MHN

Cho các số dương $a;b;c$ thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+2}}\leq \frac{3}{2}.$$

Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC)$. Đường tròn $(O)$ đường kính $BC$ cắt $AB;AC$ tại $E;D$; $BD$ cắt $EC$ tại $H$. Các tiếp tuyến tại $B;D$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $K$; $AK$ cắt $BC$ tại $M$; $MH$ cắt $BK$ tại $N$; $DK$ cắt $AH$ tại $I$. Vẽ tiếp tuyến $AS$ của đường tròn $(O)$ ($S$ thuộc cung nhỏ $CD$).
Chứng minh rằng: a; $N;E;I$ thẳng hàng.
b; $M;H;S$ thẳng hàng.

1)Tìm $4$ số biết rằng nếu cộng tích của $3$ số bất kì với số còn lại thì kết quả đều bằng $2$.
2)Giải và biện luận phương trình sau:$\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x$ ($a$ là tham số).
P/s:2 bài này khá dễ, mọi người có thể làm thử .

Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$; từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM, AN$ và các cát tuyến $AEB, ADC$; $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$ ($B$ và $M$ cùng nằm trên một mặt phẳng bờ $AH$). Chứng minh rằng: $AH; BM; CN$ đồng quy.

Cho các số thực $a;b$ không âm thỏa mãn: $a^2+4b=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=a+b+\frac{2024}{a+b}.$$