nguyenhien1212

Cho $q\in(0,1)$. Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}(q^n.n)=0$

$q^n.n=\dfrac{n}{k^n}$ ($k>1$)

Áp dụng Lhopital: $\lim \dfrac{n}{k^n}=\lim \dfrac{1}{n.k^{n-1}}=0$

Cho dãy $(x_n)$ bị chặn trên và dưới đồng thời thỏa: $\left\{\begin{matrix}x_1=3,x_2=1 &  & \\ x_{n+2}+x_{n}<2x_{n+1}+\frac{1}{n^2}, \forall n=1,2,3,... &  & \\ \end{matrix}\right.$. Chứng minh dãy $(x_n)$ hội tụ.

$x_{n+2}-x_{n+1}<x_{n+1}-x_n+\dfrac{1}{n^2}<x2-x1+1+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<-2+1+1-1/n<0$

Do đó $x_n$ giảm từ $n=2$ mà dãy bị chặn nên tồn tại giới hạn

Cho $(x_{n}) : \left\{\begin{matrix}x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{2} \\ x_{n+2} =\sqrt{2+2x_{n+1}-x_{n}} \end{matrix}\right.$ với $n\geq 1$

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn

Ta có: $x_3=\sqrt{2}$.

Bằng quy nạp ta có: $1<x_n<2$ với $n \geq 3$

Mặt khác: $x_3>x_2$

Ta quy nạp: $x_{n+1}>x_n$ với mọi $n \geq 2$

Thật vậy: $x_{n+2}-x_{n+1}=\dfrac{2+x_{n+1}-x_{n+1}^2+x_{n+1}-x_n}{\sqrt{2+2x_{n+1}-x_n}+x_{n+1}}>0$

Do đó: $x_{n+2}>x_{n+1}$.

Vì $x_n$ là dãy tăng và bị chặn nên $x_n$ tồn tại giới hạn.

Đặt $L=\lim x_n$. Cho $n\rightarrow \infty$: $L=\sqrt{2+L} \Rightarrow L=2$

Vậy $\lim x_n=2$