duynguyen3004

Nikolas Bourbaki - Huyền thoại toán học
#caicachgiaoduc
Năm 1939, tập đầu tiên trong bộ sách đồ sộ "Éléments de mathématique" (Cơ sở toán học) gồm hơn 40 quyển được xuất bản. Tác giả là nhà toán học có cái tên lạ hoắc Nikolas Bourbaki. Bộ sách trình bày một cách hệ thống gần như toàn bộ các lĩnh vực của toán học hiện đại:

• Lý thuyết tập hợp
• Đại số
• Tô pô
• Lý thuyết hàm
• Lý thuyết nhóm
• Đại số Li
• Tích phân
• ....

Không ai biết Bourbaki là ai? Học ở đâu? Học hàm, học vị là gì? Làm việc ở đâu?... chỉ thấy các bộ sách cứ liên tục xuất hiện với khối lượng kiến thức khổng lồ gần như không tưởng. Các cuốn sách được viết cực kỳ khoa học, chuẩn xác, mẫu mực. Nhiều mệnh đề, khái niệm, quy luật mới được trình bày và được chứng minh chặt chẽ.
Rất nhiều khái niệm, ký hiệu, được N. Bourbaki sử dụng trở thành tiêu chuẩn cho toàn thế giới: các khái niệm về ánh xạ, ký kiệu tập hợp rỗng $\varnothing$, ký kiệu tập số tự nhiên $\mathbb{N}$, tập số nguyên $\mathbb{Z}$, tập số thực $\mathbb{R}$, ký hiệu suy ra $\Rightarrow$,...
Từ cuốn đầu tiên được xuất bản, những cuốn sách của N. Bourbaki trở thành sách gối đầu giường của bất kỳ ai theo học ngành toán ở bất cứ nơi nào trên thế giới. N. Bourbaki trở thành một bí ẩn lớn của giới khoa học nói chung & toán học nói riêng trong thế kỷ 20.
Nhiều lần người ta mời N. Bourbaki tham gia các hội nghị toán học lớn (mời công khai qua thông tin đại chúng hoặc thông báo của các tổ chức khoa học lớn). Ông đều vắng mặt vào phút cuối với những lý do vô cùng chính đáng. N. Bourbaki cũng không nhận được các danh hiệu hay giải thưởng toán học. Không ai biết ông ở đâu? Bao nhiêu tuổi? Để xét và trao giải! Thứ duy nhất rõ ràng là các công trình, các cuốn sách xuất bản với tên N. Bourbaki.
Năm 1983 cuối sách cuối cùng (lý thuyết phổ), được xuất bản. Và sau đó trong một hội nghị toán học khoảng những năm cuối 198x, người ta đã công bố "N. Bourbaki đã qua đời" và giành một phút mặc niệm.
Sau nhiều thập niên hoàn toàn bí ẩn, cuối cùng người ta cũng tìm hiểu được một phần sự thật. N. Bourbaki thực ra là một nhóm bí mật của các nhà toán học trẻ (phần lớn là người Pháp), được lập ra với mục tiêu viết lại một cách hệ thống toàn bộ cơ sở toán học hiện đại (thế kỷ 20).
Điều đặc biệt là nhóm các nhà toán học này có quy định: những ai đến tuổi 50 sẽ tự động ra khỏi nhóm và có trách nhiệm giới thiệu một người trẻ hơn tham gia. Việc này được duy trì suốt gần 50 năm, kể từ năm 1934 khi nhóm được thành lập.
Ngoài công trình đồ sộ viết chung, mỗi người vẫn có hoạt động toán học riêng của mình và vẫn viết các công trình riêng. Chính điều đó giúp cho nhóm giữ được bí mật tuyệt đối trong 2-3 chục năm đầu tiên và ngay cả bây giờ cũng còn nhiều bí ẩn chưa được tiết lộ. Người ta nói rằng GS Tạ Quang Bửu cũng từng là thành viên của nhóm N. Bourbaki.
Một kỳ tích và là một huyền thoại vô cùng thú vị trong khoa học.
P/S: có thuyết cho rằng Hồ Xuân Hương cũng là một nhóm các thày đồ! 
 
