MinhAnhNguyen

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn $(O). O_a, O_b, O_c$ lần lượt là tâm của $(OBC), (OCA), (OAB). XYZ$ là tam giác Cevian của $O$ đối với $\Delta O_aO_bO_c. P$ là trực tâm $\Delta XYZ.$ Chứng minh $OP$ đi qua điểm Kosnita của $\Delta ABC.$  
Định nghĩa điểm Kosnita: https://vi.wikipedia...Định_lý_Kosnita

Ta đưa về mô hình tâm nội tiếp bởi vì $O_aO$ là phân giác góc $\angle O_bO_aO_c$

Đưa về bài toán sau:

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. $AI,BI,CI$ giao $BC,AC,AB$ tại $X,Y,Z$. $G$ là trực tâm của $\Delta XYZ$. $O_a,O_b,O_c$ là điểm đối xứng của $I$ qua $BC,AC,AB$. Chứng minh $IG$ đi qua điểm đồng quy của $AO_a,BO_b,CO_c$

Bổ đề: Cho $\Delta ABC$, điểm $P$ bất kỳ trong mặt phẳng. $AP,BP,CP$ giao $BC,AC,AB$ tại $D,E,F$. $Q$ bất kỳ trên mặt phẳng. $DQ,EQ,FQ$ giao $EF,FD,DE$ tại $D_1,E_1,F_1$. $PD_1,PE_1,PF_1$ giao $BC,AC,AB$ tại $A_1,B_1,C_1$. Chứng minh rằng $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy trên $PQ$

Chứng minh:

Gọi các điểm như hình vẽ

Ta có $F(PI,AJ)=F(PX,C_1B_1)=P(FX,C_1B_1)=P(FX,YZ)$

Mà $F(PI,AJ)=F(CE,AB_1)=F(EC,B_1A)=P(EF,E_1D)=E(PF,E_1D)=E(PF,YF_1)=F(PE,YF_1)=F(PX,YZ$

Nên $X,Y,Z$ thẳng hàng

Dùng Desargue cho $\Delta QEF$ và $\Delta PC_1B_1$ nên $P,Q,G$ thẳng hàng

Áp dụng định lý Pappus cho bộ $(B,C_1,F)$ và bộ $(C,B_1,E)$ nên $P,H,G$ thẳng hàng

Suy ra $H,P,Q$ thẳng hàng

DPCM

 368114034_1069878864427730_7888921593160612058_n.png   60.63K   33 Số lần tải

Quay lại bài toán

Gọi $A_1,A_2,G_x$ là giao của $AO_a,AX,XG$ và $BC,YZ,YZ$

Theo hàng điểm có $YZ$ là phân giác $\angle AG_xI$

Và $A_1A_2$ vuông góc $BC$

Nên $\angle A_2G_xA_1=\angle A_2XA_1=\angle AG_xA_2=\angle A_2G_xI$

Nên $A_1,G_x,I$ thẳng hàng

Áp dụng bổ đề có dpcm

 Screenshot 2023-10-29 022104.png   74.52K   37 Số lần tải

Lời giải:

Gọi $N$ là trung điểm $I_bI_c$

$AQ,I_bI_c$ cắt $NP,BC$ tại $M,F$

Đường thẳng qua $Q$ vuông góc với $BC$ cắt $(O),PN$ tại $D,S$

Đường thẳng qua $Q$ vuông góc với $I_bI_c$ cắt $PD$ tại $E$

Bài toàn tương đương với chứng minh $E$ thuộc $(PI_bI_c)$

Ta có $NI_b=NI_c$ nên $MP$ là đường kính của $(PI_bI_c)$

Lại có $\angle QSN=\angle AFB=\angle ABN=\angle AQN$ nên $\angle QMN=\angle DQN=\angle DPN=\angle QEP$

Nên $E$ thuộc $(PI_bI_c)$

 geogebra-export.png   32K   21 Số lần tải