nguyenhien1212

$P(u,v)$ là phép thế $x,y$ bởi $u,v$.

Ta có:

$P(0,0):f(0)=0$.

$P\left(x,\dfrac{-1}{2}\right): f(0)=f\left(\dfrac{x}{2}\right)+f(x)f\left(\dfrac{-1}{2}\right)$. (1)

Nếu $f\left(\dfrac{-1}{2}\right)=0 \Rightarrow f(x)=0$ (vô lý)

Do đó $f\left(\dfrac{-1}{2}\right)\ne 0$

$P\left(-1,\dfrac{-1}{2}\right): f(-1)=-1$

$P(x,-1): f(-x)=-f(x) \Rightarrow f$ là hàm lẻ.

Đặt $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=t$.

Từ (1) suy ra: $f(x)=f(2x)f\left(\dfrac{1}{2}\right)\Rightarrow f(2x)=\dfrac{1}{t}f(x)$.

$P(x,1):f(3x)=(1+\dfrac{1}{t})f(x)$

$P\left(x,\dfrac{1}{2}\right): f(4x)=f(3x)+tf(2x) \Rightarrow (\dfrac{1}{t^2}-1)f(x)=f(3x)$

$\Rightarrow \dfrac{1}{t^2}-1=1+\dfrac{1}{t} \Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$.

$\Rightarrow f(2x)=2f(x).$

$\Rightarrow f(3x)=3f(x).$

$P\left(x,\dfrac{y}{x}\right): f(2y+x)=f(y+x)+f(x)f\left(\dfrac{y}{x}\right)$

$P\left(-x,\dfrac{-y}{x}\right): f(2y-x)=f(y-x)+f(x)f\left(\dfrac{y}{x}\right)$

$\Rightarrow f(2y+x)-f(y+x)=f(2y-x)-f(y-x)$ (*)

Trong $(*)$ cho $x \rightarrow 2x: 2f(x+y)-f(y+2x)=2f(y-x)-f(y-2x)$

$\Rightarrow 2f(x+y)-f(2y+x)=2f(x-y)-f(x-2y)$(**)

Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra: $f(x+y)+2f(x-2y)=3f(x-y) \Rightarrow f(x+y)+f(2x-4y)=f(3x-3y)$

$\Rightarrow f$ cộng tính.

Dễ dàng suy ra $f$ nhân tính. 

Từ đó $f(x)=x$

 

 

 

Cho $q\in(0,1)$. Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}(q^n.n)=0$

$q^n.n=\dfrac{n}{k^n}$ ($k>1$)

Áp dụng Lhopital: $\lim \dfrac{n}{k^n}=\lim \dfrac{1}{n.k^{n-1}}=0$

Cho dãy $(x_n)$ bị chặn trên và dưới đồng thời thỏa: $\left\{\begin{matrix}x_1=3,x_2=1 &  & \\ x_{n+2}+x_{n}<2x_{n+1}+\frac{1}{n^2}, \forall n=1,2,3,... &  & \\ \end{matrix}\right.$. Chứng minh dãy $(x_n)$ hội tụ.

$x_{n+2}-x_{n+1}<x_{n+1}-x_n+\dfrac{1}{n^2}<x2-x1+1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<-2+1+1-1/n<0$

Do đó $x_n$ giảm từ $n=2$ mà dãy bị chặn nên tồn tại giới hạn

Cho $(x_{n}) : \left\{\begin{matrix}x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{2} \\ x_{n+2} =\sqrt{2+2x_{n+1}-x_{n}} \end{matrix}\right.$ với $n\geq 1$

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn

Ta có: $x_3=\sqrt{2}$.

Bằng quy nạp ta có: $1<x_n<2$ với $n \geq 3$

Mặt khác: $x_3>x_2$

Ta quy nạp: $x_{n+1}>x_n$ với mọi $n \geq 2$

Thật vậy: $x_{n+2}-x_{n+1}=\dfrac{2+x_{n+1}-x_{n+1}^2+x_{n+1}-x_n}{\sqrt{2+2x_{n+1}-x_n}+x_{n+1}}>0$

Do đó: $x_{n+2}>x_{n+1}$.

Vì $x_n$ là dãy tăng và bị chặn nên $x_n$ tồn tại giới hạn.

Đặt $L=\lim x_n$. Cho $n\rightarrow \infty$: $L=\sqrt{2+L} \Rightarrow L=2$

Vậy $\lim x_n=2$

Cho dãy số {$u_{n}$} xác định bởi:$\left\{\begin{matrix} u_{n} & = & 2022\\ u_{n+1} & = &\frac{u_{n}}{n.u_{n}^{2}+1} \end{matrix}\right.$. CMR dãy {$\frac{1}{n.u_{n}}$} có giới hạn hữu hạn và tim giới hạn đó.

Đặt $b_n=nu_n$.

Ta có: $b_1=2022; b_{n+1}=\dfrac{(n+1)b_n}{b_n^2+n}$

Khi đó: $b_2<1$.

Ta có: $b_{n+1}-1=\dfrac{(1-b_n)(b_n-n)}{b_n^2+n} \Rightarrow $ theo quy nạp thì $b_n<1$ với mọi $n\geq2$

Do đó: $|b_{n+1}-1|=|b_n-1||\dfrac{b_n-n}{b_n^2+n}|<q|b_n-1|$ ($0<q<1$)

$\Rightarrow \lim b_n=1 \Rightarrow \lim\dfrac{1}{nu_n}=1$