minhducndc

Có $B=\frac{3x^{2}-2x+3}{x^{2}+1}\Rightarrow 3x^{2}-2x+3-Bx^{2}-B=0$

hay $(3-B)x^{2}-2x+3-B=0$ (*)

Thấy pt (*) có nghiệm x $\Leftrightarrow \Delta \geq 0$$\Leftrightarrow (-2)^{2}-4(3-B)^{2}\geq 0$

Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $$ a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 3$$ . Chứng minh rằng $(a+b+c)(a+b+c-abc)\geq 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

Ta có bất đẳng thức quen thuộc $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

$\Rightarrow 3(a+b+c)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

$\Rightarrow 2(a+b+c)\geq 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

Như vậy ta cần chứng minh $a+b+c-abc\geq 2$ (*)

Theo đề bài ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3\Rightarrow a+b+c\leq 3;abc\leq 1$

Có $a+b+c-abc\geq a+b+c-\frac{(a+b+c)^{3}}{27}$

Từ (*) ta cần chứng minh $a+b+c-\frac{(a+b+c)^{3}}{27}\geq 2\Leftrightarrow (a+b+c-3)^{2}(a+b+c+6)\geq 0$ (luôn đúng)

Câu 3. Ta cần chứng minh

$P=\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+c^{2}a^{2}+b^{2}c^{2}\geq \sqrt{3}abc$

$\Leftrightarrow (a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})^{2}\geq 3a^{2}b^{2}c^{2}= 3a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$(luôn đúng)

Ap dụng AM-GM cho 3 số dương ta có

$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}b}{b^{2}c}}= \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}$

Tương tự ta có$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}= \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

Có $1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}$

$\Rightarrow VT\geq \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}= \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+9\sqrt[3]{abc}-8\sqrt[3]{abc}\geq 6-8.\frac{1}{3}= \frac{10}{3}$

ví dụ $a=12;b=14\Rightarrow 2a=24;2b= 28$

giữa 24 và 28 ko có số nào nguyên tố

Có $\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+ab^{2}+ac^{2}+a^{2}c+b^{2}c+bc^{2}+2a+2b+2c}= \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc+2(a+b+c)}= \frac{(a+b+c)^{2}}{3a+3b+3c-3abc}$

Cần chứng minh$8(a+b+c)^{2}+9\sqrt{3}abc\geq 9\sqrt{3}(a+b+c)$ với ab+bc+ca=1 là xong ,không biết có đúng ko

BĐT $\Leftrightarrow (ab+bc+ca-3)^{2}\geq (\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1})^{2}$

Có $(ab+bc+ca-3)^{2}= (ab+bc+ca)^{2}-6(ab+bc+ca)+9\geq 3(a+b+c)abc-6(ab+bc+ca)+9= 3(a+b+c)^{2}-6(ab+bc+ca)+9= 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9$

Ta cần chứng minh  $(\sum \sqrt{a^{2}+1})^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3)$   

Ap dụng bất đẳng thức Bunhia ta có

$(\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1})^{2}\leq 3(a^{2}+1+b^{2}+1+c^{2}+1)= 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3)$

$\Rightarrow dpcm$

bài này hơi khó đấy

bài này hơi khó đấy

Công nhận hay thật

Gọi H là trung điểm của CD $\Rightarrow OH$ vuông góc với CD (Do $\bigtriangleup OCD$ cân tại O)

Khi đó $\lozenge OHPB$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{DHB}= \widehat{PHB}= \widehat{POB}= \widehat{AOE}$

Xét $\bigtriangleup DHB$  và $\bigtriangleup AOE$ ta có

     $\widehat{HDB}= \widehat{OAE}$ (Vì cùng bù với $\widehat{CAB}$ )

      $\widehat{DHB}= \widehat{AOE}$ (chứng minh trên )

$\Rightarrow \bigtriangleup HDB\sim \bigtriangleup OAE$ (g-g)

 $\Rightarrow \frac{BD}{DH}= \frac{AE}{AO}\Rightarrow \frac{BD}{2DH}= \frac{AE}{2AO}\Leftrightarrow \frac{BD}{DC}= \frac{AE}{AB}$

