Cho các số thực dương $a,\, b,\, c$. Chứng minh rằng
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant 3\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}}$$
- SUN29 yêu thích
Gửi bởi KhoiNguyen213 trong 03-01-2022 - 15:50
Cho các số thực dương $a,\, b,\, c$. Chứng minh rằng
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant 3\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}}$$
Gửi bởi KhoiNguyen213 trong 14-12-2021 - 15:57
Ta đặt $x=a+\frac{1}{b}-1,\, y=b+\frac{1}{c}-1,\, z=c+\frac{1}{a}-1.$. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
$$xy+yz+zx \geqslant 3.$$
Theo nguyên lí Dirichlet, trong các số $x-1$, $y-1$ và $z-1$ có ít nhất hai số không trái dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử $y-1$ và $z-1$ không trái dấu, ta có
$$(y-1)(z-1) \geqslant 0.$$
Ta có
$$xy+yz+zx-3=(y-1)(z-1)+(x+1)(y+z)-4.$$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
$$(x+1)(y+z) \geqslant 4.$$
sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
$$y+z=b+\frac{1}{a}+c+\frac{1}{c}-2 \geqslant b+\frac{1}{a}$$
Khi đó ta có
$$(x+1)(y+z)-4\geqslant \left ( a+\frac{1}{b} \right )\left ( b+ \frac{1}{a} \right )-4=ab+\frac{1}{ab}-2 \geqslant 0.$$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Gửi bởi KhoiNguyen213 trong 11-12-2021 - 10:32
Cho hai số thực $a,\, b$ phân biệt thỏa mãn $(3a+1)(3b+1)=3a^2b^2+1$. Chứng minh rằng
$$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})^3=a^2b^2.$$
Gửi bởi KhoiNguyen213 trong 11-12-2021 - 08:50
Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn : 3x + 29 = 2y
Một cách khác của mình
Dễ thấy $x=1 \Rightarrow y=5$. Ta xét $x \geqslant 2$ và $y \geqslant 6$.
Ta có $3^x+29 \equiv 2 \pmod{9}$. Suy ra $2^y \equiv 2 \pmod{9}$ hay $2^{y-1} \equiv 1 \pmod{9}$
Mà $2^6 \equiv 1 \pmod{9}$ suy ra $y-1$ chia hết cho $6$. Đặt $y=6k+1 (k \in \mathbb{N^*})$.
Ta có $2^y=2^{6k+1}=64^k \cdot 2 \equiv \{2, -2\} \pmod{13}.$
Ta xét trường hợp $x=3n$, $x=3n+1$ và $x=3n+2$
* Với $x=3n$, $3^x+29=3^{3n}+29=27^n+29 \equiv 4 \pmod{13}$.
* Với $x=3n+1$, $3^x+29=3\cdot 27^n +29 \equiv 6 \pmod{13}$.
* Với $x=3n+2$, $3^x+29= 9\cdot 27^n+29 \equiv -1 \pmod{13}$.
Tất cả trường hợp đều mâu thuẫn
Vậy chỉ tồn tại duy nhất cặp số nguyên dương $x=1, y=5$.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học