Đến nội dung


hoangvipmessi97

Đăng ký: 30-11-2016
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 17:05
-----

Chủ đề của tôi gửi

Vietnam TST 2021

02-04-2021 - 23:19

Ngày thi thứ nhất
Thời gian: 270 phút

Bài 1 (7 điểm): Cho dãy số $\left ( a_n \right )$ được xác định bởi $a_1 =1$ và $\left\{\begin{matrix} a_{2n}=a_n \\ a_{2n+1} = a_n +1  \end{matrix}\right.$ với $n \geq 1$.

a) Tìm tất cả $n$ sao cho $a_{kn}=a_n$ với mọi số nguyên dương $k \leq n$.

b) Chứng minh rằng tồn tại vô số $m$ nguyên dương mà $a_{km} \geq a_m$ với mọi số $k$ nguyên dương.

 

Bài 2 (7 điểm): Cho bảng ô vuông $2021 \times 2021$. Tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho có thể đánh dấu được $k$ ô của bảng mà mỗi ô trong $k$ ô đó thì có chung đỉnh với tối đa 1 ô được đánh dấu.

 

Bài 3 (7 điểm): Cho tam giác $ABC$ và điểm $N$ không trùng với các điểm $A,B,C$. Gọi $A_b$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $NB$, còn $B_a$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $NA$. Xác định tương tự với 2 cặp điểm còn lại là $B_c,C_b$ và $C_a,A_c$. Đường thẳng $m_a$ qua $N$ và vuông góc với $B_c C_b$. Xác định tương tự với $m_b, m_c$.

a) Giả sử $N$ là trực tâm tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a, m_b, m_c$ lần lượt qua phân giác các góc $\widehat{BNC}, \widehat{CNA}, \widehat{ANB}$ thì trùng nhau.

b) Giả sử $N$ là tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a, m_b, m_c$ lần lượt qua $BC,CA,AB$ thì đồng quy tại một điểm.

 

 

Ngày thi thứ hai
Thời gian: 270 phút

Bài 4 (7 điểm): Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn

$2 \left ( a^2 +b^2 + c^2 \right ) +3(ab+bc+ca)=5(a+b+c)$.

Chứng minh rằng $4\left ( a^2 +b^2 + c^2 \right ) +2(ab+bc+ca)+7abc \leq 25$ .

 

Bài 5 (7 điểm): Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ cố định, điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và kẻ các đường cao $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$. Trên tia $FA, EA$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $FM=CE,FN=BF$. Giả sử $MN$ cắt $EF$ tại $L$ và $(LEN)$ cắt lại $(LFM)$ tại $G$.

a) Chứng minh rằng đường tròn $(MNG)$ luôn đi qua điểm cố định.

b) Giả sử $AD$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Trên tiếp tuyến qua $D$ của $(DKI)$, lấy các điểm $P,Q$ sao cho $GP//AB,GQ//AC$. Gọi $T$ là tâm của đường tròn $(GPQ)$. Chứng minh rằng đường thẳng $GT$ luôn đi qua điểm cố định.

 

Bài 6 (7 điểm): Cho số nguyên dương $n \geq 3$ và số nguyên tố $p$ thoả mãn $p > 6^{n-1}-2^n+1$. Xét tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương có số dư đôi một khác nhau khi chia cho $p$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $c$ sao cho có đúng hai bộ số $(x,y,z) \in S^3$ có thứ tự, có các thành phần phân biệt mà $x-y+z-c$ chia hết cho $p$.

- HẾT -

 


Tồn tại hay không 2 điểm bất kỳ có khoảng cách nhỏ hơn: a) 1? b) $\dfrac...

21-01-2019 - 10:55

2019 điểm nằm bên trong một hình lập phương có độ dài cạnh bằng 9.
Tồn tại hay không 2 điểm bất kỳ có khoảng cách nhỏ hơn:
a) 1? 
b) $\dfrac{1}{4}$?
(cải biên lại đề từ Problem 841, trang 288, sách Putnam and Beyond, 2007)


[Olympic Sinh viên] Đề thi chọn đội tuyển Giải tích - ĐH Bách Khoa TPHCM, 2017 - 2018

21-01-2018 - 14:10

Ngày thi 21/01/2018
Thời gian 90 phút
Câu 1: Với giá trị $x \in \mathbb{R}$ nào thì giới hạn $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^{n} \left ( 1+ x^{3^k} + x^{2.3^k} \right )$ tồn tại hữu hạn?

