nmd27082001

Em xin góp một chứng minh ạ. Ở đây em sẽ coi số tự nhiên không bao gồm số $0$.
Đặt $r=ad-bc>0$, ta chứng minh tồn tại hai số tự nhiên $p,q$ thỏa mãn $aq-bp=1$ và $0<pd-qc<r$. Nếu ta chỉ ra được sự tồn tại của hai số tự nhiên trên, bài toán chỉ còn quy nạp theo $r$ là xong.

 

Thật vậy, theo Định lý Bezout, tồn tại hai số tự nhiên $u,v$ với $0<u<a,0<v<b$ thỏa mãn $av-bu=1$. 

Nếu $\dfrac{u}{v}=\dfrac{c}{d}$ thì $u=c,v=d$ và $r=1$. Trường hợp này mệnh đề hiển nhiên đúng.

 

Nếu $\dfrac{u}{v}>\dfrac{c}{d}$ thì $0<ud-vc$ và $a(ud-vc)=(bc+r)u-(bu+1)c=ru-c<ru$ nên

\[0<ud-vc<r.\]

Do đó trường hợp này ta chọn $p=u,q=c$ là xong.

 

Nếu $\dfrac{u}{v}<\dfrac{c}{d}$ hay $vc-ud>0$. Khi đó gọi $k$ là số tự nhiên duy nhất thỏa mãn

\[k-1<\dfrac{vc-ud}{r}<k.\]

Chọn $p=u+ka, q=v+kb$ thì $aq-bp=av-bu=1$ và

\[pd-qc=ud+kad-vc-kbc=kr-(vc-ad).\]

Khi đó theo cách chọn $k$ ta có $0<pd-qc<r$.

Em cảm ơn anh @nmlinh16 đã giải đáp câu hỏi của em. Sau khi xem lại các cuốn [1] thì em thấy là tác giả định nghĩa đa tạp affine $V$ bao giờ cũng có thêm là $V\subseteq \mathbb{A}^n$, điều này chính là đã chọn tọa độ cho $V$ và do đó ta có định nghĩa theo Mục I (trên Wikipedia cũng vậy :v)

Như vậy, việc ta nhúng đa tạp vào $\mathbb{C}^n$ theo em hiểu không chỉ fix một tác động của $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ mà còn xác định luôn $\mathbb{R}$-cấu trúc trên nó (theo như Mục I). Cụ thể, em viết lại ví dụ trong Bài tập 1.3.9 của [1] theo như anh Linh trình bày ở trên.

 

 Screenshot 2024-03-18 220025.png   97.59K   2 Số lần tải

 

Câu hỏi này giúp em hiểu hơn tại sao người ta lại đi từ lý thuyết cổ điển lên hiện đại trong hình học đại số, như một GS ở ĐHKHTN từng nói: "Tọa độ chỉ là thứ con người tự bịa ra" :v Nếu em có hiểu sai chỗ nào mong các anh góp ý ạ. 

 

@nmd27082001 Headache thực sự. Anh nghĩ nên đọc hình học đại số bằng schemes trước chứ đừng học hình đại số từ mấy quyển sách đó. 

Em vẫn đọc anh ơi nhưng mà lúc xuất phát thì đọc theo kiểu cổ điển cho nên lúc nào em cũng có câu hỏi là tại sao cổ điển dùng tốt vậy rồi mà phải lên hiện đại Dần dần thì thấy càng nhiều cái mà lý thuyết cổ điển có chỗ không ổn ạ (như câu hỏi này của em chẳng hạn). 

  Em viết phép toán của $H$ và $H^{\text{ab}}$ bởi lối cộng, phép toán của $G$ được viết theo lối nhân và tác động nhóm theo dấu "$\cdot$". Kí hiệu $x^{\text{ab}}$ là lớp tương đương của $x\in G$ trong $G^{\text{ab}}$.

Với mỗi $\sigma\in \mathrm{Aut}(H)$ thì $\sigma([H,H])= [H,H]$ nên $\sigma$ cảm sinh tự đẳng cấu $\tilde{\sigma}\in \mathrm{Aut}(H^{\text{ab}})$

 image_2023-06-08_150207325.png   4.07K   0 Số lần tải

Do đó tác động của $G$ trên $H$ cảm sinh một tác động trên $H^{\text{ab}}$

\[G\to \mathrm{Aut}(H)\xrightarrow{~} \mathrm{Aut}(H^{\text{ab}}).\]

  Gọi $K$ là nhóm con của $H^{\text{ab}}$ sinh bởi các phần tử $g\cdot x^{\text{ab}}-x^{\text{ab}}$ với $x\in H$ (khi đó $H^{\text{ab}}_G=H^{\text{ab}}/K$). Xét ánh xạ

\[\phi: H\rtimes G \to H^{\text{ab}}_G\times G^{\text{ab}}, (x,y)\mapsto (x^{\text{ab}}+K,y^{\text{ab}}).\]

