Tìm kiếm
Không khai báo
Ngày 1 (11/09/2018) Thời gian: $180$ phút
Đề bài:
Câu 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2+xy+y^2-2)=2ln\frac{y+\sqrt{y^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}\\ 3^x.2x=3^y+2y+1 \end{matrix}\right.$
Câu 2: Xét sự hội tụ của dãy số $(x_n)$ biết $x_0=2, x_{n+1}=\frac{2}{x_n}+\frac{\sqrt{3}}{x_n^2}$
Câu 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$ các hình bình hành $ABMN$ và $ACPQ$ sao cho tam giác $ABN$ đồng dạng với tam giác $CAP$. Gọi $G$ là giao điểm của $AQ$ và $BM$, $H$ là giao điểm của $AN$ và $CP$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $GMQ, HNP$ cắt nhau tại $E$ và $F$ ($E$ nằm trong đường tròn $(O)$).
a) Chứng minh rằng ba điểm $A,E,F$ thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng bốn điểm $B,C,O,E$ cùng thuộc một đường tròn.
Câu 4: Bạn Thanh viết lên bảng các số $1,2,3,...,2019$. Mỗi một bước Thanh xóa 2 số $a$ và $b$ bất kì trên bảng và viết thêm số $\frac{ab}{a+b+1}$. Chứng minh rằng dù xóa như thế nào thì sau khi thực hiện $2018$ bước trên bảng luôn còn lại số $\frac{1}{2019}$.
P/s: Đề tỉnh mình dễ quá, mà mình vẫn còn ý $b$ bài hình, huhu
Ngày 2 (12/09/2018) Thời gian $180$ phút
Đề bài:
Câu 1: Cho đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $P(a)=1,P(b)=2,P(c)=3$. Chứng minh rằng: $a+c=2b$.
Câu 2: Cho ba số thực dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức: $(\sum a)(\sum \frac{1}{a})+4\sqrt{2}.\frac{\sum ab}{\sum a^2}\geq9+4\sqrt{2}$
Câu 3: Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$, đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với các tia $AB,AD$ lần lượt tại $E$ và $F$, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại điểm $T$. Hai tiếp tuyến tại $A$ và $T$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $TE, TF$ lần lượt cắt đường tròn $(O)$ thứ tự tại các điểm $M,N$ $( M,N$ khác $T).$
a) Chứng minh rằng ba điểm $K,M,N$ thẳng hàng.
b) Đường phân giác góc $BAC$ cắt đường thẳng $MC$ tại $P$, đường thẳng $KP$ cắt đường thẳng $CN$ tại $Q$. Chứng minh rằng: Nếu $N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADQ$ thì bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác $ABC$ và $ACD$ bằng nhau.
Câu 4: Với số $n$ nguyên dương đặt $f(n)$ là số ước nguyên dương của $n$. Xét tập hợp $G=\left \{ n\in \mathbb{N}^*: f(m)<f(n), \forall m\in \mathbb{N},0<m<n \right \}$ và goij $p_i$ là số nguyên tố thứ $i$ $(i\in \mathbb{N}^*)$.
a) Chứng minh rằng: Nếu $n$ thuộc $G$ và $p_m$ là ước nguyên tố của $n$ thì $(p_1p_2...p_m)$ là ước của $n$.
b) Với số nguyên tố $p_m$, gọi k, M là các số nguyên dương thỏa mãn $2^k>p_m$ và $M=(p_1p_2...p_{m-1})^{2k}$. Chứng minh rằng: Nếu $n>M$ và $n$ thuộc $G$ thì $n$ chia hết cho $p_m$.
P/s; Vẫn là ý b bài hình ko làm hết
