William Nguyen

Lời giải của bạn có 2 vấn đề:

 

Thứ nhất:

$\Rightarrow \sum\frac{a^2}{a^2+2bc+1}\le \sum\frac{a^2}{(a+b)(a+c)}$

 

Ở đây chưa loai trừ cặp $(0, 0, \sqrt{2})$ và các hoán vị nên phép chia là chưa chặt chẽ.

 

Thứ hai:

Dấu bằng ở trên xảy ra khi và chỉ khi

$\begin{cases} a=b+c & \\ b=c+a & \\ c=a+b & \end{cases} \Leftrightarrow a=b=c=0$

Tình cờ phát hiện thêm nhưng chưa chứng minh được: Khi $M$ thoả mãn đẳng thức $\cos\alpha=\frac{1}{2}OM\left(\frac{1}{OA}-\frac{1}{OB}\right)$ thì $MO$ là đường phân giác $\bigtriangleup MAB.$

 

Mình chứng minh ý này như sau (trong TH OA<OB, với OA=OB là bài toán gốc và OA>OB tương tự):

 

Đường thẳng qua A song song MB cắt tia MO tại C. Gọi D là trung điểm MC thì ta có $\frac{OM}{OB}=\frac{ON}{OA}$ và $OM-ON=2OD$.

 

      $\cos\alpha=\frac{1}{2}OM\left(\frac{1}{OA}-\frac{1}{OB}\right)$

$\Leftrightarrow \cos\alpha=\frac{1}{2}.\left(\frac{OM}{OA}-\frac{ON}{OA} \right)$

$\Leftrightarrow \cos\alpha=\frac{OD}{OA}$

$\Leftrightarrow AD \perp MN$

$\Leftrightarrow \widehat{AMO}=\widehat{ANO}$

$\Leftrightarrow \widehat{AMO}=\widehat{BMO}$ hay $MO$ là phân giác góc $AMB$.

 Untitled.png   41.97K   0 Số lần tải

Bài toán gốc:

 

Trường hợp GTNN thì dễ rồi

 

Trường hợp GTLN, mình trình bày cách làm khác bạn leonguyen một chút:

 

Khi $M$ không trùng một trong hai giao điểm của $AB$ với đường tròn tâm $O$, áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác $ABM$:

 

$MO^2=\frac{MA^2+MB^2}{2} - \frac{AB^2}{4} \Rightarrow 4MO^2+AB^2=2(MA^2+MB^2) \geq (MA+MB)^2$

        $\Rightarrow P = MA+MB \leq \sqrt{4MO^2+AB^2}$ (không đổi)

 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $M$ là giao của đường tròn tâm $O$ với đường trung trực đoạn $AB$.

 

Bài toán mở rộng của anh perfectstrong rất thú vị nhưng em chưa nghĩ ra, chúng ta cùng tiếp tục thảo luận nào.

Xét 3 TH sau:

 

TH1: $ x \geq 0$

 

Áp dụng bđt Cauchy có:

$VP=3.\sqrt[3]{x^2.x.(x+2)} \leq x^2+2x+2$

 

Lại có

$x^2+2x+2 < 2x^2+x+3 \Leftrightarrow x^2-x+1 >0$ (luôn đúng)

 

Vậy $VT>VP$

 

TH2: $-2<x<0$

 

Có $VT>0 >VP$

 

TH3: $x \leq -2$

 

Áp dụng bđt Cauchy có:

$VP=3.\sqrt[3]{x^2.(-x).(-x-2)} \leq x^2-2x-2$

 

Lại có

$x^2-2x-2 < 2x^2+x+3 \Leftrightarrow x^2+3x+5 >0$ (luôn đúng)

 

Vậy $VT>VP$

 

Tóm lại ta có $VT>VP$ với mọi số thực x nên pt vô nghiệm.

Phân tích:

 

Định hướng tách $\frac{2024}{a+b} = \frac{m}{a+b}+\frac{n}{a+b}$ rồi dùng Cauchy và còn biểu thức $a+b$ đi tìm GTLN hoặc GTNN.

 

Với giả thiết $a^2+4b=8$ ta có:

$4.(a+b)=4a+8-a^2=12-(a-2)^2 \leq 12 \Rightarrow a+b \leq 3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2, b=1$

 

Khi đó ta sẽ có $(a+b)^2=9 \Rightarrow a+b=\frac{9}{a+b}$.

 

Như vậy có được lời giải như sau:

 

$P= (a+b)+\frac{9}{a+b}+\frac{2015}{a+b}$

 

Áp dụng bđt Cauchy, với $a, b$ không âm ta có:

$(a+b)+\frac{9}{a+b} \geq 6$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a+b=3$

 

Với giả thiết $a^2+4b=8$ và $a, b$ không âm ta có:

$4.(a+b)=4a+8-a^2=12-(a-2)^2 \leq 12 \Rightarrow a+b \leq 3 \Rightarrow \frac{2015}{a+b} \geq \frac{2015}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=2, b=1$

 

Từ đó có $min P = \frac{2033}{3}$ tại $a=2, b=1$