Ta có $\phi$ là đồng cấu vì 

\[\phi((x_1,y_1).(x_2,y_2))=\left((x_1+y_1\cdot x_2)^{\text{ab}}+K,(y_1y_2)^{\text{ab}}\right)=(x_1^{\text{ab}}+y_2\cdot x_2^{\text{ab}}+K,y_1^{\text{ab}}y_2^{\text{ab}})=(x_1^{\text{ab}}+K,y_1^{\text{ab}}).(x_2^{\text{ab}}+K,y_2^{\text{ab}}).\]

Hơn nữa, ta có $\phi$ là toàn cấu. Đến đây, do $H^{\text{ab}}_G\times G$ abel nên theo tính phổ cập của abel hóa, đồng cấu

\[\psi:(H\rtimes G)^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}_G\times G^{\text{ab}}, (x,y)^{\text{ab}}\mapsto \phi(x,y)=(x^{\text{ab}}+K,y^{\text{ab}})\]

xác định và là toàn cấu. Ta sẽ chỉ ra $\mathrm{Ker } \psi=[H\rtimes G,H\rtimes G]$. Đặt $T=[H\rtimes G,H\rtimes G]$.
Trong $H\rtimes G$, ta có

\[ (1):\text{ }[(x_1,y_1),(x_2,y_2)]=(x_1,y_1)(x_2,y_2)(y_1^{-1}x_1^{-1},y_1^{-1})(y_2^{-1}x_2^{-1},y_2^{-1})\]

\[=(x_1+y_1\cdot x_2,y_1y_2)(y_1^{-1}\cdot x_1^{-1} +y_1^{-1}y_2^{-1}\cdot x_2^{-1},y_1^{-1}y_2^{-1})=(x_1+y_1\cdot x_2+[y_1,y_2]\cdot(y_2x_1^{-1}+x_2^{-1}),[y_1,y_2])\]

Từ đây ta kiểm tra được $[H\rtimes G,H\rtimes G]\subseteq\mathrm{Ker } \psi$. Chiều ngược lại, giả sử $(x,y)\in H\rtimes G$ thỏa mãn $x^{\text{ab}}+K=0$ và $y^{\text{ab}}=0$. Khi đó tồn tại

• $y_1,y_1',\cdots,y_n,y_n'\in  G$ sao cho $y=[y_1,y_1']\cdots[y_n,y_n']$.
• $g_1,g_2,\cdots,g_m\in G$ và $h_1,h_2,\cdots,h_m\in H$ sao cho $x^{\text{ab}}=(g_1\cdot h_1^{\text{ab}}-h_1^{\text{ab}})+\cdots+(g_m\cdot h_m^{\text{ab}}-h_m^{\text{ab}})=\left((g_1\cdot h_1-h_1)+\cdots+(g_m\cdot h_m-h_m)\right)^{\text{ab}}$. Do đó tồn tại $x_1,x_1',\cdots,x_k,x_k'\in H$ sao cho

\[x=(g_1\cdot h_1-h_1)+\cdots+(g_m\cdot h_m-h_m)+[x_1,x_1']+\cdots+[x_k,x_k'].\]

Nếu ta chọn $x_1=x_2=0$ trong (1), ta có \[[(0,y_1),(0,y_2)]=(0,[y_1,y_2])\in T.\] Chọn $y_2=y^{-1}, y_1=1$ và $x_1=yx,x_2=x^{-1}$ thì ta có \[[(yx,1),(x^{-1},y^{-1})]=(y\cdot x-x,1)\in T.\]

Còn nếu chọn $y_1=y_2=1$ thì

\[[(x_1,1),(x_2,1)]=([x_1,x_2],1) \in T.\]

Nhắc lại rằng trong $H\rtimes G$, ta có $(x,y)=(x,1)(1,y), (x_1x_2,1)=(x_1,1)(x_2,1), (1,y_1y_2)=(1,y_1)(1,y_2)$. Do đó 

\[(x,y)=(x,1)(1,y)=\prod\underbrace{(g_i\cdot h_i-h_i,1)}_{\in T}. \prod \underbrace{([x_i,x_i'],1)}_{\in T}.\prod \underbrace{(0,[y_i,y_i'])}_{\in T}\in T.\]

Vậy $T=[H\rtimes G,H\rtimes G]=\mathrm{Ker }\psi$ nên $(H\rtimes G)^{\text{ab}}=(H\rtimes G)/\mathrm{Ker }\psi\cong \mathrm{Im }\psi= H^{\text{ab}}_G\times G^{\text{ab}}$.

Nhận xét. Cái khó của bài toán này là làm sao để nghĩ ra được vế phải $H^{\text{ab}}_G\times G^{\text{ab}}$. Nhà em vừa mất điện nên phần này em xin phép bổ sung sau ạ
 

Em xin gửi lời giải của bài toán ạ.

 image_2023-05-02_235743989.png   11.19K   0 Số lần tải

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $E=E', k=k', l=l'$ và $f=\mathrm{id}_E$. Hơn nữa, ta cũng có thể giả sử $A\subseteq E$ và $k$ là phép nhúng.

