William Nguyen

TH1: $2m-3 \geq 8 \Leftrightarrow m \geq \frac{11}{2}$

$A \cap B$ có đúng 5 số nguyên khi

$2 \leq 4-3m < 3 \Leftrightarrow \frac{1}{3} < m \leq \frac{2}{3}$, không thỏa điều kiện.

TH2: $4-3m <2m-3 < 8 \Leftrightarrow \frac{7}{5} <m<\frac{11}{2}$

$(2m-3)-(4-3m)=5m-7$

Khi đó $A \cap B= (4-3m;2m-3)$ có đúng 5 số nguyên thì điều kiện cần là

$4<5m-7 \leq 6 \Leftrightarrow \frac{11}{5}<m\leq \frac{13}{5}$

Với điều kiện trên, ta có $-3,8 \leq 4-3m<-2,6$ và $1,4<2m-3\leq 2,2$

$A \cap B$ có đúng 5 số nguyên khi xảy ra 1 trong 2 TH sau:

• TH1: $\left\{\begin{matrix} 4-3m<-3\\ 1<2m-3 \leq 2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \frac{7}{3}<m\leq \frac{5}{2}.$
• TH2: $\left\{\begin{matrix} -3\leq 4-3m<-2\\ 2<2m-3 \end{matrix}\right.$    (vô nghiệm)

Kết hợp điều kiện có $m \in \left(\frac{7}{3}; \frac{5}{2}\right]$ thỏa mãn đề bài.

Như vậy có 5 số lẻ nên trên bảng 3x3 phải gồm 1 cột có 3 số lẻ và 2 cột còn lại mỗi cột 1 số lẻ.

Chỗ này chính xác phải là 5 số lẻ ghi trên 1 cột và 1 hàng mới chuẩn, tuy không ảnh hưởng đến đáp số.

$12\geq 2xy+2yz+2zx+8$

chỗ này sai rồi bạn

Dưới đây là một cách giải bằng lượng giác, ngoài ra còn cách giải khác bằng hàm số.

+, có $4(b+c)=2a(b^2+c^2)\geq a(b+c)^2 \Rightarrow a(b+c)\leq 4$

$\Rightarrow (a+2)(b+c)\leq 2(b+c+2) \Rightarrow \frac{1}{a+2}\geq \frac{b+c}{2(b+c+2)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{b+c+2}$

dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases} b=c>0\\a(b^2+c^2)=2(b+c)\end{cases} \Leftrightarrow b=c=\frac{2}{a}>0$.

+, $\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}\geq \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)^2\geq \frac{8}{(b+c+2)^2}$

dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=c>0$.

+, $0<4(b+1)(c+1)\leq (b+c+2)^2 \Rightarrow \frac{1}{(b+1)(c+1)}\geq \frac{4}{(b+c+2)^2}$

dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=c>0$.

+, Từ 3 điều trên suy ra

$P \geq 8.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{b+c+2}\right)^2 + \frac{8}{(b+c+2)^2} + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{b+c+2}\right).\frac{32}{(b+c+2)^2}$

     $= f(t) = 2(1-t)^2+2t^2+4(1-t).t^2 = -4t^3+8t^2-4t+2$, với $t = \frac{2}{b+c+2}$

dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow b=c=\frac{2}{a}>0$.

   Do $b, c >0$ nên $0<t<1$

   Xét hàm số $y=f(t)=-4t^3+8t^2-4t+2, t \in (0, 1)$

có được $f(t)\geq \frac{38}{27}, \forall t \in (0, 1)$, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow t = \frac{1}{3}$

+, Vậy $min P = \frac{38}{27}$ tại $b=c=2, a=1$