NamUS

@NamUS Thấy bạn quan tâm đến hàm sinh nên bài này mình cũng dùng hàm sinh để giải nhé.
Nếu mình hiểu đúng đề : các bình hoa là phân biệt, thì :
a) Ta lập hàm sinh và tính số cách cắm hoa trong trường hợp này là:
$$\begin {align*}
f(x)&=(x+x^2+x^3+x^4)^5=\frac {x^5(1-x^4)^5}{(1-x)^5}\\
\Rightarrow \left [ x^{15} \right ]f(x)&=\left [ x^{10} \right ]\left ( 1-x^4 \right )^5\sum_{k=0}^{\infty}\binom {-5}{k}(-x)^k\\
&=\left ( \left [ x^{10} \right ]-\binom{5}{1}\left [ x^{6} \right ]+\binom {5}{2}\left [ x^{2} \right ] \right )\sum_{k\geq 0}\binom {k+4}{4}x^k\\
&=\binom{14}{4}-5\binom{10}{4}+10\binom{6}{4}\\
&=\boldsymbol {101}
\end{align*} $$b) Ta lập hàm sinh và tính số cách cắm hoa trong trường hợp này là:
$$\begin {align*}
g(x)&=\left ( x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\frac {x^4}{4!}\right )^5\\
\Rightarrow 15!\left [ x^{15} \right ]g(x)&=\boldsymbol {8366358000}
\end{align*}$$

Mình cảm ơn bạn!
-Và cho mình hỏi là chi tiết bông hoa giống hay khác nhau đó là nếu giống nhau thì ta không cần quan tâm đến thứ tự mình chọn bông hoa nào hết nên mình dùng hàm sinh thường còn nếu bông hoa khác nhau thì mình quan tâm đến thứ tự chọn bông hoa nào vào trong bình nào nên mình dùng hàm sinh mũ đúng không ạ.
-Nếu mình giải quyết theo kiểu phương trình nghiệm nguyên dạng: $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 15$, thì với câu a) mình giải bình như bình thường còn câu b) thì có thể giải theo cách này được không ạ.
-Và mình cũng mới tìm hiểu được một phương pháp để là các bài toán phân chia m công việc cho n người với điều kiện mỗi người thực hiện ít nhất 1 công việc sẽ bằng số toàn ánh từ tập m công  việc đến n công việc. Vậy không biết có áp dụng được cho bài này không ạ.
Mong bạn giải đáp. Cảm ơn bạn.