Nguồn: bài viết trên trang cá nhân của tài khoản Facebook Khuc Trung Kien
https://www.facebook...205639893171137

Q: Đơn vị ảo i giúp ta "tạo" ra một thế giới mà ở đó khi bình phương một số ta có thể nhận được kết quả âm. Nếu vậy tại sao các nhà toán học không "tạo" ra một đơn vị giúp ta chia cho 0?

A: Nick Picard, Cử nhân Ngôn Ngữ, Đại học Vitoria.

Đây là một câu hỏi tuyệt vời. Khi đặt câu hỏi này bạn đã thể hiện rằng:

1. Bạn nhận ra toán học tồn tại để phục vụ con người, và ta nên sử dụng toán theo cách phù hợp với ta nhất.

2. Bạn không ngại phải phá luật, nhưng bạn biết phá luật sẽ dẫn tới hậu quả, và bạn muốn biết hậu quả đó là gì.

Vậy tôi sẽ chỉ cho bạn hậu quả của việc phá luật.
_____________

Đầu tiên, hãy quên hết những gì bạn biết về các con số và cách mà chúng kết hợp với nhau đi. Ta sẽ quay về cấp tiểu học một chút.

Hãy bắt đầu với việc đếm số. Hữu ích lắm đấy.

1, 2, 3, 4, 5…

Tiếp theo, ta sẽ phát minh ra phép cộng. Cũng bình thường thôi.

1+2 = 3

4+4 = 8

Nếu ta có một con số không làm tăng thêm bất cứ gì thì có vẻ hay ho nhỉ. Một con số nhỏ hơn một. Tôi không muốn tạo cho bạn thành kiến gì cả, vậy nên cứ gọi số đó là ∆ đi. Ừ, tam giác. Hình tam giác đẹp mà. (Thật ra là đó là số 0, nhưng vì ta đang xây dựng lại tất cả nên tôi sẽ dùng kí hiệu.)

3+∆ = 3

5+∆ = 5

Vì ∆ không làm tăng thêm bất cứ gì nên:

∆+∆ = ∆

Được lắm. Giờ đến phép nhân.

3×3 = 9

Nhưng sẽ thú vị hơn nếu ta có một con số sao cho khi nhân số đó với bất kì số nào khác thì sẽ không có gì thay đổi cả. Và sẽ thật hợp lý nếu con số đó là 1.

3×3 = 9

3×2 = 6

3×1 = 3

Và ta sẽ hoàn thành chuỗi phép tính này:

3×∆ = ∆

Bạn có nhận thấy số ∆ và 1 có gì tương tự nhau chứ? Số ∆ không làm thay đổi gì trong phép cộng, còn số 1 không làm thay đổi gì trong phép nhân.

Vậy là mọi chuyện đều ổn thỏa cả, nhưng ta vẫn chưa thể làm được gì nhiều. Những thứ trên mới là căn bản thôi!
____________

Sẽ thế nào nếu mỗi con số đều cặp với một con số chị em khác, sao cho khi cộng hai số này với nhau ta sẽ được ∆? Tôi sẽ dùng chữ số in đậm, chẳng hạn 𝐧𝐡𝐮̛ 𝐭𝐡𝐞̂́ 𝐧𝐚̀𝐲 (thật ra ngoài đời ta gọi những số này là số âm).

3+𝟑 = ∆

1+𝟏 = ∆

Các nhà toán học gọi đây là "số đối".

Vậy sẽ thế nào nếu mỗi con số đều cặp với một con số anh em khác, sao cho khi nhân hai số này với nhau ta sẽ được 1? Tôi sẽ dùng chữ số in ngược, chẳng hạn ưɥu ếɥʇ ʎɐ̖u (người ta gọi đây là "phép chia").

3×Ɛ = 1

7×ㄥ = 1

Các nhà toán học gọi đây là "số nghịch đảo".

Vậy xong rồi! Ta đã có mọi số (âm và dương), ta có cả phép cộng, trừ, nhân, chia. Vậy ta còn muốn thêm gì khác nữa?

Tôi biết rồi. Ta muốn mọi phương trình đều phải có nghiệm. Nhưng ta đã bỏ quên mất một số thứ.

