mchuy

mình làm thế này đúng không!
bdt $\Leftrightarrow \sum \dfrac{(x-y)^{2}}{xy} \geq \dfrac{(x+y+z-1)( \sum(x-y)^{2}) }{3xyz} $
chuyển vế ta được
$ S_{x}(x-y)^{2}+S_{y}(y-z)^{2}+S_{z}(z-x)^{2} \geq 0$
với $S_{x}= \dfrac{2z-x-y+1}{3xyz}$
$S_{y}= \dfrac{2x-z-y+1}{3xyz}$
$S_{z}= \dfrac{2y-x-y+1}{3xyz}$
giả sử $x-y \geq y-z \geq z-x$
bdt này luôn đúng do $S_{y} \geq 0, S_{x}+S_{y} \geq0, S_{y}+S{z} \geq 0$
--------------
mình chưa dùng S.O.S nhiều lắm nên nếu sai thì bỏ qua nhé!

Kết luận cuối cùng ở đâu ra vậy bạn, hình như sai rùi bạn ơi

thanks bạn H vuong. sao chua thấy ai giải bài này vậy nhỉ? Mấy cao thủ đâu rùi giúp mình với chứ

hình như cái chỗ giản ước hai vế nó bị nhầm hay sao ấy bạn ơi?

ah xin lỗi mình tính nhầm, bài của bạn đúng rồi, cảm ơn nhiều. mà bài này nguồn gốc ở đâu mà khó thế hở bạn?

Ký hiệu $\sum a=a+b+c$,tổng quát $\sum f(x,y,z)=f(x,y,z)+f(y,z,x)+f(z,x,y)$
Bình phương bdt ta phải CM
$\sum(a+(b-c)^2)+2\sum \sqrt{a+(b-c)^2}\sqrt{b+(c-a)^2}\ge 3$
chú ý
+,$\sqrt{a+(b-c)^2}\sqrt{b+(c-a)^2}=\sqrt{a^2+a(b+c)+(b-c)^2}\sqrt{b^2+b(c+a)+(c-a)^2}\ge ab+\sqrt{ab(b+c)(c+a)}+|(b-c)(c-a)|$
+,$\sum |(a-b)(a-c)|\ge |\sum (a-b)(a-c)|=\sum a^2-\sum ab$
+,$\sqrt{ab(b+c)(c+a)}\ge \sqrt{ab}(c+\sqrt{ab})=ab+\sqrt{ab}c$
nên $\sum \sqrt{a+(b-c)^2}\sqrt{b+(c-a)^2}\ge \sum ab+\sum ab+\sum \sqrt{ab}c+\sum a^2-\sum ab=\sum ab+\sum a^2+\sqrt{abc}(\sum \sqrt{a})$
Giản ước 2 vế ta sẽ CM
$2\sum a^2+\sqrt{abc}(\sum \sqrt{a})\ge 1$ hay $\sum a^2+\sqrt{abc}(\sum \sqrt{a})\ge 2\sum ab$
chú ý theo schur với k=2 có
$\sum a^4+abc(\sum a)\ge \sum (a^3b+b^3a)\ge 2\sum a^2b^2$
thay $a=\sqrt{a},b=\sqrt{b},c=\sqrt{c}$ ta có đúng
ĐPCM

hình như cái chỗ giản ước hai vế nó bị nhầm hay sao ấy bạn ơi?