DinhXuanHung CQB

coi như D',E',F' lần lượt thuộc AH,BH,CH ( trong đó H là trực tâm của tam giác ABC). 
Trước hết ta sẽ c/m : D',E',F' là trung điểm của AH,BH,CH 
Thật vậy : kéo dài BO cắt (O) tại B' => BB' là đường kính của (O), ta có: 
AB vuông góc AB' mà AB vuông góc CH => AB'//CH (1) 
CB vuông góc CB' mà CB vuông góc AH => CB'//AH (2) 
Từ (1) và (2) => AB'CH là hình bình hành => AH = CB' (3) 
Mặt khác dễ thấy OD//CB' (vì cùng vuông góc BC) => OD = CB'/2 (4) (vì D là trung điểm BC) 
Từ (3) và (4) => OD = AH/2 (5) 
Hơn nữa OD//AH ( vì cùng vuông góc BC) và DD'//OA(giả thiết) => AODD' là hình bình hành => OD = AD' (6) 
Từ (5) và (6) => AD' = AH/2 => D' là trung điểm AH 
Hoàn toàn tương tự ta cũng c/m được E' là trung điểm BH; F' là trung điểm CH 
=> D'E'//AB và D'E' = AB/2 
mà DE//AB và DE = AB/2 => DE//=D'E' =>DED'E' là hình bình hành => DD' và EE' cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đoạn 
Tương tự ta cũng có EFE'F' là hình bình hành => EE' và FF' cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đoạn 
=> DD'; E E'; FF' đồng quy tại I

Quy đồng, gọi A là biểu thức sau khi quy đồng thì P=$\frac{B}{C}$ ( C=(a-b)(a-c)(b-c) 

Dễ dàng khai triển B=$\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )$

Lại có C=$\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )$

Suy ra P=$\frac{B}{C}$=1

Thấy bài này khó mình đăng đáp án tham khảo cho các bạn nhé.

Không giảm tổng quát, giả sử c>0, d>0

Ta xét 2 TH:

1) $f\left ( a \right )<f\left ( b \right )$

Dễ chứng minh $f\left ( b \right )>\frac{c.f\left ( a \right )+d.f\left ( b \right )}{c+d}>f\left ( a \right )$

Vì f(x) liên tục trên (a;b) nên tồn tại số r thuộc (a;b) để $f\left ( r \right )=\frac{c.f\left ( a \right )+d.f\left ( b \right )}{c+d}$

=>$c.f\left ( a \right )+d.f\left ( b \right )-\left ( c+d \right ).f\left ( r \right )$

2) Tương tự

Cho f là hàm số xác định và liên tục trên $\left ( a;b \right )$ 2 số c,d bất kì thỏa mãn cd>0

$c.f\left ( a \right )+d.f\left ( b \right )-(c+d).f\left ( r \right )$=0