Ví dụ, phép tính sau sẽ có kết quả gì?

∆×∇=?

Giờ ta có một nghịch lý. Ta đã biết ∆ nhân với mọi số sẽ có kết quả là ∆. Ta cũng biết bất kỳ số nào nhân với phiên bản in ngược của nó sẽ bằng 1. Vậy kết quả phép tính này là ∆ hay 1?
_______________

Trong viễn cảnh trên, ta đã đặt ra những quy luật trông có vẻ đơn giản, nhưng ta lại không thể nắm chắc được chúng. Cách duy nhất để cứu vãn tình huống này là tạo ra luật mới.

Bạn đúng đấy. Ta có thể chọn luật mới đó theo ý ta. Vì ta có quyền. Vậy đây là một số luật có thể sẽ giúp được ta:

- Ta sẽ không bao giờ có thể thực hiện phép chia nữa. Vậy phép chia đã bị cấm.

- Ta loại bỏ con số 0. (Không còn tính chất "đồng nhất cộng" nữa.) (nd: số 0 có tính đồng nhất cộng - additive identity - do bất kì số nào cộng với 0 vẫn bằng chính nó.)

- Mọi số từ bây giờ đều bằng nhau.

- Sẽ không có số nghịch đảo cho số 0. (Ta không thể chia cho 0 được.)

Có lẽ sẽ còn những cách khác để giúp toán học không còn nghịch lý nữa. Nhưng tôi muốn chỉ ra rằng mọi sự hy sinh đều là đau đớn tột cùng. Ta sẽ không thể làm được những điều đơn giản như đếm và cộng nữa! Bạn có muốn mất đi số 0 chứ? Hay mất luôn khả năng đếm?

Cách đơn giản nhất để giải quyết những nghịch này là cấm phép chia cho số 0. Tôi biết mà, giải pháp này thật xấu xí, và chẳng vui vẻ gì, nhưng nó là lựa chọn tốt nhất mà ta có. Nhưng nếu bạn muốn nghịch ngợm trong một thế giới mà mọi số đều bằng nhau thì đừng để lời nói của tôi ngăn cản bạn nhé.

 

 

Người dịch: Tâm Minh.

 

Bài dịch được đăng trên trang Quora Việt Nam.

 

Nguồn bài viết gốc trên trang Quora.

Người phụ nữ từng nhận ra “cấu trúc, sự thanh lịch và vẻ đẹp của toán học” khá muộn màng, nhưng về sau các kỹ thuật toán học do bà phát triển được các nhà vật lý sử dụng trong vật lý hạt. Bà cũng được coi là người sáng lập ngành giải tích hình học hiện đại.

 

Karen Uhlenbeck năm 1969. Ảnh: opc.mfo.de 

 

Không giống những tài năng toán học khác, Karen Uhlenbeck phải lòng môn toán khá muộn. Mãi đến khi vào đại học, Uhlenbeck mới nhận ra trái tim của mình lỡ nhịp như sau này cô thú nhận vì “cấu trúc, sự thanh lịch và vẻ đẹp của toán học”. Vài năm sau, khi đi sâu vào nghiên cứu, người phụ nữ trẻ Uhlenbeck nhận ra còn một điều nữa hết sức phù hợp với cô: làm toán là một nghề cô có thể làm trong đơn độc.

“Tôi coi bất cứ nghề nghiệp nào mà phải làm chung với người khác là một nghề rất tệ” - Uhlenbeck có lần tâm sự.

Trong vật lý có một nguyên lý rất quan trọng có tên gọi “Nguyên lý hành động tối thiểu”. Nguyên lý này cho ta biết chuyển động của một hệ sẽ có quỹ đạo sao cho tất cả giá trị liên quan đến chuyển động phải được sử dụng “tối thiểu”.

Ví dụ như viên bi ở điểm A trên mặt bên của lòng máng, nếu được thả ra nó sẽ chạy tới điểm B ở mặt bên kia theo quỹ đạo là đường cong mà nó di chuyển mất ít thời gian nhất (nhanh nhất) giữa hai điểm.

