gợi ý
để ý $gcd(n+3,4n^{2}+14n+7)=1$ nên $n+3$ và $4n^{2}+14n+7$ đều là số chính phương
=
mài nhìn cái dog gì
22-03-2025 - 21:44
gợi ý
để ý $gcd(n+3,4n^{2}+14n+7)=1$ nên $n+3$ và $4n^{2}+14n+7$ đều là số chính phương
16-03-2025 - 16:05
12-03-2025 - 18:51
BÀI TOÁN 2:
bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\sum \dfrac{a^{3}+1}{2\sqrt{(a^{4}+b+c)(ab+bc+ca)}}\geq 1$
$\bullet$ Do $abc=1$ nên ta có:
$2\sqrt{(a^{4}+b+c)(ab+bc+ca)}=2\sqrt{[a^{4}+abc(b+c)](ab+bc+ca)}$
$=2\sqrt{(a^{3}+b^{2}c+bc^{2})(a^{2}b+a^{2}c+abc)}$
$\leq (a^{2}+bc)(a+b+c)$
$\bullet$ Để ý rằng:
$a^{3}+1=a(a^{2}+bc)$
Từ hai điều trên ta có dpcm
12-03-2025 - 18:25
GTNN
Có: $(\sqrt{x^{2}+3}+\sqrt{y^{2}+3})^{2}=x^{2}+y^{2}+6+2\sqrt{x^{2}y^{2}+3(x^{2}+y^{2})+9}$
$=10-2xy+2\sqrt{x^{2}y^{2}-6xy+21}$
$= 10-2xy+\sqrt{[(3-xy)^{2}+(\sqrt{12})^{2}][1^{2}+(\sqrt{3})^{2}]}$
$\geq 10-2xy +3-xy+6=19-3xy$
Ta sẽ chứng minh: $\sqrt{19-3xy}+\sqrt{xy+3}\geq 6\quad (*)$
Thật vậy đặt $t=xy$, suy ra $0\leq t\leq 1$
$(*)$ tương đương với: $(t-1)(t+2)\leq 0$ (đúng) (bình phương hai vế, biến đổi tùm lum )
Dấu bằng: $x=y=1$
08-03-2025 - 18:22
Bài 10:
Gọi $P(x)$ là đa thức thỏa mãn bài toán
Theo định lí Vietè thì: $(-1)^{n}a_{0}.a_{1}...a_{n-1}=a_{0}$
Khi đó:
$a_{0}=0 \lor a_{1}a_{2}...a_{n-1}=\pm 1$
Với $a_{1}a_{2}...a_{n-1}=\pm 1$ thì suy ra: $a_{i}=\pm 1$ với $i=1,2,...,n-1$
Với $a_{0}=0$ thì
$P(x)=x(x^{n-1}+x^{n-2}a_{n-1}+....+a_{1})$
Tiếp tục theo định lí Viettè thì $(-1)^{n-1}a_{1}a_{2}....a_{n-1}=a_{1}$
Khi đó:
$a_{1}=0 \lor a_{2}a_{3}...a_{n-1}=\pm 1$
Cứ tiếp tục làm như vậy ta thấy rằng $P(x)$ chỉ các nghiệm $0,\pm 1$
Khi đó có thể viết $P(x)$ dưới dạng
$P(x)=x^{r}(x+1)^{p}(x-1)^{s}\qquad (r,p,s\in\mathbb{N})$
Do các hệ số của $P(x)$ chỉ là $0$ hoặc $\pm 1$ nên $p,s\in \{1;0\}$
$\bullet$ Xét TH $p=s=0, r=n$ thì $P(x)$ không có nghiệm $\pm 1$ (Loại)
...........
Cuối cùng tìm được $P(x)=x^{n-2}(x^{2}-1)$
$\square$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học