,CA,AB$ thì đồng quy tại một điểm.

 

 

Ngày thi thứ hai
Thời gian: 270 phút

Bài 4 (7 điểm): Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn

$2 \left ( a^2 +b^2 + c^2 \right ) +3(ab+bc+ca)=5(a+b+c)$.

Chứng minh rằng $4\left ( a^2 +b^2 + c^2 \right ) +2(ab+bc+ca)+7abc \leq 25$ .

 

Bài 5 (7 điểm): Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định, điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và kẻ các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$. Trên tia $FA, EA$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $FM=CE,FN=BF$. Giả sử $MN$ cắt $EF$ tại $L$ và $(LEN)$ cắt lại $(LFM)$ tại $G$.

a) Chứng minh rằng đường tròn $(MNG)$ luôn đi qua điểm cố định.

b) Giả sử $AD$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Trên tiếp tuyến qua $D$ của $(DKI)$, lấy các điểm $P,Q$ sao cho $GP//AB,GQ//AC$. Gọi $T$ là tâm của đường tròn $(GPQ)$. Chứng minh rằng đường thẳng $GT$ luôn đi qua điểm cố định.

 

Bài 6 (7 điểm): Cho số nguyên dương $n \geq 3$ và số nguyên tố $p$ thoả mãn $p > 6^{n-1}-2^n+1$. Xét tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương có số dư đôi một khác nhau khi chia cho $p$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $c$ sao cho có đúng hai bộ số $(x,y,z) \in S^3$ có thứ tự, có các thành phần phân biệt mà $x-y+z-c$ chia hết cho $p$.

- HẾT -