Đây chính là bài toán “đoản thời” mà Johann Bernoulli đề xuất từ năm 1696. Bài toán của Bernoulli có tên là “Bài toán đoản thời”, một trong những bài toán cổ nhất và nổi tiếng nhất của một lĩnh vực toán tên là “Phép tính biến phân”. Phép tính biến phân xem xét hình dạng (của đối tượng) ở trạng thái cân bằng bền trong tương quan với các đại lượng vật lý có liên quan như năng lượng, kích thước (diện tích).

 

Karen Uhlenbeck năm 1976. Ảnh: opc.mfo.de 

Thầy giáo hướng dẫn của Uhlenbeck khi cô học sau đại học tên là Richard Palais. Palais nghiên cứu một phiên bản hiện đại hơn của bài toán biến phân đoản thời, có tên gọi “Ánh xạ điều hòa”. Khác với bài toán cổ của Bernoulli nghiên cứu quỹ đạo ngắn nhất của chất điểm, bài toán của Palais nghiên cứu “hình dạng” ngắn nhất.

Ví dụ như hình dạng của một màng co dãn được bọc sao cho kín lên một vật thể ba chiều có hình dáng phức tạp, như bọc quanh mặt bên trong của một cái doughnut. Giữa nhiều biến thể (ánh xạ) của tấm màng co dãn lên bề mặt cái bánh, cái màng ấy phải co kéo tối ưu sao cho không để hở mặt bánh, đồng thời phải ở trạng thái cân bằng bền, tức là không tồn tại một trạng thái khác có năng lượng co dãn tiềm năng thấp hơn (năng lượng tối thiểu này được gọi là năng lượng Dirichlet).

 

Nghiên cứu của Palais dừng lại với thành công ở không gian một chiều. Khi phát triển lên các chiều cao hơn, đặc biệt là ở các không gian nhiều hơn ba chiều, tức là các không gian trừu tượng, khá xa lạ với nhận thức và trải nghiệm không gian thông thường, việc tìm ra nghiệm đơn của bài toán cực kỳ nan giải. Đúng lúc này, ông có nghiên cứu sinh là cô Uhlenbeck.

 

Karen Uhlenbeck và K. Grove năm 1976. Ảnh: opc.mfo.de 

Palais khuyên Uhlenbeck nhảy vào địa hạt mới mẻ và khó được gọi tên này. Địa hạt ấy nằm giữa tam giác hình học, tôpô và giải tích. Uhlenbeck sau này kể lại lúc nhảy vào địa hạt mới mẻ ấy, cô có cảm giác mình như từ boong tàu nhảy xuống vùng nước vô định. Lúc này cô mới ở độ tuổi hai mươi.

Trong những năm 1970, Uhlenbeck lúc này đã là giáo sư toán và ở tuổi U40 (cô sinh năm 1942) có những bước đột phá, đầu tiên là với hình dạng của mặt hai chiều trong không gian ba chiều. Nó giống như một bong bóng xà phòng hình thành từ một màng co dãn rất mỏng. Nó phải tối ưu hóa năng lượng (sức căng mặt ngoài), tối ưu hóa diện tích (diện tích bề mặt bé nhất nhưng bao phủ được không gian lớn nhất, tức hình cầu). Khi các bong bóng va vào nhau, chúng nhập thành một hình dạng khác phức tạp hơn nhưng vẫn tiếp tục giữ cho mình “tối ưu nhất”.

Công trình của Uhlenbeck được cho là xứng đáng nhận giải Fields danh giá, chẳng qua nó quá hẹp nên đến lúc giá trị của nó lan tỏa và được nhìn nhận thì Uhlenbeck đã quá tuổi 40. Đánh giá này không phải là không có cơ sở, nhà toán học Simon Donaldson nhận giải Fields năm 1986 cho công trình dựa trên Uhlenbeck. Đến nay, giải Fields mới trao cho nhà toán học nữ duy nhất là Maryam Mirzakhani - người Iran, mới qua đời năm 2017 ở tuổi 40 vì bệnh nan y.

 

Karen Uhlenbeck năm 1982. Ảnh: opc.mfo.de 

Trong những năm 1980, Uhlenbeck đi xa hơn với các bong bóng màng mỏng của mình, nhưng trong không gian trừu tượng n chiều.

