Khoinguyen2007

 Ta có

$$x^4+2x^2=y^3 \Leftrightarrow (x^2+1)^2=(y+1)(y^2-y+1).$$

Đặt $d=gcd(y+1, y^2-y+1)=gcd(y+1, (y+1)(y-2)+3)=gcd(y+1, 3) \Rightarrow d|3 \Rightarrow d \in \{1, 3\}.$

Do $d|x^2+1$ mà không tồn tại $x$ để $x^2+1$ chia hết cho $3$ nên $d=1$

Từ đó ta có$\begin{cases} y+1=m^2\\ y^2-y+1=n^2 \end{cases}$

Mặt khác, ta có $y+1>0$ nên $y \ge 0$.

+) Với $y=0$, ta có $x=0$

+) Với $y>0$, ta có

$$(m^2-2)^2=(y-1)^2<y^2-y+1=n^2<(y+1)^2=m^4$$

Suy ra $n=m^2-1=y \Rightarrow y^2-y+1=y^2 \Rightarrow y=1$ (Ko thỏa mãn).

Vậy $x=0$, $y=0$ thỏa mãn phương trình

Từ giả thiết, ta có

+) $\left ( x+\dfrac{2}{x} \right )^2-2=x^2+\dfrac{4}{x^2}+2 \in \mathbb{Q}$

+) $x^3-\dfrac{8}{x^3} \in \mathbb{Q}$

Lại có $x^3-\dfrac{8}{x^3}=\left ( x-\dfrac{2}{x} \right )\left ( x^2+\dfrac{4}{x^2} +2\right ) \in \mathbb{Q}$.

Mà $x^3-\dfrac{8}{x^3} \in \mathbb{Q}$,  $\left ( x^2+\dfrac{4}{x^2} +2\right ) \in \mathbb{Q}$ nên $x-\dfrac{2}{x} \in \mathbb{Q}$

Từ đó ta có $x-\dfrac{2}{x}  + x+\dfrac{2}{x} = 2x \in \mathbb{Q}$, suy ra $x\in \mathbb{Q}$.

Tìm tất cả các số nguyên tố $p, q$ thỏa mãn $\dfrac{2^{p-1}-1}{q}$ là số chính phương.

Cho bốn số thực không âm $a, b, c, d$ thỏa mãn $a+b+c+d=3$. Chứng minh rằng

$$a+ab+abc+abcd \leqslant 4.$$

Bài 121:tìm các cặp số nguyên tố (p,q) sao cho $p^2-q^2-1$ là số chính phương

Bài 120: tìm bộ ba số nguyên tố (p;q;r) sao cho pqr=p+q+r+200