minhquang47

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^{2}, x \in \mathbb{Q}\\ 0, x \in \mathbb{R} / \mathbb{Q} \end{cases}$
CMR $f(x)$ không liên tục tại mọi điểm $x \neq 0$

Cho $f, g:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$ liên tục trên [a,b]. Chứng minh rằng

$\int_{a}^{b}|f(x)g(x)|\,d x\leq\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{4}\,d x\right)_{\,\,.}^{1/4}\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{4/3}\,d x\right)^{3/4}$

Cho $f,g : [a,b] \to \mathbb{R}$ liên tục trên [a,b]. CMR
$\displaystyle\int\limits_{a}^{b}|f(x)g(x)|dx \le \left(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)dx \right)^{1/2}\left(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g^2(x)dx \right)^{1/2}$

1/. Cho những ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}$ và $g:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}$. Chứng minh rằng $g_{\circ}f$ không khả nghịch.

2/. Tìm hai toán tử tuyến tính $g,f$ trong $\mathbb{R}^{2}$ sao cho $g_{\circ}f$ = 0 nhưng $f_{\circ}g$ $\neq$ 0.

Cho hai dãy số thực {$x_n$} thoả $x_n$ $\neq$ 2 $\forall n \in \mathbb{N}$ và $\lim_{n \to \infty}\dfrac{2x_n + 1}{x_n + 2} = 1$. CMR {$x_n$} hội tụ và tính $\lim_{n \to \infty}x_n$.

Mấy anh có cách giải nào mà không dùng đến không gian vector và ánh xạ tuyến tính không mà chỉ dùng các kiến thức về ma trận với định thức không ạ ?

CÁCH 1:

Ta có: $\large\ rank(A.B) \leq min(rank(A),rank(B))$

Áp dụng vào bài toán: $\large rank(A.A^{T}) \leq min(rank(A),rank(A^{T}))$ 

+) $\large A \epsilon M_{3x2}(R) => rank(A) \leq 3$ 

+) $\large A^{T} \epsilon M_{2x3}(R) => rank(A^{T}) \leq 2$

Vậy $\large rank(A.A^{T}) \leq 2.$

Với $\large A.A^{T} \epsilon M_{3x3}(R)$, nếu $\large det \neq 0$ thì $rank(A.A^{T})=3$

Mà $\large rank(A.A^{T}) \leq 2 (CMT)$ =>  mâu thuẫn

Vậy $\large det(A.A^{T})=0.$

 

CÁCH 2:

$\large A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}\\$

 

$A^{T} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31}\\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \end{pmatrix}\\$

 

Vậy ta có:

$VT = det(A.A^{T}) = det (\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31}\\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \end{pmatrix})$

 

                             $= det \begin{pmatrix} a_{11}a_{11} + a_{12}a_{12} & a_{11}a_{21} + a_{12}a_{22} & a_{11}a_{31} + a_{12}a_{32}\\ a_{21}a_{11} + a_{22}a_{12} & a_{21}a_{21} + a_{22}a_{22} & a_{21}a_{31} + a_{22}a_{32} \\ a_{31}a_{11} + a_{32}a_{12} & a_{31}a_{21} + a_{32}a_{22} & a_{31}a_{31} + a_{32}a_{32} \end{pmatrix}$

 

                             $= det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & 0\\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} a_{11}& a_{21}& a_{31}\\ a_{12}& a_{22}& a_{32}\\ 0& 0& 0 \end{pmatrix}$

 

                             $= det \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& 0\\ a_{21}& a22 &0\\ a_{31}&a_{32}&0 \end{pmatrix} . det \begin{pmatrix} a_{11}& a_{21}& a_{31}\\ a_{12}& a_{22}& a_{32}\\ 0& 0& 0 \end{pmatrix} = 0 . 0 = 0 = VP (đpcm)$

Mấy anh có cách giải nào mà không dùng đến không gian vector và ánh xạ tuyến tính không mà chỉ dùng các kiến thức về ma trận với định thức không ạ ?

Bạn dùng rank của ma trận hoặc chứng minh phản chứng thử xem

Cho $A \in M_n(K) (n>2)$ thỏa tính chất: Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0, các phần tử còn lại đều bằng 1.

          a/. Xác định các hệ số $a,b$ sao cho $(aA + bB)^2 = I$.

          b/. Viết cụ thể $a$ và $b$ trong trường hợp $n = 3$ và $n = 4$.