 

Câu 2: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $[1; + \infty)$ thoả mãn các điều kiện sau:

           i) $f(1)=a>0$

           ii) $f(x+1)=2001(f(x))^2 + f(x), \ \forall x \in [1; + \infty)$

Tìm $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left [ \dfrac{f(1)}{f(2)} + \dfrac{f(2)}{f(3)} + ... + \dfrac{f(n)}{f(n+1)} \right ]$

 

Câu 3: Cho hàm $f(x)$ xác định và liên tục trên $[0; + \infty)$, có đạo hàm liên tục trên $(0; + \infty)$ và thoả mãn $f(0)=1; \ \left | f(x) \right | \leq e^{-x}, \forall x \geq 0$. Chứng minh rằng, tồn tại $x_0 > 0$ để $f'\left ( x_0 \right ) = -e^{-x_0}$

 

Câu 4: Một chất điểm xuất phát từ trạng thái đứng yên, chuyển động trên đường thẳng với gia tốc giảm dần. Khi đi được quãng đường $d$ nó đạt vận tốc $v$. Tìm thời gian chuyển động cực đại.

 

Câu 5: Cho $f(x)$ khả vi liên tục trên $[0;1]$; $f(0)=0; \ f(1)=1$. Chứng minh rằng với mọi $k_1,k_2>0$, $\exists x_1,x_2: \ 0 \leq x_1 \leq x_2 \leq 1$ sao cho $\displaystyle \dfrac{k_1}{f'\left ( x_1 \right )} + \dfrac{k_2}{f'\left ( x_2 \right )} = k_1 + k_2$.

 

Câu 6: Cho $f(x)$ khả vi trên $(a,b)$; $f(a)=0$ và tồn tại $A \geq 0; \ \alpha \geq 1$ sao cho $\left | f'(x) \right | \leq A \left | f(x) \right |^{\alpha}, \ \forall x \in [a,b]$. Chứng minh rằng $f(x) \equiv 0$ trên $[a,b]$.

 

Câu 7: Cho đa thức $P(x)$ thoả mãn điều kiện $P(a) = P(b) = 0$ với $a<b$. Đặt $\displaystyle M = \max_{a \leq x \leq b} \left | P''(x) \right |$. Chứng minh rằng $\displaystyle \left |\int_{a}^{b} P(x) dx  \right | \leq \dfrac{1}{12}M(b-a)^3$.

 

Câu 8: Cho $f(x)$ là hàm liên tục trên $[0;2]$, có đạo hàm trên $(0;2)$ và thoả mãn $f(0)=f(2)=1, \ \left | f'(x) \right | \leq 1, \ \forall x \in [0;2]$. Chứng minh rằng $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) dx  >1$.

 

Câu 9: Xét đa thức $P(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện $P(0) = P(1) = 0; \ \displaystyle \int_{0}^{1} \left | P(x) \right | dx = 1$. Chứng minh rằng $\left | P(x) \right | \leq \dfrac{1}{2}, \ \forall x \in [0;1]$.

 

Câu 10: Cho $f(x)$ là hàm có đạo hàm liên tục trên $[0;1]$ thoả $f(1)-f(0)=1$. Chứng minh rằng $\displaystyle \int_{0}^{1} (f'(x))^2 dx \geq 1$.

- HẾT -

 


$f(f(x) f(y) - f(xy)) = \dfrac{1}{f(x)} + \dfrac...

22-09-2017 - 11:43

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn: (mỗi câu là riêng biệt) $\forall x,y \in \mathbb{R}$
1. $f(f(x) f(y) - f(xy)) = \dfrac{1}{f(x)} + \dfrac{5}{f(y)}$ ($f:\mathbb{R}  \backslash \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{R}  \backslash \{ 0 \}$)
2. $7 f(xy) - 2 f(x)+ 8 f(x+y) = 5 f(x - y + xy)$
3. $\dfrac{9}{f \left ( f \left ( \dfrac{1}{xy} \right ) \right )} - \dfrac{2}{f(x)} = f(xy - x + y)$ ($f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+ $)