Từ đây $\Rightarrow \bigtriangleup BDC\sim \bigtriangleup EAB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{EBA}= \widehat{BCD}= \widehat{BAD}$

Suy ra đpcm

 *

Đặt $\sqrt{a}= x(x\geq 0)$ ta có $P=\frac{a}{a^{3}-3a+3}$

Ta cần tìm a không âmsao cho P nguyên

Dễ thấy P$\geq 0$

Ta có $a^{3}+3-3a= a^{3}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-3a\geq 3\sqrt[3]{a^{3}.\frac{3}{2}.\frac{3}{2}}-3a= 3a(\sqrt[3]{\frac{9}{4}}-1)\Rightarrow \frac{a}{a^{3}+3-3a}\leq \frac{1}{3(\sqrt[3]{\frac{9}{4}}-1)}$  xấp xỉ số nguyên nào đó

Đến đây chặn P, tìm giá trị nguyên rồi tìm a suy ra x

Bài này hay đấy mà m thấy bạn đăng mấy lần rồi cho hỏi bạn có lời giải chưa?

$x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$

$\Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}+1= -(ax^{3}+bx)$

$\Rightarrow (x^{2}+1)^{4}= (ax^{3}+bx)^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(x^{6}+x^{2})$)

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{(x^{2}+1)^{4}}{x^{6}+x^{2}}$

Đặt $x^{2}=a (a\geq 0)$ ta cần chứng minh (a>0 vif x=0 ko la no)

$\frac{(a+1)^{4}}{a^{3}+a}\geq 8$

$\Leftrightarrow a^{4}+6a^{2}+1-4a^{3}-4a\geq 0 \Leftrightarrow (a^{4}-a^{3})-(3a^{3}-3a^{2})+(3a^{2}-3a)-(a-1)\geq 0\Leftrightarrow (a^{3}-3a^{2}+3a-1)(a-1)\geq 0\Leftrightarrow (a-1)^{4}\geq 0$

Ta có $P=2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+a^{2}+b^{2}+c^{2}+4abc$

Do $a+b+c= 1\Rightarrow P=2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)+4abc$

$P=2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+\sum a^{3}+(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+4abc$

   $= \sum a^{3}+3\sum a^{2}b+6abc-2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc)$

$= (a+b+c)^{3}-2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc)\geq 1-\frac{8}{27}(a+b+c)^{3}= \frac{19}{27}$

Bất đẳng thức phụ $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+abc\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^{3}$ bạn xem, ở đây

https://diendantoanh...b-b2c-c2a-le-4/

a,$\left\{\begin{matrix} (1-\frac{12}{y+3x})\sqrt{x}=2\\ (1+\frac{12}{y+3x})\sqrt{y}=6 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-\frac{12}{y+3x}=\frac{2}{\sqrt{x}}\\ 1+\frac{12}{y+3x}= \frac{6}{\sqrt{y}} \end{matrix}\right.$

Trừ vế với vế , cộng vế với vế ta được hệ sau

$\left\{\begin{matrix} 2=\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{6}{\sqrt{y}}\\ \frac{-24}{y+3x}= \frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{6}{\sqrt{y}} \end{matrix}\right.$

Tiếp tục nhân vế với vế của pt trên ta được

$\frac{-48}{y+3x}= \frac{4}{x}-\frac{36}{y}$

Đến đây quy đồng tìm ra quan hệ giữa x,y là xong!

 Bạn nên chỉnh lại tiêu đề cho phù hợp

Dễ thấy $\lozenge AHDE$ nội tiếp$\Rightarrow \widehat{HED}=\widehat{HAD}= \widehat{HAB}$

(2 góc nt cùng chắn 1 cung, $\bigtriangleup BHD$ cân)

$\bigtriangleup DEC$ vuông tại E, M là trung điểm cạnh huyền DC$\Rightarrow DM=ME\Rightarrow \Rightarrow \widehat{DEM}=\widehat{MDE}=\widehat{HAE}$

(Tính chất tứ giác nội tiếp)

 Ta có $\widehat{HEM}= \widehat{HED}+\widehat{DEM}=\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=90$

ĐPCM