Gọi $A _1,A_2,A_3$ lần lượt là tập các cách xếp mà T đứng trước A, A đứng trước M, M đứng trước E. Theo nguyên lý bù trừ, ta cần tính :
$$\left | A_1\cup A_2\cup A_3 \right |=\sum_{i=1}^{3}\left | A_i \right |-\sum_{i\neq j}\left | A_i\cap A_j \right |+\left | A_1\cap A_2\cap A_3 \right |$$- Tính $\left | A_1 \right |$:
Hoán vị 4 chữ cái ( trừ T, A) : $4!$ cách. Ta chèn T vào vị trí thứ j là 1 trong 5 khoảng trống do 4 chữ cái trên tạo nên. Tiếp theo, chèn A vào khoảng trống $k\geq j$ là $j,j+1,...,5$ có $5-(j-1)=6-j$ cách. Do đó số cách chèn T và A là :
$\sum_{j=1}^{5}(6-j)=\sum_{r=1}^{5}r=\binom {6}{2}=15$
Vậy :
$\left | A_1 \right |=4!\cdot 15=360$
- Tính $\left | A_1\cap A_2 \right |$:
Hoán vị 3 chữ cái ( trừ T, A,M) : $3!$ cách. Ta chèn T vào bất kỳ khoảng trống nào thuộc 4 khoảng trống do 3 chữ cái trên tạo nên. Một khi đã chèn T vào vị trí thứ j thì tiếp theo, chèn A vào vị trí thứ $k\geq j$ là $j,j+1,...,4$. Một khi A ở vị trí thứ k thì M có thể chèn vào các vị trí $k,k+1,...,4 $nên  có $4-(k-1)=5-k$ cách. Do đó số cách chèn T, A và M là :
$$\begin{align*}
\sum_{j=1}^{4}\sum_{k=j}^{4}(5-j)&=\sum_{j=1}^{4}\sum_{r=1}^{5-j}r=\sum_{j=1}^{4}\frac{(5-j)(6-j)}{2}\\
&=\frac {1}{2}\sum_{s=1}^{4}s(s+1)\\
&=\frac {1}{2}\left ( \frac {1\cdot 2\cdot3+2\cdot 3\cdot5+3\cdot4\cdot7+4\cdot 5\cdot9}{6}\right) +
\frac {1}{2}\left ( \frac {1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4  4\cdot5}{2} \right )\\
&=25+10=35\\
\Rightarrow \left | A_1\cap A_2 \right |&=3!\cdot35=210
\end {align*}$$- Tính $ \left | A_1\cap A_2 \cap A_3\right | $:
Hoán vị 2 chữ cái ( trừ T, A,M,E) : $2!$ cách.  Một lần nữa, chèn T vào vị trí thứ j bất kỳ thuộc 3 khoảng trống do 2 chữ cái trên tạo nên, rồi chèn A vào một vị trí $ k\geq j$, rồi chèn M vào một vị trí $l\geq k$ và chèn E vào bất kỳ vị trí nào $\geq l$: có $4-l$ cách. Số cách chèn 4 chữ cái này là :
$$\begin{align*}
\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=j}^{3}\sum_{l=k}^{3}(4-l)&=\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=j}^{3}\sum_{r=1}^{4-k}r=\sum_{j=1}^{3}\sum_{k=j}^{3}\frac{(4-k)(5-k)}{2}\\
&=\frac {1}{2}\sum_{j=1}^{3}\sum_{s=1}^{4-j}s(s+1)=\frac {1}{2}\sum_{j=1}^{3}\left (  \frac {(4-k)(5-k)(2(4-k)+1)}{6}+\frac {(4-k)(5-k)}{2}\right )\\
&=\frac {1}{2}\sum_{t=1}^{3}\left ( \frac {t(t+1)(2t+1)}{6}+\frac {t(t+1)}{2} \right )\\
&=\frac {1}{12}\left ( 1\cdot 2\cdot3+2\cdot3\cdot 5+3\cdot 4\cdot7 \right ) + \frac {1}{4} \left ( 1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4 \right )\\
&=10+5=15\\
\Rightarrow \left | A_1\cap A_2 \cap A_3\right |&=2!\cdot15=30
\end {align*}$$Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu là :
$$ \begin {align*}
\left | A_1\cap A_2 \cap A_3\right | &=\binom {3}{1}360-\binom{3}{2}210+30\\
&=\boldsymbol {480}
\end {align*}$$

Đầu tiên là mình cảm ơn bạn rất nhiều.
Và sau khi đọc bài làm của bạn và mọi người thì mình đã nghĩ ra một cách làm tương tự như thế này:
Gọi $A_{i}$ lần lượt là tập các cách xếp mà T đứng trước A, A đứng trước M, M đứng trước E với $i = \overline{1,4}$.
Tìm $\left | A_{1} \right |$:
Khi đó chuỗi của ta có dạng: _T_A_
Vậy số cách xếp mà T đứng trước A sẽ bằng số cách xếp 4 chữ còn lại vào 3 khe trống
Suy ra: $A_{1} = \binom{3+4-1}{4}4!$
Tương tự với $\left | A_{2} \right |$ và $\left | A_{3} \right |$
Tìm $\left | A_{1}\cap A_{2} \right |$:
Khi đó chuỗi của ta có dạng: _T_A_M_
Vậy số cách xếp mà T đứng trước A và A đứng trước M sẽ bằng số cách xếp 3 chữ còn lại vào 4 khe trống
Suy ra $\left | A_{1}\cap A_{2} \right | = \binom{4+3-1}{3}3!$

Tương tự với $\left | A_{2}\cap A_{3} \right |$
Tìm $\left | A_{1}\cap A_{3} \right |$:
Khi đó chuỗi của ta có dạng: _T_A_M_E_ hoặc _M_E_T_A hoặc _M_T_A_E hoặc _M_T_E_A_ hoặc _T_M_A_E_ hoặc _T_M_E_A (hay nói cách khác có 6 cách xếp T, A, M, E đúng điều kiện)
Vậy số cách xếp mà T đứng trước A và M đứng trước E sẽ bằng số cách xếp 2 chữ còn lại vào 5 khe trống
Suy ra $\left | A_{1}\cap A_{3} \right | = \binom{5+2-1}{2}2!6$
Tìm $\left | A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3} \right |$:
Khi đó chuỗi của ta có dạng: _T_A_M_E_
Vậy số cách xem đúng điều kiện sẽ bằng số cách xếp 2 chữ còn lại vào 5 khe trống
Suy ra: $\left | A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3} \right | = \binom{5+2-1}{2}2!$
Suy ra ta có:
$S_{1} = \left | A_{1} \right | + \left | A_{2} \right | + \left | A_{3} \right |$
$S_{2} = \left | A_{1}\cap A_{2} \right |+\left | A_{2}\cap A_{3} \right |+\left | A_{1}\cap A_{3} \right |$
$S_{3} = \left | A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3} \right |$
Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu là:
$\left | A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3} \right | = S_{1} - S_{2} + S_{3} = 690$

