Đến nội dung

Hahahahahahahaha

Hahahahahahahaha

Đăng ký: 24-09-2023
Offline Đăng nhập: 21-04-2024 - 22:28
****-

Trong chủ đề: $\frac{EF}{BA}+\frac{BA}{EF}+\frac{AF}{BE}+\frac...

09-04-2024 - 14:23

File gửi kèm  Screenshot (625).png   80.34K   1 Số lần tải

do $P$ là điểm chính giữa cung $CD$ nhỏ nên dễ dàng cm được $\widehat{PFD}=\widehat{PEC}$

nên tg $ABEF$ nội tiếp

nên ta có:

+) $\Delta PEF \sim \Delta PBA =>\left\{\begin{matrix}\frac{EF}{BA}=\frac{PE}{PB}=\frac{PF}{PA}(1) &  & \\ \frac{BA}{EF}=\frac{PB}{PE}=\frac{PA}{PF}(2) &  & \end{matrix}\right.$

$(1)=>\frac{EF}{BA}=\sqrt{\frac{PE}{PB}.\frac{PF}{PA}}\leq \frac{1}{2}(\frac{PE}{PA}+\frac{PF}{PB})$

tương tự $(2)=>\frac{BA}{EF}=\sqrt{\frac{PB}{PE}.\frac{PA}{PF}}\leq \frac{1}{2}(\frac{PB}{PF}+\frac{PA}{PE})$

tương tự $\Delta PBE \sim \Delta PAF$

$=>\frac{AF}{BE}\leq \frac{1}{2}(\frac{PA}{PE}+\frac{PF}{PB});\frac{BE}{AF}\leq \frac{1}{2}(\frac{PE}{PA}+\frac{PB}{PF})$

cộng lại các bđt trên suy ra dpcm


Trong chủ đề: Tìm Min $P=\sum\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{...

27-03-2024 - 11:03

Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm GTNN của

$P=\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+x^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+x^{2}}+\frac{1}{\sqrt{x+y+z}}$

chỗ này có chuẩn không vậy bạn :)


Trong chủ đề: $M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac...

26-03-2024 - 15:34

dự đoán $maxM$ là $\frac{3}{4}$ khi $a=1;b=\frac{1}{2};c=\frac{1}{3}$

+)đặt $a=x;2b=y;3c=z$ 

($x,y,z$ là các số thực dương)

+)khi đó ta đi chứng minh:

 $M=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$ với $x+y+z=3$

áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}$ trong đó $a,b>0$

$ M\leq \frac{1}{2}(\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1})$

do đó ta cần chứng minh: $\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{1}{z^{2}+1}\leq \frac{3}{2}(*)$ với $x+y+z=3$

$(*)$ đúng nếu $\frac{4x^{2}}{3x^{2}+3}+\frac{4y^{2}}{3y^{2}+3}+\frac{4z^{2}}{3z^{2}+3}\geq 2$

thật vậy  $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=3$

ta có: $\frac{4x^{2}}{3x^{2}+3}\leq\frac{4x^{2}}{(x^{2}+xy+xz)+(2x^{2}+yz)}\leq \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+xz}+\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}=\frac{x}{x+y+z}+\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}$

tương tự:

$\frac{4x^{2}}{3x^{2}+3}+\frac{4y^{2}}{3y^{2}+3}+\frac{4z^{2}}{3z^{2}+3}\leq 1+\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{2y^{2}+xz}+\frac{z^{2}}{2z^{2}+xy}$

do đó ta đi chứng minh $\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{2y^{2}+xz}+\frac{z^{2}}{2z^{2}+xy}\leq 1(**)$ 

$(**) $ đúng nếu $\frac{3}{2}-(\frac{x^{2}}{2x^{2}+yz}+\frac{y^{2}}{2y^{2}+xz}+\frac{z^{2}}{2z^{2}+xy})\geq\frac{1}{2} $

hay $(\frac{yz}{2x^{2}+yz}+\frac{xz}{2y^{2}+xz}+\frac{xy}{2z^{2}+xy})\geq 1$ 

mà 

$ (\frac{yz}{2x^{2}+yz}+\frac{xz}{2y^{2}+xz}+\frac{xy}{2z^{2}+xy})=\frac{y^{2}z^{2}}{2x^{2}yz+y^{2}z^{2}}+\frac{x^{2}z^{2}}{2xy^{2}z+x^{2}z^{2}}+\frac{x^{2}y^{2}}{2xyz^{2}+x^{2}y^{2}}\geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{(xy+yz+zx)^{2}}=1$ 

nên ta có đpcm

hmmm cái này mình bị ngược dấu :(. mn thông cảm cho sự nhầm lẵn này


Trong chủ đề: Tìm $Max A= 25\sqrt{3x^2 - 3x^4} + 2\sqrt{4...

23-03-2024 - 22:46

bằng 1 cách thần kì nào đó ta dự đoán $max A$ là $26$ tại $x=\frac{2}{\sqrt{7}}$

$A=25\sqrt{3x^{2}-3x^{4}}+2\sqrt{4x^{2}+9x^{4}}=25x\sqrt{3-3x^{2}}+2x\sqrt{4+9x^{2}}$

áp dụng bđt cosi ta được:

$25x\sqrt{3-3x^{2}}=\frac{50}{3}.\frac{3x}{2}\sqrt{3-3x^{2}}\leq \frac{50}{6}(\frac{9x^{2}}{4}+3-3x^{2})=\frac{-25x^{2}}{4}+25$

$2x\sqrt{4+9x^{2}}=\frac{1}{2}.4x\sqrt{4+9x^{2}}\leq \frac{1}{4}(16x^{2}+4+9x^{2})=\frac{25x^{2}}{4}+1$

do đó: $A\leq 26$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{2}{\sqrt{7}}$


Trong chủ đề: Chứng minh rằng : $\sqrt{a^2+2 b^2}+\sqrt{b...

23-03-2024 - 21:20

áp dụng bdt Mincopxki ta có: 

$\sqrt{a^{2}+2b^{2}}+\sqrt{b^{2}+2c^{2}}+\sqrt{c^{2}+2a^{2}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\sqrt{2}a+\sqrt{2}b+\sqrt{2}c)^{2}}=\sqrt{3}(a+b+c)$

dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

bài tương tự

chứng minh $\sqrt{a^{2}+(a+b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(b+c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(c+a)^{2}}\geq \sqrt{5}(a+b+c)$