Napolli

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, tâm $O$. Tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho: 

a) $\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MB}.\vec{MD}=a^2$.

b) $MA^2+MB^2+MC^2=3MD^2$

Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a, (a³ + b³ + c³)(1/a + 1/b + 1/c) >= (a + b + c)²

b, 3(a³ + b³ + c³) >=(a + b + c)(a² + b² + c²)

Cho đường tròn tâm O. Hai dây AB, CD cố định và điểm P di động thuộc (O) sao cho dây BC và PD cắt dây AB theo thứ tự tại Q và R. Đường thẳng AB theo thứ tự cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác PRC và PQD tại A và B. Chứng minh E, F cố định và BE = AF

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, với AB, BC, CA lần lượt tiếp xúc với đường tròn (O) tại F, D, E. Biết EF cắt BC tại M, FD cắt AC tại N, AB cắt DE tại P. Chứng minh rằng: Ba điểm M, N, P thẳng hàng. (MNP là đường thẳng Gergonne).

  $Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC và AB. Đặt AD = d, BE = e, CF = f và m = (d+e+f)/2. Chứng minh rằng: S_ABC = 4/3 √(m(m-d)(m-e)(m-f))$