pkh2705

$\boxed{152}$: Cho số tự nhiên $n>3$ và $p|n$. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số nguyên dương $N$, $1<n<2^n$ sao cho $(1+2^p+2^{n-p})N$ chia $2^n$ dư 1.

$\boxed{149}$ : Cho số nguyên dương n thỏa mãn: $(n,n+1)<(n,n+2)<(n,n+3)<...<(n,n+99)$

a, So sánh $(n,n+99)$ và $(n,n+100)$

b, Chỉ ra các quan hệ so sánh có thể có giữa $(n,n+100)$ và $(n,n+101)$

Ta có:
$n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)\vdots p,$, mà $p-1\vdots n\Rightarrow p-1\geq n \Rightarrow p> n-1$

nên $n^2+n+1\vdots p$

Đặt $p-1=nk(k\in \mathbb{N})\Rightarrow p=nk+1$,

suy ra $n^2+n+1\vdots nk+1\Rightarrow n^2+n+1\geq nk+1\Rightarrow n(n+1)\geq nk\Rightarrow n+1\geq k$

Lại có $n^2+n+1\vdots nk+1\Rightarrow k(n^2+n+1)-n(nk+1)\vdots nk+1\Rightarrow nk+k-n\vdots kn-1\Rightarrow (k-1)n+k\vdots nk+1\Rightarrow (k-1)n+k\geq nk+1\Rightarrow k\geq n+1$

Do đó $k=n+1$, suy ra $p=n^2+n+1$

Vậy $n+p=(n+1)^2$ là số chính phương

Vì sao AH = 2OM ạ?

Nó là một kết quả quen thuộc mà bác, em gợi ý chứng minh là : lấy trung điểm của CH và AC

Dựng $O'$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$, $M$ là trung điểm $BC$

Có kết quả quen thuộc $OA$ vuông góc với $EF$; $AH=2OM$ nên $AH=OO'$ và $AH//OO'$

Do đó tứ giác $AHO'O$ là hình bình hành, suy ra $OA//O'H$. Do đó $O'H$ vuông góc với $EF$
Vậy đường thẳng qua $H$ vuông góc với $EF$ đi qua điểm cố định
 

$\boxed{148}$: Tìm tất cả các số nguyên không âm $p,q,r$ sao cho $p^3-q^3=r!-18$

$\boxed{147}$: Tìm các số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$

Bài 145 

cho 2 số nguyên dương m,n và$k =\frac{(m+n)^2}{4(m-n)^2+4}$ là số nguyên  chứng minh k là số chính phương 

Hình như dưới mẫu phải là $4m(m-n)^2+4$ thì phải, bài này đề gốc là P1-Turkey MO 2015

$\boxed{145}$: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn
$x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2$
 

143: Tìm tất cả các số nguyên tố ( q + p )^p = ( q - p)^2q-1

Dễ thấy $2q-1>p$, suy ra:$(p+q)^p=(q-p)^{2q-1}\Rightarrow (p+q)^p \vdots (q-p)^p\Rightarrow \left ( \frac{p+q}{q-p} \right )^p \in \mathbb{N}$

$\Rightarrow p+q\vdots q-p\Rightarrow 2q\vdots q-p$
Mà $(p,q)=1 \rightarrow (q,q-p)=1$ nên $q-p\in \left \{ 1;2 \right \}$.
Dễ thấy $q-p=1$ không thỏa mãn nên $q-p=2 \rightarrow q=p+2$

Thay vào đẳng thức đề bài ta được $(p+1)^p=2^{p+3}\Rightarrow \left ( \frac{p+1}{2} \right )^p=8\Rightarrow p=3$
Suy ra $q=5$ (Thỏa mãn)

$\boxed{141}$: Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(x;y;p)$ với $p$ là số nguyên tố và $x\neq y$ sao cho:

$x^4-y^4=p(x^3-y^3)$

$\boxed{139}$: Tìm các số nguyên dương $(x;y)$ sao cho $2^x+5^y+2$ là số chính phương

$\boxed{138}$: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho $3^p+5^p-1$ là số nguyên tố

$\boxed{137}$: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn $x^{5}+2=3.101^{y}$

b, Giả sử $(m+3n)(5m+7n)$ là số chính phương, từ phần a ta có $m+3n$ và $5m+7n$ nguyên tố cùng nhau nên $m+3n$ và $5m+7n$ đều là số chính phương
Đặt $m+3n=p^2$,$5m+7n=q^2$$(p,q\in \mathbb{N})$
Dễ thấy $p^2,q^2$ là các số chính phương lẻ nên $m+3n\equiv 5m+7n\equiv 1(mod8)$

$\Rightarrow 4(m+n)\vdots 8\Rightarrow m+n\vdots 2\Rightarrow m-n\vdots 2$ (mâu thuẫn)