Các kỹ thuật toán học do Uhlenbeck phát triển được các nhà vật lý sử dụng trong vật lý hạt. Bản thân Uhlenbeck cuối những năm 1980 chuyển sang nghiên cứu lý thuyết trường chuẩn (gauge theory), một lý thuyết được ưa thích trong lý thuyết trường lượng tử (quantum field theory). Vì các kỹ thuật mang tính cách mạng trong ngành giải tích hình học của Uhlenbeck có ý nghĩa vật lý như vậy, nên phát kiến của bà được gọi đùa là “bước nhảy lượng tử”. Uhlenbeck cũng được coi là người sáng lập ngành giải tích hình học hiện đại.

Năm 1990, Uhlenbeck bước lên đỉnh cao chuyên môn khi được mời phát biểu ở Đại hội toán học thế giới, tổ chức bốn năm một lần và là nơi trao giải toán học danh giá - giải Fields. Uhlenbeck là người phụ nữ thứ hai có vinh dự này. Trước bà 58 năm, tức năm 1932, nhà toán học nữ đầu tiên phát biểu tại đại hội là Emmy Noether. Có một chút khác biệt với Uhlenbeck - người được tự do theo đuổi lĩnh vực mình yêu thích, cả đời Noether sống trong sự cản trở và kỳ thị của các giáo sư nam giới, từ lúc học toán ở đại học đến khi làm giáo sư và sau này khi Hitler lên nắm quyền. Bất chấp mọi kỳ thị và ngăn cản, Noether vẫn có nhiều đóng góp cho toán học và vật lý. Định lý Noether có nhiều ứng dụng trong vật lý hạt và được coi là một trong những định lý đẹp nhất của tự nhiên.

 

Karen Uhlenbeck vừa nhận giải Abel.

Cho đến nay, 19 nhà toán học đoạt giải Abel, Nobel của toán học, đều là nam và đều là những tên tuổi lớn: Robert Langlands, Andrew J. Wiles, John F. Nash.Đầu năm nay, ở tuổi 76, Uhlenbeck được trao giải thưởng Abel. Đây là giải toán học tương đối mới, mới 17 năm tuổi. Giải này được xây dựng với cơ chế bình chọn và giá trị giải thưởng tương đương giải Nobel, nó cũng mang ý nghĩa giống giải sự nghiệp trọn đời 
 của Oscar.

Giáo sư Karen Uhlenbeck là nhà toán học nữ đầu tiên nhận giải Abel và có lẽ sẽ không phải là người cuối cùng. Bởi phụ nữ ngày nay tham gia và dẫn đầu rất nhiều lĩnh vực quan trọng trong xã hội loài người, không chỉ kinh doanh, y tế, giáo dục mà cả thiên văn, vật lý và toán học. Với những cô gái trẻ, có thể họ không biết những tài năng quá vãng như Emmy Noether, nhưng những tên tuổi đương đại như Karen Uhlenbeck sẽ là những tấm gương dễ thấy.

 

Tác giả: Nguyễn Phương Văn.

Nguồn: https://cuoituan.tuo...oc/1494825.html

Một câu hỏi được đặt trên trang Quora với tiêu đề: Tôi muốn học toán lại từ đầu. Vậy đâu là các tốt nhất?

Trả lời bởi David Joyce:

Tùy vào kiến thức nền của bạn. Nếu như bạn chưa biết gì về đại số (algebra), bạn nên bắt đầu với nó. Kiến thức về đại số là rất cần thiết trong mọi lĩnh vực của toán học.

