Gọi $MH\cap (O)={G'} \Rightarrow G'\epsilon (AEHF); MH\cap EF=S'$
Ta có bổ đề quen thuộc: $ME,MF$ là tiếp tuyến của $(AEHF)$. C/m bằng biến đổi góc
Suy ra $G'FHE$ là tứ giác điều hòa $\Rightarrow (G'HS'M)=F(G'HS'M)=F(G'HEF)=-1$
Gọi $AT\cap (O)={I}$ thì $ABIC$ là tứ giác điều hòa $\Rightarrow G(AIBC)=-1$
Theo t/c trục đẳng phương: $AG,BC,EF$ đồng quy. Gọi điểm đồng quy là $J$
Ta có: $G(ADBC)=G(JDBC)=(JDBC)=-1$
Suy ra: G,I,D thẳng hàng
Do đó: $D(IAS'M)=D(G'HS'M)=(G'HS'M)=-1$
Mà $D(IATM)=B(IATM)=B(IABC)=-1$
Từ đó: $S',G,H$ thẳng hàng hay ta có $S\equiv S'$ $\Rightarrow G\equiv G'$
Ta có đpcm