Tìm kiếm
Bí mật
Em viết phép toán của $H$ và $H^{\text{ab}}$ bởi lối cộng, phép toán của $G$ được viết theo lối nhân và tác động nhóm theo dấu "$\cdot$". Kí hiệu $x^{\text{ab}}$ là lớp tương đương của $x\in G$ trong $G^{\text{ab}}$.
Với mỗi $\sigma\in \mathrm{Aut}(H)$ thì $\sigma([H,H])= [H,H]$ nên $\sigma$ cảm sinh tự đẳng cấu $\tilde{\sigma}\in \mathrm{Aut}(H^{\text{ab}})$
image_2023-06-08_150207325.png 4.07K
0 Số lần tải
Do đó tác động của $G$ trên $H$ cảm sinh một tác động trên $H^{\text{ab}}$
\[G\to \mathrm{Aut}(H)\xrightarrow{~} \mathrm{Aut}(H^{\text{ab}}).\]
Gọi $K$ là nhóm con của $H^{\text{ab}}$ sinh bởi các phần tử $g\cdot x^{\text{ab}}-x^{\text{ab}}$ với $x\in H$ (khi đó $H^{\text{ab}}_G=H^{\text{ab}}/K$). Xét ánh xạ
\[\phi: H\rtimes G \to H^{\text{ab}}_G\times G^{\text{ab}}, (x,y)\mapsto (x^{\text{ab}}+K,y^{\text{ab}}).\]
Ta có $\phi$ là đồng cấu vì
\[\phi((x_1,y_1).(x_2,y_2))=\left((x_1+y_1\cdot x_2)^{\text{ab}}+K,(y_1y_2)^{\text{ab}}\right)=(x_1^{\text{ab}}+y_2\cdot x_2^{\text{ab}}+K,y_1^{\text{ab}}y_2^{\text{ab}})=(x_1^{\text{ab}}+K,y_1^{\text{ab}}).(x_2^{\text{ab}}+K,y_2^{\text{ab}}).\]
Hơn nữa, ta có $\phi$ là toàn cấu. Đến đây, do $H^{\text{ab}}_G\times G$ abel nên theo tính phổ cập của abel hóa, đồng cấu
\[\psi:(H\rtimes G)^{\text{ab}}\to H^{\text{ab}}_G\times G^{\text{ab}}, (x,y)^{\text{ab}}\mapsto \phi(x,y)=(x^{\text{ab}}+K,y^{\text{ab}})\]
xác định và là toàn cấu. Ta sẽ chỉ ra $\mathrm{Ker } \psi=[H\rtimes G,H\rtimes G]$. Đặt $T=[H\rtimes G,H\rtimes G]$.
Trong $H\rtimes G$, ta có
\[ (1):\text{ }[(x_1,y_1),(x_2,y_2)]=(x_1,y_1)(x_2,y_2)(y_1^{-1}x_1^{-1},y_1^{-1})(y_2^{-1}x_2^{-1},y_2^{-1})\]
\[=(x_1+y_1\cdot x_2,y_1y_2)(y_1^{-1}\cdot x_1^{-1} +y_1^{-1}y_2^{-1}\cdot x_2^{-1},y_1^{-1}y_2^{-1})=(x_1+y_1\cdot x_2+[y_1,y_2]\cdot(y_2x_1^{-1}+x_2^{-1}),[y_1,y_2])\]
Từ đây ta kiểm tra được $[H\rtimes G,H\rtimes G]\subseteq\mathrm{Ker } \psi$. Chiều ngược lại, giả sử $(x,y)\in H\rtimes G$ thỏa mãn $x^{\text{ab}}+K=0$ và $y^{\text{ab}}=0$. Khi đó tồn tại
- $y_1,y_1',\cdots,y_n,y_n'\in G$ sao cho $y=[y_1,y_1']\cdots[y_n,y_n']$.
- $g_1,g_2,\cdots,g_m\in G$ và $h_1,h_2,\cdots,h_m\in H$ sao cho $x^{\text{ab}}=(g_1\cdot h_1^{\text{ab}}-h_1^{\text{ab}})+\cdots+(g_m\cdot h_m^{\text{ab}}-h_m^{\text{ab}})=\left((g_1\cdot h_1-h_1)+\cdots+(g_m\cdot h_m-h_m)\right)^{\text{ab}}$. Do đó tồn tại $x_1,x_1',\cdots,x_k,x_k'\in H$ sao cho
\[x=(g_1\cdot h_1-h_1)+\cdots+(g_m\cdot h_m-h_m)+[x_1,x_1']+\cdots+[x_k,x_k'].\]
Nếu ta chọn $x_1=x_2=0$ trong (1), ta có \[[(0,y_1),(0,y_2)]=(0,[y_1,y_2])\in T.\] Chọn $y_2=y^{-1}, y_1=1$ và $x_1=yx,x_2=x^{-1}$ thì ta có \[[(yx,1),(x^{-1},y^{-1})]=(y\cdot x-x,1)\in T.\]
Còn nếu chọn $y_1=y_2=1$ thì
\[[(x_1,1),(x_2,1)]=([x_1,x_2],1) \in T.\]
Nhắc lại rằng trong $H\rtimes G$, ta có $(x,y)=(x,1)(1,y), (x_1x_2,1)=(x_1,1)(x_2,1), (1,y_1y_2)=(1,y_1)(1,y_2)$. Do đó
\[(x,y)=(x,1)(1,y)=\prod\underbrace{(g_i\cdot h_i-h_i,1)}_{\in T}. \prod \underbrace{([x_i,x_i'],1)}_{\in T}.\prod \underbrace{(0,[y_i,y_i'])}_{\in T}\in T.\]
Vậy $T=[H\rtimes G,H\rtimes G]=\mathrm{Ker }\psi$ nên $(H\rtimes G)^{\text{ab}}=(H\rtimes G)/\mathrm{Ker }\psi\cong \mathrm{Im }\psi= H^{\text{ab}}_G\times G^{\text{ab}}$.
Nhận xét. Cái khó của bài toán này là làm sao để nghĩ ra được vế phải $H^{\text{ab}}_G\times G^{\text{ab}}$. Nhà em vừa mất điện nên phần này em xin phép bổ sung sau ạ 
