William Nguyen

Chứng minh $S, I, J$ thẳng hàng bằng vector:

Đầu tiên đặt $\frac{SA}{SM}=a, \frac{SB}{SN}=b, \frac{SC}{SP}=c$

Luôn có thể phân tích:

$\overrightarrow{SI}=x.\overrightarrow{SA}+y.\overrightarrow{SB}+z.\overrightarrow{SC}$

Suy ra

$\overrightarrow{SI}=x.a\overrightarrow{SM}+y.\overrightarrow{SB}+z.\overrightarrow{SC}$

Vì $I, M, B, C$ đồng phẳng nên ta có

$ax+y+z=1$

Và hoàn toàn tương tự, suy ra $(x;y;z)$ là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} ax+y+z=1\\x+by+z=1\\x+y+cz=1\end{matrix}\right.$

Tiếp tục phân tích

$\overrightarrow{SJ}=x'.\overrightarrow{SA}+y'.\overrightarrow{SB}+z'.\overrightarrow{SC}$

Tương tự ta có $(x';y';z')$ là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x'+by'+cz'=1\\ax'+y'+cz'=1\\ax'+by'+z'=1\end{matrix}\right.$

Áp dụng phương pháp giải hệ phương trình Cramer, suy ra hai hệ trên nếu có nghiệm thì các nghiệm tương ứng tỉ lệ với nhau. Do đó hai vector $\overrightarrow{SI}, \overrightarrow{SJ}$ cùng phương tức $S, I, J$ thẳng hàng.

 

Untitle11111d.png

Vì $\frac{AM}{DN}=\frac{MB}{NC}=\frac{AB}{DC}$ nên $AD, MN, BC$ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song (theo $\text{Thales}$ đảo).

Do đó, theo $\text{Thales}$ ta có: $\frac{QK}{KP}=\frac{CN}{ND}=1$ hay $QK=KP.$

 

Lời giải rất hay và sáng tạo!

Lời giải bằng vector:

Ta có       $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$

$\Rightarrow 2.\left(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}\right)=\frac{AD}{AP}.\overrightarrow{AP}+\frac{BC}{BQ}.\overrightarrow{BQ}$

$\Rightarrow 2.\left(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}\right)=\frac{AD}{AP}.\overrightarrow{AP}+\frac{BC}{BQ}.\left(\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}\right)$

$\Rightarrow 2.\overrightarrow{AN}+\left(\frac{2BC}{BQ}-2\right).\overrightarrow{AM}-\frac{AD}{AP}.\overrightarrow{AP}-\frac{BC}{BQ}.\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}$   $(1)$

Do bốn điểm $M, N, P, Q$ đồng phẳng nên từ $(1)$ suy ra

     $2+\frac{2BC}{BQ}-2-\frac{AD}{AP}-\frac{BC}{BQ}=0 \Rightarrow \frac{AD}{AP}=\frac{BC}{BQ}=x$

Tiếp tục có $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MN}$

$\Rightarrow \frac{AD}{AP}.\overrightarrow{AP}+\frac{BC}{BQ}.\overrightarrow{BQ}=2.\frac{MN}{MK}.\overrightarrow{MK}$

$\Rightarrow x.\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MP}\right)+x.\left(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MQ}\right)=2.\frac{MN}{MK}.\overrightarrow{MK}$

$\Rightarrow x.\overrightarrow{MP}+x.\overrightarrow{MQ}=2.\frac{MN}{MK}.\overrightarrow{MK}$

Do $P, Q, K$ thẳng hàng nên $x=\frac{MN}{MK}$ suy ra $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}=2.\overrightarrow{MK}$

Ta có đpcm.

 

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1;1]$ và thỏa mãn điều kiện: 

 

$$f(x) = \sqrt{1 - x^{2}} + x^{2}f(x^{2})$$.

 

Tính $\int_{-1}^{1}f(x)dx$

 

Em chưa có lời giải cho bài này nhưng có nhận xét: hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn trên đoạn $[-1;1]$ nên $\int_{-1}^{1}f(x)dx=2.\int_{0}^{1}f(x)dx$

Đồng thời bài toán có thể yêu cầu tính tích phân $\int_{0}^{1}xf(x)dx$ mà không cần tìm công thức tường minh của $f(x)$.

Em đang thử giải 1 bài toán thì cần tìm nghiệm của phương trình này, ngoài bấm máy em không nghĩ ra cách giải nào khác. 

 

 $\frac{2x^2+3x-2}{\sqrt{5x^2+4x+8}} +\frac{x^2+x-1}{\sqrt{x^2+2x+2}} = 0$

bạn up bài toán gốc được không?