Khoa Linh

 

 

b/ Chứng minh rằng nếu a và a² + 2 là số nguyên tố thì a³ + 4 cũng là số nguyên tố. (1,5 điểm)

 

 

Do $a,a^2+2$ là số nguyên tố nên $a=3$ (xét mod $3$). Do đó $a^3+4=31$ là số NT. 

Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn : $a+b+c=ab+bc+ca$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^{2}}\leq 3$

Ta phân tích như sau 

Vế trái của BĐT có bậc là -1 (do tử bậc 1, mẫu bậc 2), mà vế trái là $3$. 

Để ý giả thiết là $a+b+c=ab+bc+ca$ nên ta viết lại BĐT thành 

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2} \leq 3(a+b+c)$

Thật vậy, ta có:

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2}=\sum \left ( \frac{(a+b)^2c}{a^2+b^2}+\frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \right )\leq \sum \left ( 2c+\frac{a+b}{2} \right )=3(a+b+c)$

Cho $\triangle ABC$ cân tại $A$ có $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp. Một điểm $D$ di chuyển trên $(O)$ sao cho $AD$ không là đường kính của $(O)$. Điểm $E$ nằm trên $BC$ sao cho $\widehat{ADE}=90^o$. Trung trực của $DE$ lần lượt cắt $AB, AC$ tại $X, Y$. Tìm quỹ tích của trọng tâm $\triangle AXY$ khi $D$ di chuyển.

Kẻ đường kính $AD'$ của $(O)$, khi đó $D,D',E$ thẳng hàng. 

Lấy  $Y'$ trên $AC$ sao cho $Y'E=Y'C$, do tam giác $ABC$ cân nên $YE||AB$. 

Ta có $\angle EDC=\angle D'AC=\frac{1}{2} \angle EY'C$ suy ra $Y'$ là tâm $(DEC)$ nên $Y' $ trùng $ Y$ và ta có $YE=YC$.

Tương tự $XE=XB$. Suy ra $AXEY$ là hình bình hành nên $A,G,E$ thẳng hàng, hơn nữa $AE=3AG$.

$D$ di chuyển trên $(O)$, $E$ di chuyển trên $BC$ thì $G$ sẽ di chuyển trên đường thẳng song song với $BC$. (dùng phép vị tự tỉ số $\frac{1}{3}$ hoặc làm theo cách cấp 2 cũng được). 

   Untitled.png   28.5K   51 Số lần tải

Gọi $L$ là giao điểm của $CH$ và $DK$. 

Ta có $\angle CBD=\angle CBA+\angle DBA=\angle LCA+\angle LDA=180^{\circ}-\angle CLD$ hay $B \in (LCD)$.

Gọi $X$ là giao điểm của $HK$ với $CD$, theo đường thẳng Simson thì  ta có $BX \perp CD$. 

Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $J$ là điểm bất kì trên cung $BD$ không chứa $A$ của $(O_2)$.

Ta có: 

$\angle KXD=\angle KBD=90^{\circ}-\angle KDB=90^{\circ}-\angle DJB=90^{\circ}-\angle XAB=\angle XBA=\angle MXB$. 

Suy ra $\angle MXK=\angle AXB=90^{\circ}$, hay ta có $HK$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ cố định (đpcm).

P/S: Mình đã rất bực khi gõ bài này, vừa gõ tử tế xong thì diễn đàn sập tuy vậy mình vẫn gõ lại bởi vì cái tên Sugar vẫn luôn đặc biệt với  mình. Mong bạn hiểu bài giải này.

cho $a_{2},a_{3},..,a_{n}$ là n -1 số thực dương.Chứng minh $(1+a_{2})^2.(1+a_{3})^3...(1+a_{n})^n$ lớn hơn $n^n$ với  $a_{2}.a_{3}...a_{n}=1$

Bài này là bài IMO 2012

Tham khảo tại đây: https://artofproblem...h488342p2736375

Còn đây là lời giải mình copy lại cho nhanh: