HaiDangPham

Lời giải. Xét tam giác ABC và D thuộc cạnh BC, E thuộc cạnh AC sao cho $\angle BAD=70^{\circ}, \angle ACB=40^{\circ},\angle CAD=30^{\circ}, \angle EBC=10^{\circ}.$

Về phía mặt phẳng bờ BE chứa A dựng điểm F sao cho tam giác FBE đều. Kẻ FG là tia phân giác của goác BFE (G thuộc BC).

Bước 1: Chứng minh $AE=AF$ và $GB=GE$

Tam giác ABC có $\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC=100^{\circ}. $ Mà $\angle ACB=40^{\circ}$ (gt) nên $\angle ABC=40^{\circ}. $ Ta lại có $\angle EBC=10^{\circ}$ (gt) nên $\angle ABE=30^{\circ}.$ Tam giác BEF đều nên $\angle FBE=60^{\circ}. $ Do đó $\angle ABF=\angle ABE=30^{\circ}. $

Tam giác ABE và tam giác ABF có BA chung, BE=BF và $\angle ABE=\angle ABF$ nên hai tam giác bằng nhau trường hợp cạnh-góc-cạnh. Suy ra $AE=AF.$ 

Tam giác BFG và EFG có FG chung, BF=BE (vì tam giác BEF đều) và $\angle BFG=\angle EFG=30^{\circ}$ (vì FG là tia phân giác của BFE). Do đó tam giác BFG và tam giác EFG bằng nhau. Suy ra $GB=GE$. 

Bước 2: Chứng minh tam giác AEF và tam giác GEB bằng nhau

Tam giác BEC có $\angle EBC=10^{\circ}$ và $\angle ECB=40^{\circ}$ nên $\angle AEB=50^{\circ}$. Mà $\angle BEF=60^{\circ}$ (vì tam giác BEF đều) nên $\angle AEF=10^{\circ}$. Vì AE=AF nên tam giác AEF cân tại A. Do đó $\angle AEF=\angle AFE=10^{\circ}. $ Tam GEB có $GB=GE$ nên cân tại G. Mà $\angle GBE=10^{\circ}$ nên $\angle GBE=\angle GEB=10^{\circ}.$

Tam giác AEF và GEB có $AE=EB$ (vì tam giác BEF đều) bốn góc $\angle AEF, \angle AFE, \angle GBE, \angle GEB$ bằng nhau và bằng $10^{\circ}$ nên tam giác AEF bằng tam giác GEB theo trường hợp góc-cạnh-góc.

Bước 3: Chứng minh tam giác AEG đều

Vì tam giác AEF và tam giác GEB bằng nhau nên $AE=GE$. Ta lại có $\angle AEB=50^{\circ}$ và $\angle GEB=10^{\circ}$ nên $\angle AEG=60^{\circ}.$ Vậy tam giác AEG đều.

Bước 4: Chứng minh $\angle BED=30^{\circ}$.

Vì tam giác AEG đều nên $\angle GAE=60^{\circ}$. Mà $\angle EAD=30^{\circ}$ (gt) nên $\angle GAD=30^{\circ}. $

Tam giác GAD và tam giác EAD có AD chung, GA=GE (tam giác AGE đều) và $\angle GAD=\angle EAD$ nên hai tam giác bằng nhau trường hợp cạnh-góc-cạnh. Do đó $GD=GE$. Suy ra tam giác GDE cân tại D.

Ta lại có tam giác GBE cân tại G và $\angle GBE=10^{\circ}$ nên $\angle EGD=20^{\circ}$. Do đó $\angle GED=20^{\circ}. $

Vì $\angle BEG=10^{\circ}$ và $\angle GED=20^{\circ}$ nên $\angle BED=30^{\circ}. $

Vậy góc cần tìm bằng $30^{\circ}.$

Bài toán mở rộng:

3) Với Y là giao điểm MN và AC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, gọi giao điểm của DI và AM là Z. Chứng minh Z nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ba điểm Z, Y, E thẳng hàng. 

(Đây là một dự đoán mình thấy nhờ dùng Geobra, còn chưa chứng minh được!) 

Đọc một lời giải khác cảm giác  rất thú vị ^^!

Mình cũng có một cách khác để chứng minh I, B, M thẳng hàng không cần vẽ thêm điểm Q:  

Tam giác ABI cân tại I nên $\angle ABI=90^{\circ}-\frac{\angle AIB}{2}=90^{\circ}-\angle ADB$.

Ta có $\angle ABM=\angle ANM$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM). Mà $\angle ANM=90^{\circ}-\angle CDN$ (vì MN vuông góc BC). Do đó  $\angle ABM=90^{\circ}-\angle CDN$ . Ta lại có $\angle CDN=\angle ADB$ (hai góc đối đỉnh) do đó  $\angle ABM=90^{\circ}-\angle ADB$ . 

Do đó $\angle ABI=\angle ABM$. Vậy B, I, M thẳng hàng. 

Lời giải. Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC.

* Bước 1: Chứng minh $MAN$, $MBN$, $XEN$ là các góc vuông.

Vì MN là đường kính của đường tròn (O) nên $\angle MAN=\angle MBN=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Vì $\angle XBN=90^{\circ}$ suy ra B thuộc đường tròn đường kính XN (quỹ tích cung chứa góc). Mà E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác XBN nên $\angle XEN=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

* Bước 2: Chứng minh $\angle XED=180^{\circ}-\angle ABN$

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác XENB có $\angle EXD=\angle EBN$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BN). Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEBD có $\angle EDX= \angle EBA$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EA).

Do đó $\angle XED=180^{\circ}-(\angle EXD+\angle EDX)=180^{\circ}-(\angle EBN+\angle EBA)=180^{\circ}-\angle ABN$.

* Bước 3: Chứng minh F, M, N thẳng hàng.

Vì AN là tia phân giác của góc BAC nên $NB=NC$. Ta lại có $OB=OC$ nên ON là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Do đó MN vuông góc BC. Vì F đối xứng với N qua BC nên ta cũng có FN vuông góc BC. Vậy F, M, N thẳng hàng.

* Bước 4: Chứng minh $\angle DEN=\angle DNF$

Tứ giác ABNM nội tiếp nên $\angle AMN=180^{\circ}-\angle ABN$. Mà $\angle XED=180^{\circ}-\angle ABN$ (cmt) nên $\angle XED=\angle AMN$.

Vì $\angle MAN=90^{\circ}$, nên tam giác AMN vuông tại A. Do đó $\angle DNM=90^{\circ}-\angle AMN$. Hơn nữa, vì F, M, N thẳng hàng (cmt) nên $\angle DNF=\angle DNM$. Do đó $\angle DNF=90^{\circ}-\angle AMN$. Vì $\angle XEN=90^{\circ}$ (cmt) nên $\angle DEN=90^{\circ}-\angle XED$. Mà $\angle XED=\angle AMN$ nên $\angle DNF=\angle DEN$.

* Bước 5: Chứng minh DFEN là tứ giác nội tiếp

Vì F đối xứng với N qua BC nên tam giác FDN cân tại D. Do đó $\angle DFN=\angle DNF$. Mà $\angle DNF=\angle DEN$ (cmt) nên $\angle DFN=\angle DEN$. 

Hai điểm E, F thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ DN và $\angle DFN=\angle DEN$ nên DFEN là tứ giác nội tiếp (quỹ tích cung chứa góc).

Vậy điểm đối xứng của N qua BC thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác DNE (đpcm).

Bài toán mở rộng: 

1) Gọi Y là giao điểm của AC và MN. Chứng minh Y thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác XBN.

2) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Chứng minh I, B, M thẳng hàng.