Đến nội dung


manh huy

Đăng ký: 04-08-2022
Offline Đăng nhập: Riêng tư
-----

Chủ đề của tôi gửi

Mệnh đề về liên hệ giữa $\dim R_{\lambda}$ và giá trị riê...

04-08-2022 - 20:57

Mệnh đề. Nếu $\lambda$ là một giá trị riêng của tự đồng cấu $ f: V \to V$ thì $\dim R_{\lambda}$ bằng bội của $\lambda$ xem như nghiệm của đa thức đặc trưng của $f$.
 

Mệnh đề nói trên e trích từ sách ĐSTT của Nguyễn Hữu Việt Hưng. Chứng minh của mệnh đề có nhiều đoạn làm em khó hiểu.

Chứng minh. Theo định nghĩa của không gian con riêng suy rộng, đồng cấu $(f-\lambda \text{id}_V)\mid_{R_\lambda}$ là lũy linh. Do đó, ta có thể chọn một cơ sở của $R_{\lambda}$ sao cho đối với cơ sở đó ma trận của $f \mid_{R_\lambda}$ có dạng chéo khối, với các đường chéo có dạng
$$\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0& \lambda& 0& ...& 0& 0\\ 0& 0& \lambda& ....& 0& 0\\ .& .& .& .& ...& .\\ 0& 0& 0& ...& \lambda& 0\\ 0& 0& 0& ...& 0& \lambda \end{pmatrix}$$
Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của $f \mid_{R_\lambda}$ là 
$$ P_{f\mid_{R_\lambda}} (X) = (\lambda-X)^{\dim R_\lambda}$$
Ta có
$$ \begin{aligned} P_f (X) &= P_{f\mid_{R_\lambda}}(X) P_{\bar{f}}(X) \\ &= (\lambda - X)^{\dim R_\lambda}P_{\bar{f}}(X) \end{aligned}$$

trong đó $\bar{f}$ là đồng cấu cảm sinh bởi $f$ trên không gian thương $V/R_\lambda)$. Vì thế, nếu gọi $s$ là bội của $\lambda$ xem như nghiệm của đa thức đặc trưng của f, thì $\dim R_\lambda \leq s$...

Cho e hỏi là sao ta lại có ma trận chéo khối của $f\mid_{R_\lambda}$ với cơ sở đã chọn dạng như vậy (hay tại sao từ f-lamda*id_V lại qua hạn chế của f trên R_lam)
Hơn nữa, tại sao lại có đẳng thức thứ nhất, sao lại là trừ X ạ, $\det(f-\lambda \text{id}_V)$ sao lại ra 1 cái hằng số trừ 1 ma trận, và nó có liên quan gì đến ma trận khối kể trên (cái tích det R_lam lần rõ là có lquan r)...

Em cảm ơn nhiều :)