Từ gợi ý, ta có :
$6!-\binom{3}{1}5!+\binom{3}{2}4!-\binom{3}{3}3!=\boldsymbol {426}$

Xin lỗi đã làm phiền bạn.
Nhưng bạn có thể nêu chi tiết các bước làm của bài này không ạ. Vì dạng bài này mình rất kém.
Bạn có thể giúp mình khi nào rãnh cũng được.
Xin cảm ơn.

Tìm hàm sinh mũ của $\left \{ a_{r} \right \}_{r\geq 0}$ với $a_{r}$ là số cách xếp $r$ vật khác nhau vào trong $5$ hộp thỏa $b_{1} \leq b_{2} \leq 4$, trong đó $b_{1}, b_{2}$ tương ứng là số vật được xếp vào hộp $1$ và $2$ và sau đó, tính $a_r$.

Giải :
Hàm sinh cho số cách bỏ vật vào hộp 1 và hộp 2:$$\begin {align*}&\left ( 1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\frac {x^4}{4!} \right )+x\left (x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\frac {x^4}{4!} \right )\\
&\qquad+\frac {x^2}{2!}\left (\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\frac {x^4}{4!} \right )+\frac {x^3}{3!}\left (\frac {x^3}{3!}+\frac {x^4}{4!} \right )+\frac {x^8}{4!4!}\end{align*}$$và hàm sinh cho số cách bỏ vật vào mỗi hộp còn lại là $e^x$.
Vậy hàm sinh cho số cách bỏ vật vào 5 hộp là :$$\begin {align*}G(x)&= \bigg [ \left ( 1+x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\frac {x^4}{4!} \right )+x\left (x+\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\frac {x^4}{4!} \right ) \\
&\quad+\frac {x^2}{2!}\left (\frac {x^2}{2!}+\frac {x^3}{3!}+\frac {x^4}{4!} \right )+\frac {x^3}{3!}\left (\frac {x^3}{3!}+\frac {x^4}{4!} \right )+\frac {x^8}{4!4!} \bigg] e^{3x}\\
&=\boldsymbol {\left (1+ x+\frac {3x^2}{2}+\frac {2x^3}{3}+\frac {11x^4}{24}+ \frac {x^5}{8}+ \frac {7x^6}{144}+\frac {x^7}{144}+\frac {x^8}{576}\right ) e^{3x} }
\end{align*}$$
(to be continued )

Bạn có thể lý giải cách tìm ra hàm sinh cho số cách bỏ vật vào hộp 1 và hộp 2 của bạn được không ạ. Ban đầu mình có ý tưởng như thế này:
vì: $b_{1} \leq b_{2} \leq 4$ nên mình đặt $b_{2} = b_{1} + k$ với $0 \leq k \leq 4$
Từ đó suy ra:  $b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} = r$ = $2b_{1} + k + b_{3} + b_{4} + b_{5} = r$
Với $2b_{1}$ có nhân tử là: $1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{6}}{6!} + \frac{x^{8}}{8!}$
k có nhân tử là: $1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!}$
$b_{3}, b_{4}, b_{5}$ có nhân tử là: $e^{x}$
Vậy hàm sinh là:
$G(x) =(1 + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + \frac{x^{6}}{6!} + \frac{x^{8}}{8!})(1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!})e^{3x}$ 
Không biết mình làm như trên thì có đúng không. Mong bạn giải đáp. Cảm ơn bạn.

Tìm hàm sinh mũ của $\left \{ a_{r} \right \}_{r\geq 0}$ với $a_{r}$ là số cách xếp $r$ vật khác nhau vào trong $5$ hộp thỏa $b_{1} \leq b_{2} \leq 4$, trong đó $b_{1}, b_{2}$ tương ứng là số vật được xếp vào hộp $1$ và $2$, và sau đó tính $a_{r}$.