Sau đại số, toán học bắt đầu phân nhánh, nhưng bản thân mỗi nhánh lại tiếp tục liên kết với các nhánh khác. Không có một thứ tự cụ thể nào để cho bạn dựa theo, nhưng bạn sẽ học những kiến thức mới dựa trên một vài thứ. Sau đây là một vài hướng để bạn có thể học theo:

• Hình học (geometry): Trong khi nghiên cứu về đại số có thể bạn sẽ bắt gặp một vài thứ như hình học giải tích (analytic geometry), lượng giác (trigonometry), và một số thứ từ hình học phẳng (plane geometry) như tam giác (triangles) và định lí Pythagoras (Pythagorean theorem).
• Toán học rời rạc và tổ hợp (Discrete mathematics and combinatorics): Bắt đầu với những lý thuyết cơ bản về đếm (counting), tổ hợp (combinations) và chỉnh hợp (permutations). Có vô vàn kiến thức trong hướng này, nhưng kiến thức cơ bản của nó thì hữu ích ở khắp mọi nơi.
• Logic, chứng minh và toán học hình thức (Logic, proofs and formal mathematics): Muốn đi tiếp trên con đường toán học bạn phải học qua logic. Đã có rất nhiều người học về nó. Nó được xem là chìa khóa của toán học. Các nhà toán học về hình thức sử dụng các định nghĩa, tiên đề, định lí và chứng minh. Có thể bắt gặp nó trong mọi lĩnh vực của toán học và nó cho thấy toán học thực thụ là như thế nào.
• Giải tích (Analysis): Bàn về tính liên tục (continous) và tốc độ thay đổi (rates of change) của các quá trình. Đặc biệt chú ý về giới hạn (limit). Giới hạn là chìa khóa để hiểu được toàn bộ kiến thức trong giải tích. Sau phần giải tích cơ bản, bạn sẽ tìm hiểu về giải tích đa biến (multivariable calculus), một ít về giải tích hình thức (formal mathematical analysis), lý thuyết độ đo (mesure theory) và giải tích phức (complex analysis). Từ đó đưa ta đến một môn hình học nâng cao gọi là hình học vi phân (differential geometry).
• Xác suất thống kê (Probability and statistics): Kiến thức cơ bản về xác suất (probability) có thể tìm hiểu mà chỉ cần dựa vào một chút hiểu biết về các kí hiệu đại số và kiến thức tổ hợp cơ bản. Tuy nhiên, bạn phải học về giải tích thì mới có thể học về phân phối liên tục (continuous distributions), nó rất quan trọng. Tương tự, để học thống kê (statistics), cụ thể là về giải tích hồi quy (regression analysis), bạn phải biết về đại số tuyến tính (xem bên dưới). 
• Đại số tuyến tính và đại số hiện đại (Linear algebra and modern algebra): Môn đại số chuyên nghiên cứu về các ký hiệu toán học được đề cập ở phần đầu là đại số của thể kỷ XVI. Tính đến nay đại số đã có bốn thế kỷ để phát triển. Đại số tuyến tính (linear algebra) nghiên cứu về các chiều không gian rất hữu ích cho giải tích đa biến và thống kê. Đại số hiện đại (modern algebra) hay đại số trừu tượng (abstract algebra) nghiên cứu về các khái niệm nhóm (groups), vành (rings), trường (fields) và các cấu trúc đại số khác. Các khái niệm này cũng được sử dụng trong giải tích nâng cao, hình học và lý thuyết số (xem bên dưới).
• Lý thuyết số và hình học đại số (Number theory and algebraic geometry): Bạn có thể bắt đầu học lý thuyết số (number theory) cơ bản bất kì khi nào. Tuy nhiên nó sẽ trở nên phức tạp một cách nhanh chóng. Bạn cũng có thể học và sử dụng lý thuyết nhóm (group theory) trong khi đang học lý thuyết số. Nó sẽ dẫn bạn đến một vài khái niệm trong đại số hiện đại. Hình học đại số (algebraic geometry) nghiên cứu về các đường cong và các chiều không gian trong các phương trình đa thức. Ngoài ra còn có hình học chiếu (projective geometry).
• Tô pô và tô pô đại số (Topology and algebraic topology): Tô pô (topology) là một lĩnh vực nghiên cứu về không gian và các hàm liên tục. Tô pô đại số (algebraic topology) xem xét các đặc tính của không gian tô pô bằng ngôn ngữ đại số. Đây là hai lĩnh vực rất hữu ích trong giải tích và đại số.

 

David Joyce, giáo sư ngành Toán và Khoa học máy tính tại đại học Clark.

Nguồn: https://www.quora.co.../David-Joyce-11

Người dịch: Nguyễn Lê Quang Duy.