Toi yeu Toan hocc

À đúng là bị ngược bạn ạ, cảm ơn bạn đã lưu ý.

dạ vâng ạ. em cảm ơn anh ạ

Vào lúc 06 Tháng 10 2023 - 15:03, Konstante đã nói:

Đấy chỉ là mẹo để khiến cho hàm $g_i(x)$ vẫn đồng nhất là $0$ trên đoạn $[0,\pi]$, nhưng tích phân cùa $g_i(x)$ trên đoạn đó lại liên quan đến duy nhất $a_i$. Do $$\int_{0}^{\pi} (\sin jx) (\sin ix) dx = \begin{cases}0 \ \text{khi} \ j = i \\ \frac{\pi}{2} \ \text{khi} \ j \neq i\end{cases}$$
Tại sao gọi nó là mẹo vì nó không liên quan mấy đến tính chất của các hàm $\sin jx$ (nó chỉ tận dụng tính chất tích phân của $(\sin jx)(\sin ix)$ trong đoạn $[0,\pi]$). Một kết luận mạnh hơn có thể chứng minh được nhờ vào Wronskian của các hàm này, khi đó ta có thể thay đoạn $[0,\pi]$ bằng một đoạn bất kỳ.

Dạ, nhưng mà cái chỗ $\int_{0}^{\pi} (\sin jx) (\sin ix) dx = \begin{cases}0 \ \text{khi} \ j = i \\ \frac{\pi}{2} \ \text{khi} \ j \neq i\end{cases}$ bị ngược hay sao ý ạ. Tại nãy em thử chứng minh thì tích phân này =0 khi i khác j và bằng pi/2 khi i=j ý ạ. Với cả anh có thể trình bày rõ ra mà không dùng cái dấu xích- ma được k ạ. Tại em không quen nhìn dấu này lắm. Em cảm ơn ạ.

Bài này nên đặt ở THPT

dạ vâng ạ, lần sau em sẽ rút kinh nghiệm. em xin lỗi ạ

Trong đại số tuyến tính, bài này chính là việc chứng minh tập $\{ \sin x, \sin 2x, \dots \sin nx \}$ là độc lập tuyến tính trong $\mathcal{C}([0,\pi], \mathbb{R})$.

 

Với $1 \leq i \leq n$, đặt $$g_i(x) = \left(\sum\limits_{j=1}^{n} a_j \sin jx\right) \sin ix$$ thế thì $g_i(x) = 0$ với mọi $x \in [0, \pi]$, do vậy $\int\limits_{0}^{\pi} g_i(x) dx = 0$. Nhưng $\int\limits_{0}^{\pi} g_i(x) dx = a_i\frac{\pi}{2}$, do vậy $a_i = 0$.

dạ, em cảm ơn ạ. em có chút thắc mắc chỗ $g_i(x) = \left(\sum\limits_{j=1}^{n} a_j \sin jx\right) \sin ix$ ý ạ. Tại sao lại có cái $sin ix$ ở ngoài ngoặc vậy ạ. Mong anh giải đáp.

em có 1 bài một góp vào, mong nhận được sự trợ giúp ạ. em cảm ơn ạ

Cho 2022 số thực $a_{1},a_{2}...,a_{2022}$. Chứng minh rằng nếu

$a_{1}sinx+a_{2}sin2x+...+a_{2022}sin2022x=0$

thì với mọi $x \in [0;\pi]$ thì $a_{1}=a_{2}=...=a_{2022}=0$