 

Gọi  $\lambda:B\to E$ là một lớp cắt của $l:E\to B$ (tức là $l\circ\eta=\mathrm{id}_B$) thỏa mãn $\lambda(1)=1$. Khi đó tồn tại $\eta:B\times B\to A$ thỏa mãn

\[\lambda(x)\lambda(y)=\eta(x,y)\lambda(xy).\]

Ta cần tìm tất cả đồng cấu không tầm thường $g:E\to E$ sao cho biểu đồ

 image_2023-05-03_012643308.png   10.67K   0 Số lần tải

giao hoán. Điều kiện biểu đồ giao hoán cụ thể là

\[(1): \text{  } g(x)=x \text{ với mọi } x\in A,\]

và 

\[(2): \text{  } l(g(x))=l(x)  \text{ với mọi } x\in E.\]

Mỗi phần tử của $E$ được biểu diễn duy nhất dưới dạng $a\lambda(b)$ với $a\in A, b\in B$. Thay vào điều kiện (2), vế trái trở thành

\[l(a\lambda(b))=l(a)l(\lambda(b))=b,\]

và vế phải trở thành 

\[l(g(a\lambda(b)))=l(g(a)g(\lambda(b))=l(a)l(g(\lambda(b)))=l(g(\lambda(b))).\]

Do đó, điều kiện (2) tương đương với tồn tại $\gamma:B\to A$ sao cho $g(\lambda(b))=\lambda(b)\gamma(b)$. Vậy $g(a\lambda(b))=a\lambda(b)\gamma(b)$. Giờ ta sử dụng điều kiện $g$ là một đồng cấu, gọi $\tau_x$ là phép liên hợp với $x$, ta có

\[a\lambda(b)a'\lambda(b')=a\tau_{\lambda(b)}(a')\lambda(b)\lambda(b')=\underbrace{a\tau_{\lambda(b)}(a')\eta(b,b')}_{\in A}\lambda(bb'),\]

dẫn tới

\[g(a\lambda(b)a'\lambda(b'))=a\tau_{\lambda(b)}(a')\eta(b,b')\lambda(bb')\gamma(bb')=a\lambda(b)a'\lambda(b)^{-1}\lambda(b)\lambda(b')\gamma(bb')=a\lambda(b)a'\lambda(b')\gamma(bb').\]

Mặt khác, ta có

\[g(a\lambda(b)a'\lambda(b'))=a\lambda(b)\gamma(b)a'\lambda(b')\gamma(b').\]

Rút gọn, ta được đẳng thức

\[a'\lambda(b')\gamma(bb')=\gamma(b)a'\lambda(b')\gamma(b').\]

Do $A$  giao hoán nên ta có thể rút gọn

\[\gamma(bb')=\tau_{\lambda(b')}^{-1}(\gamma(b))\gamma(b').\]

 

Như vậy $\gamma\in Z^1_\theta(B,A)$ với tác động $\theta:B\to \mathrm{Aut}(A),b\mapsto \tau_{\lambda(b)}$ (không phụ thuộc vào cách chọn $\lambda$). Ngược lại, nếu $\gamma\in Z^1_\theta(B,A)$, ta chỉ cần xét 

\[g(a\lambda(b))=a\lambda(b)\gamma(b)\]

là xong. Cuối cùng, ta thấy ngay $g$ tầm thường khi và chỉ khi $\gamma$ tầm thường.
 

Tóm lại, $Z^1_{\theta}(B,A)$ là nhóm cần tìm. Cụ thể hơn, khi $Z^1_{\theta}(B,A)$ tầm thường thì đồng cấu $f$ là duy nhất.

 

Cần phải nhấn mạnh rằng ta không cần điều kiện $B$ giao hoán trong bài toán này.

Em cảm ơn các anh đã động viên, góp ý và tạo điều kiện cho em.

Kì thực khi em viết bài về mở rộng - hạn chế ideal, em muốn chia sẻ về một thứ khá hay mà em chắt lọc được từ cuốn Đại số giao hoán của Atiyah. Em không có ý định trình bày (dịch lại) toàn bộ cuốn của Atiyah mà muốn viết theo cách hiểu của em.

Hơn nữa, từ khóa K64 của em, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN không còn mở các học phần nâng cao về đại số (Đại số giao hoán, Hình học đại số, Tô pô đại số,...) nên em thấy các khóa K64 đổ đi muốn theo Đại số khá là thiệt thòi. Do đó em cũng mong muốn viết lên diễn đàn cũng để giúp đỡ một chút gì đó cho các khóa sau. Em không dám nói là những gì mình viết ra là chuẩn chỉ, nhưng chắc chắn nó có tính tham khảo.

Nếu tốt hơn nữa như comment của anh Bằng, từ những bài viết này em sẽ có cơ sở để viết những chủ đề sâu hơn. Cụ thể hơn khi em viết bài rất mong nhận được:
+ Góp ý về các lỗi sai, về cách hiểu sai và quan niệm sai,
+ Góp ý về các góc nhìn khác của vấn đề,
+ Góp ý về các chủ đề sâu sắc hơn liên quan.

Em xin chân thành cảm ơn các anh!