dat09

$\textbf{Sưu tầm:}$ Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC>AB>\frac{AC}{2}$. Gọi $M,N,D$ lần lượt là trung điểm của $BC,AC$ và chân đường phân giác trong của $\angle BAC$ trên cạnh $BC$. Vẽ đường thẳng $d$ đi qua $C$, cắt $BN,BA$ lần lượt tại $I,K$ sao cho tam giác $IBK$ cân tại $K$. Lấy điểm $L$ trên đoạn $CK$ sao cho $CL=CA$. Gọi $MK$ cắt $LD$ tại $H$, $CH$ cắt $MN$ tại $E$. Chứng minh rằng $\angle EIN=45^{\circ}$.

 H44.png   39.4K   1 Số lần tải

$\textbf{Sáng tác.}$ Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Gọi $I$ là một điểm trên đoạn $AB$ sao cho $IA>IB$. Tia $OI$ cắt đường tròn $(AOB)$ tại $E$. Lấy điểm $F$ trên đường tròn $(AOD)$ sao cho $OF\perp OE$. Gọi đường tròn đường kính $OI$ cắt đường tròn $(AOD)$ tại $G$ $(G\ne O)$. Lấy điểm $K$ trên tia đối của tia $BD$ sao cho $BK=R.\tan{\angle AOI}$. Lấy điểm $H$ trên mặt phẳng sao cho $AH\perp OI$ và $OH\perp IK$. Gọi đường tròn đường kính $OH$ cắt đường tròn $(ECO)$ tại $J$ $(J\ne O)$. Chứng minh rằng bốn điểm $E,F,G,J$ đồng viên.

 H18.png   89.09K   0 Số lần tải

$\textbf{Sáng tác.}$ Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$ và $AD$ là đường kính của $(O)$. Lấy điểm $M$ trên đường tròn $(ADH)$ sao cho $AM$ là đường đối trung của tam giác $ADH$. Chứng minh rằng hai đường tròn $(BCM)$ và $(A;AD)$ tiếp xúc nhau tại một điểm nằm trên $(ADH)$.

 H15.2.png   51.83K   0 Số lần tải

$\textbf{Sáng tác.}$ Cho đường tròn $(O)$ có hai dây $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau tại điểm $H$, $H$ không trùng các đầu mút. Gọi $l_1, l_2, l_3, l_4$ lần lượt là trục đẳng phương của các đường tròn $(A;HA), (B;HB), (C;HC), (D;HD)$ và đường tròn $(O)$. Giả sử $XYZT$ là tứ giác lồi được tạo bởi $l_1, l_2, l_3, l_4$ và $XZ$ cắt $YT$ tại $K$. Chứng minh rằng:

(a) Tứ giác $XYZT$ là một tứ giác lưỡng tiếp.

(b) Ba điểm $H,O,K$ thẳng hàng.

 H14.png   107.65K   0 Số lần tải