H91.png 108.52K
0 Số lần tải
Gọi $O'$ là tâm ngoại tiếp của $\triangle BHC$, $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $H$.
Vì $(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})\equiv 2(\overline{AB};\overline{AC})\equiv 2(\overline{HC},\overline{HB})\equiv (\overrightarrow{O'C};\overrightarrow{O'B})(\text{mod}\,\, 2\pi)$ và $OB=OC,O'B=O'C$ nên $\triangle OBC$ và $\triangle O'BC$ bằng nhau ngược hướng.
Suy ra $O,O'$ đối xứng nhau qua $BC$. Từ đó $\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{HD}$ nên tứ giác $HDO'O$ là một hình bình hành, suy ra $DO'\parallel OH$ hay $DO'\perp AK$. Lại do $K\in (AD)$ nên $KD\perp AK$, kéo theo $KO'\perp AK$.
Biến đổi góc định hướng: \[(EO',EB)\equiv (EC,EO')\equiv (CA,CB)+(CB,EO')\equiv (KA,KB)+\frac{\pi}{2}\equiv (KA,KB)+(KO',KA)\equiv (KO',KB) (\text{mod}\,\,\pi)\]
Suy ra $O'$ nằm trên đường tròn $(BKE)$. Tương tự thì $O'$ cũng nằm trên $(CKF)$.
Do đó $(\overrightarrow{IB},\overrightarrow{IE})\equiv 2(O'B,O'E)\equiv 2(O'F,O'C)\equiv (\overrightarrow{JF},\overrightarrow{JC}) (\text{mod}\,\, 2\pi)$, kết hợp $IB=IE,JF=JC$ suy ra $\triangle IBE$ và $\triangle JFC$ đồng dạng cùng hướng.
Khi đó tỉ số $\frac{BI}{CJ}=\frac{BE}{CF}=\frac{CE}{BF}=\frac{\frac{BC}{2\cos{C}}}{\frac{BC}{2\cos{B}}}=\frac{\cos{B}}{\cos{C}}=\frac{\sin{\angle HCB}}{\sin{\angle HBC}}=\frac{BH}{CH}$.
Đồng thời, ta có biến đổi góc:
$(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BI})\equiv (\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BE})+(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BI})$
$\equiv (\overrightarrow{BH},\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BE})+(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BI})$
$\equiv (\overrightarrow{BH},\overrightarrow{CH})+(\overrightarrow{CH},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{BE},\overrightarrow{BI})$
$\equiv (\overrightarrow{CH},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CF},\overrightarrow{CJ})$
$\equiv (\overrightarrow{CH},\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CF})+(\overrightarrow{CF},\overrightarrow{CJ})\equiv(\overrightarrow{CH},\overrightarrow{CJ}) (\text{mod}\,\, 2\pi)$
Do vậy $\triangle HIB$ và $\triangle HJC$ đồng dạng cùng hướng, vậy phép vị tự quay $H_{\frac{HB}{HI}}\circ R_{\left(H,(\overrightarrow{HI},\overrightarrow{HB})\right)}: \triangle IHJ\mapsto\triangle BHC$ hay $\triangle IHJ\sim\triangle BHC$.
Ta cũng có $H_{\frac{HB}{HI}}\circ R_{\left(H,(\overrightarrow{HI},\overrightarrow{HB})\right)}: L\mapsto O'$ với $L,O'$ tương ứng là tâm ngoại tiếp của $\triangle IHJ,\triangle BHC$. Suy ra $(\overrightarrow{O'L},\overrightarrow{O'H})\equiv (\overrightarrow{BI},\overrightarrow{BH}) (\text{mode}\,\, 2\pi)$ hay $(O'L,O'H)\equiv (BI,BH) (\text{mod}\,\,\pi)$.
Từ đó $(O'L,BC)\equiv (O'L,O'H)+(O'H,BC)\equiv (BI,BH)+(AO,BC)$
$\equiv (BC,BH)+(CB,CA)+(KB,KE)-\frac{\pi}{2}+(AO,AC)+(AC,BC)$
$\equiv (BC,BH)-\frac{\pi}{2}+(AO,AC)+(O'B,O'E)$
$\equiv (BC,BH)-\frac{\pi}{2}+(CA,CO)+\frac{\pi}{2}+(CO,BC)$
$\equiv (BC,BH)+(CA,BC)\equiv (BC,CA)+(CA,BC)+(CA,BH)\equiv \frac{\pi}{2} (\text{mod}\,\,\pi)$.
Vậy $O'L\perp BC$ hay $L$ nằm trên trung trực của $BC$. $\square$
- Hahahahahahahaha yêu thích